對“數(shù)學教學不要無原則地搞一題多解”的思考

筅江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學　張永杰

對“數(shù)學教學不要無原則地搞一題多解”的思考

筅江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學張永杰

去年，教育部《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》副組長、修訂組組長、首都師范大學博士生導師王尚志教授在浙江嘉興數(shù)學學科課程綱要建設(shè)推進研討會上作了“關(guān)于普通高中數(shù)學課程標準修訂”的專題報告.報告中王教授拋出了一個觀點：數(shù)學教學不要無原則地搞一題多解.由于沒機會參加會議聆聽王教授報告，所讀文本信息也只有觀點并無闡釋，所以無從獲取更多教誨，但該觀點確實觸動了筆者，作為一線教師感同身受，也引發(fā)了筆者對“數(shù)學教學不要無原則地搞一題多解”的系列思考.

一、解讀“數(shù)學教學中不要無原則地搞一題多解”

1.背景分析

王尚志教授報告的重心是介紹這次課標修訂的兩個重要突破：一是學生的“六大數(shù)學核心素養(yǎng)”，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)有待提高；二是把評價、考試納入課程標準，形成學業(yè)質(zhì)量標準，以后不設(shè)考綱，高考以課標為標準.對第一個突破要清楚其發(fā)展軌跡，主要體現(xiàn)為：從1962年的大綱提出了運算、空間想象、邏輯推理三大能力，到本世紀初的高中數(shù)學的課改大綱發(fā)展為抽象概括、邏輯推理、空間想象、運算求解、數(shù)據(jù)處理五大能力，再到今天的六大數(shù)學核心素養(yǎng)，關(guān)注學生數(shù)學學習的能力、素養(yǎng)發(fā)展與提高是數(shù)學課程標準制定與修改的一貫基本思考.第二個突破，主要是要把教育理想、教育目標落實到數(shù)學課程并與數(shù)學課程深度融合，落實在學生發(fā)展中，以適應“科學技術(shù)迅猛發(fā)展，21世紀對人才基本能力的要求，教育的深入發(fā)展逐步建立法制化、制度化的標志”這三大背景和國際趨勢，改變我國課標、考綱各自為政，課標執(zhí)行力遠不如考綱、高考指揮教學現(xiàn)狀.

高中數(shù)學教學，注重考試分數(shù)、升學率等眼前利益，忽視理性精神、數(shù)學能力和素養(yǎng)、全面發(fā)展等長期利益.教師的理念不與時俱進，數(shù)學課堂教學的主旋律就是解題教學，而且其“異化”途徑往往是“數(shù)學教學=解題教學=題型教學=刺激-反應訓練”（章建躍老師語）.無原則的一題多解必然發(fā)生于其中.曾經(jīng)在一所省四星級高中聽過一堂高三復習課，教師盡其所能，學生也積極配合，一道填空題講出了八種解法，課堂氣氛良好，課后向?qū)W生了解本題的收獲，有的已不能講出這些解法的要領(lǐng)和意義，只是感覺當初聽懂了，教師的解法多，五彩繽紛，這說明能力不強的學生很多解法聽過做過就忘了，消化不了，那樣的一題多解就沒有多大積極意義了.講授的一題多解要著眼于能力，不能變成無謂的解法堆積和發(fā)散.如果讓一題多解泛濫，那么一部分同學可能會不多解不罷休，深陷其中不能自拔；一部分越聽越迷糊，題目拿到手不知從何下手.一題多解教學是必要的，但不應該成為課堂教學的常態(tài).

高中課程改革的大背景下，學校的培養(yǎng)要著眼于學生的核心素養(yǎng)和能力的提高.無原則地搞一題多解是功利短視的做法，它違背了學生的發(fā)展需要，違背了課標精神，最終也適應不了新的高考要求和人才選拔制度.

