生動的課堂就應(yīng)有“火熱的思考”
——以一節(jié)“平面圖形的密鋪”實驗課為例

☉南師大附中新城初中　何君青

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生動的課堂就應(yīng)有“火熱的思考”
——以一節(jié)“平面圖形的密鋪”實驗課為例

☉南師大附中新城初中何君青

《新課標(biāo)》（2011年版）明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.”近幾年，針對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的研究越來越受到重視，江蘇省還專門在每學(xué)期增加了一本《數(shù)學(xué)活動實驗手冊》，旨在通過數(shù)學(xué)實驗讓學(xué)生享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，于是數(shù)學(xué)實驗課成為了江蘇省初中數(shù)學(xué)常態(tài)的教學(xué)行為.2016年3月22日，南京市教研室組織了“南京市初中數(shù)學(xué)實驗培訓(xùn)”活動，邀請各區(qū)縣骨干教師參與，筆者作為受邀者親身經(jīng)歷了全過程，感悟頗深，故撰文與同行交流.

一、對初中數(shù)學(xué)實驗課的認識

從概念上看，數(shù)學(xué)實驗同物理實驗、化學(xué)實驗、生物實驗一樣同屬于科學(xué)實驗的范疇，本身具有科學(xué)實驗的特點，但又有所不同，數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運用有關(guān)工具，通過具體操作在認知和非認知因素參與下，進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)猜想的數(shù)學(xué)探索活動.

從認知上看，數(shù)學(xué)實驗符合學(xué)生的認知規(guī)律，初中生大多喜歡動手操作，喜歡數(shù)學(xué)中具有挑戰(zhàn)性、新穎性、開放性的問題.數(shù)學(xué)實驗不是學(xué)生被動地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經(jīng)驗，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的活動過程.

從內(nèi)涵上看，數(shù)學(xué)實驗的核心是手腦并用、啟思明理，數(shù)學(xué)實驗的理念是“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，數(shù)學(xué)實驗的形態(tài)是以“做”為支架的教與學(xué)的活動方式.

從操作上看，數(shù)學(xué)實驗是一個環(huán)節(jié)，不是整個教學(xué)過程，實驗不能代替邏輯推理證明，而是利用工具通過具體操作來完成的，它需要教師的引導(dǎo)與啟發(fā)，需要教師有意識的設(shè)計，需要預(yù)設(shè)實驗的目標(biāo).很多教師認為平時數(shù)學(xué)課的課時就很緊張，若一學(xué)期開設(shè)多節(jié)數(shù)學(xué)實驗課，正常的教學(xué)進度能完成嗎？事實上，數(shù)學(xué)實驗課授課時教師并不一定要完整地上滿一節(jié)課，可以作為片段合理地插入平時的教學(xué)中，既讓學(xué)生動手操作，又讓學(xué)生更清晰、直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.

二、初中數(shù)學(xué)實驗課的實踐過程

此次活動，一位女教師開設(shè)了“平面圖形的密鋪”研究課，教師嫻熟的教學(xué)基本功和課堂駕馭能力給筆者留下了深刻的印象，這節(jié)課的大致授課流程和筆者對每個環(huán)節(jié)的思考如下.

環(huán)節(jié)1：生活與數(shù)學(xué)

欣賞水立方的“密鋪”過程.（視屏展示）

評析：生活離不開數(shù)學(xué)，生活中處處有數(shù)學(xué)，此處從學(xué)生生活中的背景出發(fā)，以北京水立方的外立面的密鋪引入課題，生動而自然，消除剛上課的不適應(yīng)感，強調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光認識世界，將現(xiàn)實生活中的實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，從而用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法處理解決，可謂用心良苦.

環(huán)節(jié)2：觀察與嘗試

嘗試選用一種或幾種平面圖形進行密鋪.（學(xué)生動手嘗試）

評析：用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間沒有空隙、也沒有重疊地鋪成一片，叫作平面圖形的密鋪.在此概念教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)準確、到位地讓學(xué)生理解，教師不妨舉幾個例子或展示幾張圖片給學(xué)生看，若學(xué)生一開始就對概念理解的不夠透徹必將影響到后面的學(xué)習(xí).筆者覺得此處教師的處理應(yīng)再加斟酌，因為從形式上看此環(huán)節(jié)與下一個環(huán)節(jié)有雷同之處，略顯多余，若保留此環(huán)節(jié)，那么環(huán)節(jié)3就應(yīng)當(dāng)加以改變，環(huán)節(jié)2后便可以直接展示學(xué)生作品，繼而問學(xué)生“你是用怎樣的正多邊形進行密鋪的”，讓學(xué)生自主構(gòu)建出環(huán)節(jié)3的各個活動，倘若學(xué)生的拼圖不全，教師再加以引導(dǎo)，將環(huán)節(jié)3完整的展示.

環(huán)節(jié)3：操作與交流

活動1：選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪.

活動2：從邊長相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出兩種合適的正多邊形進行密鋪.

活動3：用形狀、大小完全相同的任意三角形進行密鋪；用形狀、大小完全相同的任意四邊形進行密鋪.

