“變教為學”需要“好奇”的問題

□郜舒竹

“變教為學”需要“好奇”的問題

□郜舒竹

編者按

在現(xiàn)行的國家課程中安排有“綜合實踐活動”課程，數(shù)學課程中也有“綜合與實踐”板塊。此外，近幾年來，部分地區(qū)還安排了“學科實踐活動課程”。其目的都是為了實現(xiàn)課程內容的“實踐性”和“綜合性”，彰顯學生學習過程的“活動性”。以期讓學生的學習內容與自然和社會建立聯(lián)系，讓學生的學習過程與人類的實踐活動建立聯(lián)系，改變“講解與示范”單一的教法以及“傾聽與模仿”單一的學法，真正做到“變教為學”。實現(xiàn)這種改變的一個基礎性工作就是開發(fā)出能夠體現(xiàn)實踐性、綜合性與活動性的課程內容。

“變教為學”作為課堂教學改革，期望將“傳授”式的教，改變?yōu)椤耙l(fā)”式的教。“引發(fā)”的一個重要方面是喚起學生的好奇心，引發(fā)學生的學習興趣。充分利用具有“娛樂”特征的問題，是實現(xiàn)這一目的的有效方法。

變教為學 好奇 娛樂

“變教為學”并不是把“教”變?yōu)椤皩W”的意思，更不是否定教師“教（Teaching）”的意義及其價值，而是期望將“傳授”式的教，改變?yōu)椤耙l(fā)”學生學習的教。這樣的教不是簡單地將書本上的內容“告知”給學生，而是采用靈活多樣的方式“引發(fā)學生學習的動機、引發(fā)學生主動地思考”，進而實現(xiàn)學生“自由、自主、自信”地學習。

引發(fā)式的教學首要的問題是如何讓學生愿意學習，也就是首先需要引發(fā)學生的學習動機。一個有效的方法是展示“知識的魅力”，這樣的魅力可以源于“真實的問題”，讓需求成為學習動機的誘因；[1]也可以源于自然的問題，讓知識間的聯(lián)系引導學生自然而然地思考。[2]除此之外，還可以利用具有“娛樂（Recreation）”特征的問題，喚起學生的好奇心，進而引起學生思考的興趣。

在西方國家的數(shù)學學科分類中，有一個專門的領域叫作“娛樂數(shù)學（Recreational Mathematics）”，這一領域中的內容，不強調嚴謹?shù)倪壿嬻w系，也不強調在現(xiàn)實中的應用性。只注重其與人的情感和思維的聯(lián)系，其目的是引起人的好奇或者疑惑，激發(fā)人思考的愿望。在這一領域的研究中，最著名的人物當數(shù)美國的馬丁·加德納（Martin Gardner，1914年10月21日—2010年5月22日）。1957年，加德納在《科學美國人》（Scientific American）期刊上開設了一個名為“數(shù)學游戲（Mathematical Games）”的專欄，這個專欄一直延續(xù)了20余年。通?？磥?，數(shù)學具有抽象、枯燥的特征，而加德納的本領在于將數(shù)學問題用符合人們好奇心的形式展示出來，使之具有了娛樂的特征。

一、朋友圈流傳的“賬單問題”及其來源

在我國手機微信朋友圈中曾經流行的一個“賬單問題”（見圖1），使得許多人感到困惑不已。

圖1

這個問題的大意是說：如果我有50元錢，4次購物每次花銷分別是20元、15元、9元、6元，正好將50元錢花完，因此每次購物所花錢數(shù)總和恰好是50元。算式為：

20+15+9+6=50（元）

每次購物后剩余錢數(shù)分別為30元、15元、6元、0元，那么這些剩余錢數(shù)總和為：

30+15+6+0=51（元）

令人疑惑的問題是：為什么這些剩余錢數(shù)總和不等于50元，而是51元呢？

這一問題的原型實際上來源于馬丁·加德納所設計的一個名為“Low Finance”的問題[3]（見圖2）。

圖2 “Low Finance”問題掃描圖

馬丁·加德納是用故事的形式講述這個問題的：一位叫作格林（Green）的先生在銀行存款100元，分6次將100元取出，6次取款金額分別為50元、25元、10元、8元、5元、2元，因此每次在銀行中剩余錢數(shù)分別為50元、25元、15元、7元、2元、0元。取款金額總和為：

50+25+10+8+5+2=100（元）

而每次剩余錢數(shù)總和是：

50+25+15+7+2+0=99（元）

格林先生對此異常疑惑，為什么剩余錢數(shù)總和不是100元，而是99元呢？他認為是自己欠了銀行1元錢。因此專程前往銀行咨詢。

二、問題的解釋

格林先生來到銀行，向銀行負責人講明來意。銀行經理面對圖2的數(shù)據(jù)，首先感謝格林先生的誠實，而后通過舉例的方式為格林先生作出了解釋。如果分2次取出100元，第一次取出99元，第二次取出1元。那么剩余錢數(shù)分別是1元和0元（見圖3）。