2.論點域的確立

正如世上難有絕對的真理，命題成立有其前提條件.“一題多解”簡單地說就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習題的解答.“一題多解”可以是一種個人的研究興趣和特點，譬如偉大的高斯就喜歡一題多解，對一些重要定理的證明，他一慣不滿足已得證法，還長期尋找新的、更漂亮的證法，有的甚至前后相距數(shù)年、幾十年；一題多解也是訓練、展示和交流的需要，如不少數(shù)學期刊雜志刊登發(fā)表一題多解的文章；一題多解也是課堂教學，特別是解題教學普遍認可、有效的一種教學方式，在我國數(shù)學課堂上，像著名數(shù)學特級教師孫維剛，就喜歡和倡導“三多”，即“一題多解、多題一解和一題多變”的教學.故對王尚志教授“數(shù)學課堂中不要無原則地搞一題多解”這一觀點，在了解其背景之后我們必須還要搞清楚其討論范圍，那就是數(shù)學課堂、數(shù)學教學.不是反對教師的“一題多解”學術(shù)研究取向，也不是否定和打擊學生對數(shù)學問題“一題多解”的興趣，而是想借此探討“如何在高中數(shù)學課堂中認識、處理好一題多解”，通過一題多解真正激發(fā)起學生思維，增強學生的思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，提升教學的質(zhì)量與效果.

3.批判的為“無原則”

“數(shù)學課堂中不要無原則地搞一題多解”顯然是用批判的眼光、辯證的視角來審視數(shù)學課堂的一題多解的，在“無原則”，不是簡單粗暴地全盤否定課堂教學中的一題多解，更不是針對一題多解.我們進一步的思考是：什么是無原則地搞？它有哪些主要表現(xiàn)形式？其內(nèi)在本質(zhì)原因何在？

二、剖析“無原則一題多解”的形式與緣由

下面我們分析“無原則一題多解”的一些主要表現(xiàn)形式，并努力探尋背后潛藏的本質(zhì)原因.

1.觀念的誤導

數(shù)學學科的特點決定數(shù)學思維的特殊性，表現(xiàn)為解決問題方法、策略和路徑的多樣性.一題多解是數(shù)學解題的正常形態(tài)，是訓練和培養(yǎng)思維廣闊性品質(zhì)的好方式，為我國廣大數(shù)學教師認可、喜愛，并能有意識、自覺地實踐于數(shù)學課堂教學.問題出現(xiàn)在，一題多解是一種好的教學方式，但無原則的濫用卻使好東西變了味，走了樣.就像人參、燕窩等高級補品，營養(yǎng)價值高，但盲目進補，不但對進食者無益，反而傷了身體.好東西也要看怎樣用，包醫(yī)百病，好東西一定有好效果的觀念是肯定會誤人的.

2.功利的追逐

因為高考就是解題，追逐的是拿高分，是升學率.帶著兩個錨航行更安全，多一種方法多一種選擇，基于這種心理，一題多解迎合多方需求，為高考多拿分、拿高分提供了某種可能.但是，眼里只有高考，一切圍著高考打轉(zhuǎn)，把數(shù)學教學異化為解題教學，更進一步變成“刺激—反應”的體力活，其結(jié)果只能使“一題多解”變成功利追逐的手段，應試的幫兇.正如數(shù)學家丘成桐所說：“做研究與做題目沒有太多關(guān)系，……全國為了考試而努力，是個災難性的問題.”

3.本質(zhì)的迷失

把一題多解搞成“題型+技巧”，教師津津樂道于傳授各種各樣的“錦囊妙計”，對“從概念和定理出發(fā)思考和解決問題”不予重視，按章建躍老師的說法是本質(zhì)上對邏輯推理不重視；例、習題選擇標準是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互關(guān)聯(lián)的題目，目的是讓學生熟練更多的技巧，這樣的一題多解，本質(zhì)上是缺乏方法的目的性.所以，一題多解一旦淪為技巧的堆砌和細枝末節(jié)的糾結(jié)，必然對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力素養(yǎng)等的形成和數(shù)學整體觀構(gòu)建不利，甚至造成干擾和傷害.

