論等價(jià)關(guān)系在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性

孫曉霞

摘要：本文主要介紹了線性代數(shù)課程中的一些等價(jià)關(guān)系及其應(yīng)用，介紹了向量組的等價(jià)以及矩陣的等價(jià)。進(jìn)一步分析了各種等價(jià)關(guān)系之間的關(guān)系。通過對(duì)等價(jià)關(guān)系的研究，可以對(duì)向量組以及矩陣進(jìn)行分類，進(jìn)而可以探討等價(jià)關(guān)系中的保持不變的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：向量組;矩陣;等價(jià);不變量

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）05-0172-02

一、引言

線性代數(shù)是大學(xué)理工科和財(cái)經(jīng)類學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。本課程的特點(diǎn)是實(shí)用性很強(qiáng)，幾乎任何領(lǐng)域都會(huì)涉及到線性代數(shù)的內(nèi)容。但是，線性代數(shù)抽象程度高，邏輯思維力強(qiáng)。因此，學(xué)好線性代數(shù)，需要學(xué)生不僅要學(xué)明白知識(shí)點(diǎn)，最重要的是理清各種數(shù)學(xué)概念的相關(guān)性以及邏輯關(guān)系。貫穿線性代數(shù)課程的一個(gè)非常重要的關(guān)系就是等價(jià)關(guān)系。它可以將很多知識(shí)點(diǎn)都聯(lián)系起來，從而有助于我們更深刻的理解線性代數(shù)中的很多概念。

兩個(gè)事物等價(jià)，一般是指這兩個(gè)事物在某些方面有共同的性質(zhì)，因此，在研究此類性質(zhì)時(shí)，對(duì)這兩個(gè)事物不加以區(qū)分。等價(jià)關(guān)系具備自反性對(duì)稱性以及傳遞性?，F(xiàn)實(shí)生活中的很多關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系，例如朋友關(guān)系、室友關(guān)系等等。數(shù)學(xué)中很多關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系，例如中學(xué)接觸到的三角形相似的關(guān)系等。如果研究對(duì)象的某種關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，我們就可以利用這種關(guān)系對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類。屬于同一類別的研究對(duì)象具有相同的性質(zhì)，例如兩個(gè)三角形相似，角度是相同的。因此，線性代數(shù)中的等價(jià)關(guān)系和現(xiàn)實(shí)生活中的等價(jià)關(guān)系是類似的。

數(shù)學(xué)上，等價(jià)關(guān)系嚴(yán)格的定義是指：滿足自反性，對(duì)稱性，傳遞性的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系。給定兩個(gè)量A和B，下面是這三個(gè)關(guān)系的解釋。自反性：A和A等價(jià)。對(duì)稱性：A和B等價(jià)，則B和A等價(jià)。傳遞性：A和B等價(jià)，B和C等價(jià)，則A和C等價(jià)。

本文首先介紹向量組的等價(jià)、分類以及保持不變的性質(zhì)。然后介紹矩陣的等價(jià)系以及保持不變的性質(zhì)，最后給出兩種等價(jià)的關(guān)系。

二、向量組的等價(jià)

向量組這個(gè)概念簡(jiǎn)單，但其內(nèi)在的關(guān)系對(duì)討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)起著至關(guān)重要的作用。下面定義是向量組的等價(jià)。

定義1 給定兩個(gè)n維向量組（A）：α ?，α ?，…α ?，（B）：β ?，β ?，…β ?，如果向量組（A）中任何一個(gè)向量可由向量組（B）線性表示，同時(shí)向量組（B）中任何一個(gè)向量可由向量組（A）線性表示，則稱向量組（A）和（B）相互等價(jià)。

易證上述定義的關(guān)系滿足自反性，對(duì)稱性以及傳遞性，因此向量組的等價(jià)確實(shí)是一種等價(jià)關(guān)系。由定義可知極大無關(guān)組和原向量組相互等價(jià)。每個(gè)向量組包含向量的個(gè)數(shù)不一定一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。但是，兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組所包含的向量是一樣的。下面給出向量組的等價(jià)保持不變的性質(zhì)。

性質(zhì)1 如果向量組（A）和（B）相互等價(jià)，則兩個(gè)向量組的秩相等，即

r（α ?，α ?，…α ?）=r（β ?，β ?，…β ?）.