評析：此環(huán)節(jié)一步一個腳印，難度逐步上升，符合學(xué)生的認知規(guī)律.首先選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪，展示作品后讓學(xué)生思考、交流，歸納出密鋪的原理：若選擇同一種正多邊形進行密鋪，在一個拼接點處有n個角，這些角的和應(yīng)為360°，之后從邊長相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出兩種合適的正多邊形進行密鋪，從一種圖形上升到兩種圖形，難度上升，從特殊到一般，將結(jié)論進行推廣：若平面圖形能夠進行密鋪，則在一個拼接點處的所有角的和應(yīng)為360°，最后更為一般，用形狀、大小完全相同的任意三角形或任意四邊形進行密鋪，再一次驗證了密鋪的原理.此活動雖為老師設(shè)計，但仍然可以讓學(xué)生體會到研究問題從特殊到一般、從易到難的研究過程，學(xué)生在動手操作的同時，歸納結(jié)論，動腦思考，自己歸納出相應(yīng)的結(jié)論，效果比老師講授的知識要印象深刻的多，這樣的數(shù)學(xué)實驗課的模式值得推廣.

環(huán)節(jié)4：文化與欣賞

欣賞經(jīng)典的密鋪圖案，體會數(shù)學(xué)的文化價值.

評析：平面密鋪是數(shù)學(xué)之美中典型的例子，體現(xiàn)了直觀之美.此環(huán)節(jié)老師展示了很多生活中的圖片，以及世界各國數(shù)學(xué)家對某些多邊形密鋪的研究，滲透了濃厚的數(shù)學(xué)文化色彩，更激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的動力.

環(huán)節(jié)5：歸納與思考

對密鋪的再認識，對研究方法的再思考.

評析：一節(jié)課的點睛之筆不能忽視，筆者一直認為一節(jié)課的最終目的是用課堂上學(xué)到的知識、習(xí)得的方法、感悟的思想解決更多類似的、不同的問題，達到經(jīng)驗的遷移、能力的提升，從而學(xué)以致用、學(xué)有所用.此環(huán)節(jié)教師問：“你還有想研究的問題嗎？”讓學(xué)生主動地提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，一名學(xué)生提出問題：今天學(xué)習(xí)了平面圖形的密鋪，空間圖形能密鋪嗎？由于時間有限，教師并未能展開，也沒有讓更多的學(xué)生提出問題，甚為可惜，若能帶著學(xué)生分析問題、解決問題，便是對整堂課學(xué)習(xí)的一個提升.此處筆者建議：教師可以讓學(xué)生回家后思考為何選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪時只有正三角形、正四邊形、正六邊形能滿足？這是在生動的課堂后增添了火熱的思考，更錦上添花！

三、初中數(shù)學(xué)實驗課的思考

“平面圖形的密鋪”是一節(jié)典型的數(shù)學(xué)實驗課.本節(jié)課的目的是：經(jīng)歷觀察、操作、辨析的過程，認識密鋪；在實驗活動中，理解密鋪的問題與多邊形內(nèi)角和問題的關(guān)聯(lián)性；用逐步積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高實踐能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.此節(jié)實驗課所屬類型為實物驗證型，即借助工具，研究數(shù)學(xué)問題；發(fā)展指向為推理能力、幾何直觀，這是新課標(biāo)中重要的核心詞.在授課中，一般的教師都通過學(xué)生的動手拼圖、交流探索得到結(jié)論，從而歸納密鋪的原理，很少有教師能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度再審視此節(jié)課的內(nèi)涵，失去了數(shù)學(xué)實驗課啟迪學(xué)生智慧的作用，即使課堂上由于時間的關(guān)系不深入研究，也可以在課后讓學(xué)生“火熱”的思考，其實研究這些問題對初中學(xué)生并不困難，當(dāng)學(xué)生通過研究后收獲了更多的數(shù)學(xué)結(jié)論，以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就更有信心了.

比如，選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪為何只有正三角形、正四邊形或正六邊形呢？可以這樣解釋：

所以若只選用一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪必為正三角形、正四邊形或正六邊形.

這樣研究后相信學(xué)生對選用一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪會了解的更全面，也會更好的記住此結(jié)論.

再比如，從邊長相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出幾種合適的正多邊形進行密鋪，是否會得到某些結(jié)論呢？

若3個正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這3個多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形，則有化簡可得，即

同理可得：若4個正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這4個多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形、正p邊形，則有

以此類推，若5個正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這五個多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形、正p邊形、正q邊形，則有

通過研究，若學(xué)生得到此結(jié)論，相信絕對有助于學(xué)生以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅收獲了自信，還收獲了研究數(shù)學(xué)問題的方法.

四、初中數(shù)學(xué)實驗課的建議

1.生動的課堂

心理學(xué)研究表明：課堂上，民主的教學(xué)氛圍，教師鼓勵學(xué)生的自主性，容許學(xué)生在自行探索中去發(fā)現(xiàn)知識，容許學(xué)生表達不同意見，學(xué)習(xí)活動較為自由，這種教育環(huán)境，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，所以數(shù)學(xué)實驗課的做法正符合這些要求，值得推崇.數(shù)學(xué)實驗課上，學(xué)生更多的是自主參與，積極而主動，極大地提高了課堂的效率.在教學(xué)過程中，課堂教學(xué)形式生動，學(xué)生作為活動的主體，手腦并用，以“做”為支架的活動方式，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)猜想.

2.火熱的思考

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾提出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.數(shù)學(xué)實驗課堂上，學(xué)生雖然真正地“動”了起來、學(xué)習(xí)熱情高漲，但時間相當(dāng)有限，往往發(fā)現(xiàn)的都是較為淺顯的結(jié)論，并不能通過45分鐘發(fā)現(xiàn)更深的結(jié)論，所以要兼顧實際情況，在課后讓學(xué)生積極探索，繼續(xù)研究，觸發(fā)學(xué)生火熱的思考，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會大大提升，漸漸進入一個良性循環(huán)的狀態(tài).H