4.角色的錯位

無原則地搞一題多解往往是教師的主觀意識中“角色錯位”造成的.一方面，教師想通過一題多解“加大思維容量”，教師只要求“講思路”而對嚴格的邏輯推理過程及其表達缺少示范和要求，學生聽起來似懂非懂，寫起來亂七八糟；另一方面，由于一題多解確實對學生能力要求高，而學生的學習能力在客觀上存在不足和個體差異，往往是教師自己在一題多解，或者是少數(shù)優(yōu)生表演，而大多數(shù)的學生則變成聽眾和觀眾.這種由于缺乏“如何解題”、“怎樣教會學生解題”引導和啟發(fā)的“一題多解”，只是往學生頭腦中灌輸了一些彼此不太相關(guān)的所謂方法，結(jié)果是：多了，反而亂了，什么也沒學會，什么也沒抓住.

三、構(gòu)建“有原則的一題多解”

只批判“無原則地搞一題多解”并無多大意義，破是為了立.一題多解作為我國數(shù)學解題教學的優(yōu)良傳統(tǒng)，我們應該辯證的繼承，充分挖掘、發(fā)揮其正效應、正能量.相對于無原則，一個自然的想法是確立原則，使無原則地搞變?yōu)榘丛瓌t操作.所以需要構(gòu)建“有原則的一題多解數(shù)學教學”，對此，談?wù)剛€人幾點不成熟的想法.

1.目的性原則

學數(shù)學離不開解題，但要明白解題是為了什么？目的性要明確.一般地，我們認為通過解題，加深概念理解，深化對概念間聯(lián)系性的認識，優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，訓練數(shù)學思維，提高學生數(shù)學能力和數(shù)學核心素養(yǎng)，而不是為了解題而解題.按王尚志教授的說法，數(shù)學有對思維訓練、實用價值及備考訓練的三大作用.一題多解是一種重要的數(shù)學活動，一定程度上它為實現(xiàn)這三大作用提供路徑.

需要指出的是，在課堂教學操作層面，對一題多解，一方面要對其中的每一具體解法，要結(jié)合其特點、特征，側(cè)重于個性和更具體的目的或功能分析；另一方面要重視進行方法間的橫向比較，拓展學生思路，引導學生養(yǎng)成從不同視角看數(shù)學問題，用不同表征、陳述和解決問題，從而使學生更好地整體把握和認識數(shù)學.

另外，在不同課型、不同學習階段，目的性是存在差異的，如新授課以鞏固和深化概念為主，概念聯(lián)系只能是與舊知單向；習題課、復習課，特別是高三復習課，由于知識、技能和方法基本在之前分散學過，所以橫向前后聯(lián)系更廣泛，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)相對更重要，思維訓練就更靈活.不同數(shù)學內(nèi)容，不同課型，對一題多解的需求和要求是不一樣的，一題多解的目的或所要達成的目標是有區(qū)別的.

2.“好題”原則

顯然，不是任何一個題都適合你的學生，特別是適合一題多解的.例如：求過點（3，2）的直線l與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積的最小值.本題用直線的點斜式求出截距后再使用基本不等式輕松解決，然而過分強調(diào)一題多解的話，直線方程可以有截距式和斜截式的選擇；求最值可以有導數(shù)和二次函數(shù)的選擇，實際比較下來都不如第一種方法好，這樣就沒有必要在此題上強調(diào)一題多解了.如果是從不同的角度思考，方法上差不多簡便，那么就可以考慮讓學生思考多種解法，明晰各自思路的要領(lǐng)，以達到融會貫通的目的；如果一種方法簡潔明了，其他方法又繞彎又費解，就無需講多種解法.孫維剛老師說：“我給學生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學生思維的，做好基本功.”那么，選擇什么樣的題最能啟發(fā)學生思維、最適合進行一題多解訓練呢？主張“讓學生解好題”和“好解題教學”的章建躍老師給我們提供了“好題”標準：從數(shù)學角度衡量，“好題”應具有如下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等；從培養(yǎng)思維能力的角度，則應有：問題是自然的，對學生智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確，不糾纏細枝末節(jié)，表達形式簡潔、流暢、好懂等.適合一題多解的題目選擇還應注意時間點，只有在學生牢固掌握各種解法時，適時恰當引導，才能讓學生真正做到一題多解.例如：在直線的方程中，涉及截距問題時，往往截距式和斜截式運用一種形式就可以很好地解決問題，可是不少剛學習這一知識的學生在解題時會同時出現(xiàn)截距式和斜截式，反映出學生出現(xiàn)了在方法上的選擇困難.