這時剩余錢數(shù)總和只有1元：1+0=1（元）。

換一種情況看，如果分4次取出100元，前3次每次取出1元，第四次取出97元，那么每次剩余錢數(shù)分別為99元、98元、97元、0元（見圖4）。

這時剩余錢數(shù)總和為：99+98+97=294（元）。

這就說明，無論分多少次怎樣取出100元，那么圖中左側取出錢數(shù)總和一定是100。但是右側每次剩余錢數(shù)之和并不一定等于100，可以很小，也可能較大。聽了解釋，格林先生才恍然大悟。

這一故事未必是真實的，馬丁·加德納利用人們司空見慣“收、支應當相等”的觀念，潛意識中認為“左、右兩列數(shù)據(jù)總和應當相等”，編制出這樣讓人產生“奇怪”感覺的問題，誘發(fā)人們的好奇心。使得這個問題具有了娛樂的特征。

圖3 “Low Finance”問題解釋掃描圖

圖4 “Low Finance”問題解釋掃描圖

三、進一步的探討

前面的例子都顯示了取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和不相等的情況，還可以進一步思考，會不會出現(xiàn)相等的情況呢？

如果第一次取出1元，則剩余99元；第二次取出98元，剩余1元；第三次取出1元，100元全部取完，剩余0元。這一過程可以用表格的形式表示。

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 1 99第二次 98 1第三次 1 0總和 100 100

這時就出現(xiàn)了取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元的情況。類似的，如果第一次取出2元，剩余錢數(shù)為98元；第二次取出96元，則剩余2元；第三次取出2元，剩余0元。

同樣也使得取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和相等。進一步的問題是：使得3次取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元的情況，有什么樣的規(guī)律？

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 2 98第二次 96 2第三次 2 0總和 100 100

不妨用字母a表示第一次取出錢數(shù)，那么第一次取出a元后剩余“100-a”元；第二次取出后應當使得剩余錢數(shù)為a元，因此第二次應當取出“100-2a”元；第三次取出最后的a元。

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 a 100-a第二次 100-2a a第三次 a 0總和 100 100

由于第二次取出“100-2a”元，如果要求每次取出錢數(shù)為整元數(shù)，那么“100-2a”就必須大于或等于1元，因此a最大只能是49元，也就是說第一次取出錢數(shù)最小可能是1元，最大可能是49元。在這樣的條件下，才有可能使得3次取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元。

在這個基礎上，還可以進一步研究取錢次數(shù)為4次或更多的情況。馬丁·加德納在故事結束時，按照取出錢數(shù)總和是確定的100元，而剩余錢數(shù)總和未必等于100元的結論。提出了另外一個自然的問題：如果每次取出錢數(shù)必須是整元數(shù)，這個剩余錢數(shù)之和最小與最大的可能分別是多少？

在數(shù)學問題的研究中，對于不能確定的數(shù)據(jù)，自然而然會尋找數(shù)據(jù)所在的范圍，而確定這個范圍的方法就是找到“界限”，這里所說的“最大”和“最小”實際上就是剩余錢數(shù)之和所在范圍的界限。

根據(jù)圖3的啟發(fā)，將100元1次取出，那么剩余錢數(shù)就是0元，因此這個最小值自然就是0。同樣根據(jù)圖4的啟發(fā)，每次只取出1元，分100次取完，那么剩余錢數(shù)分別為：

99，98，97……2，1，0這些錢數(shù)總和為：

99+98+97+……+2+1+0=4950（元）

因此這個最大值就是4950元。

以上內容可以用于諸如“綜合與實踐”或者“學科實踐活動課程”的教學，也可以用于中低年級的計算教學。這樣的課程與教學并不針對某個具體知識點的學習，而是基于問題以及對于問題的好奇，運用已經學習的知識或方法，開展對問題的思考與解決。教學的基本流程應當包括如下的環(huán)節(jié)[4]：

問題與動機：觀察情境產生問題，通過問題產生動機。

過程與方法：設計方案經歷過程，反復嘗試發(fā)明方法。

多樣與錯誤：結果多樣表達交流，比較反思修正錯誤。

聯(lián)想與應用：歸納類比思考關聯(lián)，通過應用體會價值。

[1]郜舒竹.變教為學需要“誘人”的問題[J].教學月刊小學版（數(shù)學），2015（12）.

[2]郜舒竹.變教為學需要“自然”的問題[J].教學月刊小學版（數(shù)學），2016（1／2）.

[3]Martin Gardner.Entertaining Mathematical Puzzles.Dover Publications,Inc.p17.

[4]郜舒竹.“變教為學”需要螺旋上升的學習活動[J].教學月刊小學版（數(shù)學），2015（10）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）