不可約M矩陣最小特征值的界值

蔣建新， 李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

●數(shù)學(xué)研究

不可約M矩陣最小特征值的界值

蔣建新， 李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

研究了不可約非奇異M矩陣B的最小特征值的界的估計(jì)問(wèn)題，得到了三個(gè)新的估計(jì)式，理論證明新界提高了文獻(xiàn)[3]中的相應(yīng)結(jié)果.

非負(fù)矩陣；M矩陣；Hadamard積； 譜半徑； 最小特征值

1 預(yù)備知識(shí)

首先引入一些記號(hào)和定義：

引理1[1]設(shè)A,B,C,D∈Rn×n，其中C,D是正對(duì)角矩陣，則

引理2[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，則矩陣A的所有特征值都位于下列區(qū)域

引理3[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則A的所有特征值都位于下列區(qū)域

引理4[2]設(shè)B=(bij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣，則B-1=(βij)滿足

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，且A,B都為不可約矩陣，則有

根據(jù)引理1有，(FV)-1(A°B-1)(FV)=(FV)-1A(DU)°B-1=G°B-1,即ρ(A°B-1)=ρ(G°B-1)=λ，應(yīng)用引理2知存在i使得

定理2B=(bij)∈Mn，B-1=(bij)，則有

證明： 在定理1中令A(yù)=J(矩陣J為元素全為1的矩陣)，則

定理3 設(shè)A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，且A,B都不可約，則

(FV)-1(A°B-1)(FV)=(FV)-1A(DU)°B-1=G°B-1,即ρ(A°B-1)=ρ(G°B-1)=λ，由引理3知存在i，j使得

≤pipjβiiβjj(ρ(A)-aii)(ρ(A)-ajj)

定理4 設(shè)B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

證明： 在定理1中令A(yù)=J(矩陣J的元素全為1)，則

推論1 設(shè)B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

下面證明推論1提高了文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果.

定理5 設(shè)B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

[1]HornRA.JohnsonCR.Matrixanalysis[M].CambridgeUniversityPress,1995.

[2]趙建興. 矩陣(張量)最小特征值估計(jì)及其相關(guān)問(wèn)題研究[D]. 云南大學(xué)，2014:8—14.

[3]ChaoqianLi,YaotangLi，RuijuanZhao.Newinequalitiesfortheminimumeigenvalueofmatrices[J].LinearandMultilinearAlgebra, 2013,61(9):1267—1279.

Bound value of the minimum eigenvalues of the irreducible M matrix

JIANG Jian-xin, LI Yan-yan

(School of Mathematics , Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Research on the estimation of the minimum eigenvalue of irreducible nonsingular matrix,three new estimators are obtained.Theoretical proof the new bounds have improved thhe result of[3].

nonnegative matrix; matrix; Hadamard product; spectral radius; the minimum eigenvalue

2016-03-08

蔣建新(1981— )，男，甘肅天水人，講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用研究.

O

A

2095-7408(2016)05-0007-04