3.教師主導原則

目的性原則和“好題”原則，是從數(shù)學內(nèi)容、教學功能角度提出的標準，按章建躍老師的“三個理解”說法，主要側(cè)重于“理解數(shù)學”.一題多解強調(diào)教師主導原則，主要是從“理解教學”角度提出，具體表現(xiàn)為：首先，例、習題選取，其目的性確立，“好題”選擇和判斷主要是靠教師把握，需要教師自身有高的數(shù)學素養(yǎng)（當然包括一題多解能力）；其次，數(shù)學課堂的一題多解，當然需要教師課堂組織和領(lǐng)導.對一題多解教學，教師主導作用在以下幾個關(guān)鍵點上顯得尤為重要：個體的獨立思考、小組（班級）交流與展示、點評與總結(jié)等.譬如章建躍老師認為下面這種組織形式是解題教學的好習慣：出示題目—請大家認真讀題、審題，有想法后就舉手—閉上自己的嘴耐心等候—說說你的想法，而不和盤托出自己的想法—還有不同的想法嗎—大家總結(jié)一下.

教師的真正意義不在于告訴學生可以怎么解，而在于知道在適當?shù)臅r機引導學生個性思考、合作探究、交流爭辯，積累總結(jié)，讓課堂閃耀學生的思維火花.搞一題多解的教學，真正意義不在于把學生訓練到拿到題就想到有哪幾種方法，以掌握的方法多來逞能，而在于讓學生知道哪種解法更適合自己的思維，在學習中提升了學習興趣，了解了數(shù)學思想，掌握了學習的方法.

4.學生主體原則

一題多解的課堂教學（解題教學），它的目的當然是學生學會解題，更理想的是能用多種方法解題.正如數(shù)學家波利亞所說，解題是一種實踐性的技能，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學會了解題.所以，一題多解必須強調(diào)學生主體性原則，盡可能保證學生解題的“主角”角色.鼓勵、欣賞學生廣開思路和發(fā)散思維，促進學生相互之間交流與啟發(fā).

落實學生主體原則需要注意幾點：（1）給足學生獨立思考時間，而且一定要讓每個學生有真正的獨立思考；（2）不否定和排斥教師的必要幫助、示范，但要把握好度；（3）對于數(shù)學領(lǐng)悟力好的學生，可以考慮多一些一題多解的教學，接受能力一般的學生，即便有簡便的方法，但不易理解，這時講一種適合他們思維方式的辦法就可以了，能力提高了以后再說.尊重學生個體差異和思維特性，教師并不強求每位學生掌握每種解法，尊重學生自己的選擇和愛好（譬如有的傾向代數(shù)思維，而另一個則相反，喜歡幾何思維），這在平面向量中與圖形有關(guān)的問題上體現(xiàn)的較為明顯.

四、結(jié)束語

隨著高中課程標準修訂工作的推進，高中數(shù)學課程自然會出現(xiàn)新變化和新要求，作為一線教師要適應這些變化和要求，只能不斷加強學習，密切關(guān)注課改信息和動向.六個數(shù)學核心素養(yǎng)是此次課標修訂的重大突破和新成果，必將引領(lǐng)數(shù)學課程新走向，是我們數(shù)學教師學習的重中之重；為實踐六個數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學教學，需要對傳統(tǒng)做法進行批判性反思，處理好繼承、改進和創(chuàng)新的關(guān)系，一題多解是被實踐證明了的好的做法，但仍需謹防無原則地使用.

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量為學生謀取長期利益［J］.數(shù)學通報，2013（2）.

2.章建躍.讓學生解好題［J］.中小學數(shù)學，2013（12）.

3.章建躍.再談什么才是好解題教學［J］.中小學數(shù)學，2014（5）.F