性質(zhì)1表明向量組的等價(jià)關(guān)系保持向量組的秩不變。即，秩為此等價(jià)關(guān)系不變量。反之不成立，即向量組的秩相同，不一定能得到兩個(gè)向量組等價(jià)，下面給出兩個(gè)向量組等價(jià)的充分條件。

定理1 給定兩個(gè)n維向量組

（A）α ?，α ?，…α ? （B）β ?，β ?，…β

構(gòu)造向量組（C）α ?，…，α ?，β ?，…，β ?，則向量組（A）和（B）等價(jià)的充要條件為向量組（A）（B）（C）的秩相等。

證明：必要性：設(shè)向量組（A）和（B）等價(jià)，要證向量組（A）（B）（C）的秩相等。

由性質(zhì)1知向量組（A）和（B）的秩相等。則這兩個(gè)向量組的極大無關(guān)組相互等價(jià)且包含向量的個(gè)數(shù)相同。由于向量組（C）可由向量組（A）和（B）線性表示，因此向量組（C）可由這兩個(gè)向量組的極大無關(guān)組表示，又因?yàn)檫@兩極大無關(guān)組可相互線性表示，因此向量組（C）可由（A）的極大無關(guān)組和（B）的極大無關(guān)組分別表示，即（A）的極大無關(guān)組和（B）的極大無關(guān)組也為向量組（C）的極大無關(guān)組。因此向量組（C）的秩和（A）（B）的秩相等。

充分性：設(shè)向量組（A）（B）（C）的秩相等，要證向量組（A）和（B）等價(jià)。

由于向量組（A）（C）的秩相等，因此向量組（A）的極大無關(guān)組也為向量組（C）的極大無關(guān)組，因此向量組（A）（C）等價(jià)。同理向量組（B）（C）等價(jià)。綜上所述，利用等價(jià)的傳遞性即可知向量組（A）和（B）等價(jià)。

三、矩陣的等價(jià)

矩陣是線性代數(shù)中重要的研究對(duì)象，同時(shí)也是解決許多問題的數(shù)學(xué)工具，下面介紹矩陣的等價(jià)關(guān)系及等價(jià)不變量。

定義2 給定n階矩陣A和B，如果A經(jīng)過若干次初等變換得到矩陣B，則稱矩陣A和B相互等價(jià)。

由于初等行變換相當(dāng)于對(duì)矩陣左乘初等矩陣，初等列變換相當(dāng)于對(duì)矩陣右乘初等矩陣，因此以上關(guān)系用等式表示為PAQ=B，其中P和Q分別為可逆矩陣。容易證明，上述定義的矩陣關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，即滿足

1.自反性;令P=I和Q=I，則PAQ=A。

2.對(duì)稱性;如果PAQ=B，則P ?BQ ?=A，因此B和A也等價(jià)。

3.傳遞性：如果PAQ=B，MBN=C，則PMANQ=C，因此A和C也等價(jià)。

下面探討矩陣等價(jià)保持不變的性質(zhì)：

性質(zhì)2 矩陣A和B等價(jià)，則

1.r（A）=r（B）;初等變換不改變矩陣的秩。

2.矩陣A和B具有相同的可逆性;根據(jù)行列式的性質(zhì)可知|A|=k|B|，其中k≠0。

3.矩陣A和B相似，因此具有相同的特征多項(xiàng)式，即有相同的特征值。

性質(zhì)3 矩陣運(yùn)算對(duì)等價(jià)性的影響，如果矩陣A和B等價(jià)

1.對(duì)實(shí)數(shù)k，矩陣kA和kB等價(jià)。

2.矩陣A ?和B ?等價(jià)。

3.如果矩陣可逆，則矩陣A ?和B ?等價(jià)。

四、向量組的等價(jià)和矩陣的等價(jià)的關(guān)系

一般情況，向量組等價(jià)和矩陣的等價(jià)不能互推。但是在某些條件下兩者有一定的關(guān)系，下面討論這個(gè)問題。

定義3 如果向量組（A）和（B）均有n列（行），而且向量組等價(jià)，則這兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣也等價(jià)。

證明：如果向量組（A）和（B）均有n個(gè)列（行）向量組等價(jià)，則兩個(gè)向量組的秩相等。因此，兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣具有相同的秩。由于構(gòu)成的兩個(gè)矩陣有相同的階數(shù)，因此它們都等價(jià)于同一個(gè)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，利用矩陣等價(jià)關(guān)系的傳遞性可知這兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣也等價(jià)。

注解：定理中必須要求兩個(gè)向量組包含向量的個(gè)數(shù)一致。如果包含向量的個(gè)數(shù)不一致，則它們構(gòu)成的兩個(gè)矩陣的階數(shù)不同，那么它們一定等價(jià)于不同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，因此兩者肯定不等價(jià)。例如，

設(shè)（A）：α ?=（1，0） α ?=（0，1）;（B）：β ?=（1，2） β ?=（1，1） β ?=（1，-1）

定理2 如果n×m矩陣A經(jīng)過初等行變換得到B，即PA=B，則向量組（A）和（B）等價(jià)。

證明：設(shè)P=p ? p ? … p ?p ? p ? … p ? ? ? p ? p ? … p ?，A=α ?α ? α ?，

B=β ?β ? β ?，則由PA=B可知

p ? p ? … p ?p ? p ? … p ? ? ? p ? p ? … p ?α ?α ? α ?=p ?α ?+p ?α ?+…+p ?α ?p ?α ?+p ?α ?+…p ?α ? p ?α ?+p ?α ?+…+p ?α ?=β ?β ? β ?，即證結(jié)論。

需要說明的是：如果n×m矩陣A經(jīng)過初等列變換得到B，即AP=B，則我們同樣可得向量組（A）和（B）等價(jià)。

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