關(guān)于冪級數(shù)的一點(diǎn)注記

張曉斌+韓穎

摘要：本文介紹了冪級數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，并針對某類函數(shù)的冪級數(shù)展開進(jìn)行了較詳細(xì)的解釋，有助于加強(qiáng)學(xué)生對該知識點(diǎn)的理解，同時也可供同行教師參考.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);函數(shù);冪級數(shù)

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）06-0186-02

冪級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，也是一種有效的計(jì)算工具，它能應(yīng)用于極限的求法、數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和、定積分和積分的計(jì)算、解常微分方程，還能對泰勒級數(shù)、和傅里葉級數(shù)展開起著鋪墊的作用，而且用它解題往往思路清晰、邏輯清楚.

一、冪級數(shù)的概念

（一）冪級數(shù)

形如 ?a ?x ?或 ?a ?（x-x ?） ?的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù)a ?，a ?，a ?，…，a ?…叫作冪級數(shù)的系數(shù)[1].為討論方便，我們這里只考慮 ?a ?x ?這種形式.

（二）收斂半徑與收斂區(qū)間

如果冪級數(shù) ?a ?x ?不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：當(dāng)|x|R時，冪級數(shù) ?a ?x ?發(fā)散;當(dāng)x=R或x=-R時，冪級數(shù) ?a ?x ?可能收斂也可能發(fā)散.

正數(shù)R通常叫作冪級數(shù) ?a ?x ?的收斂半徑.由冪級數(shù)在x=±R處的收斂性決定.

它在區(qū)間[-R，R）、（-R，R]或[-R，R]上收斂.這樣的區(qū)間叫作冪級數(shù) ?a ?x ?的收斂域，而開區(qū)間（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.如果冪級數(shù) ?a ?x ?僅在x=0收斂，就規(guī)定R=0，如果冪級數(shù) ?a ?x ?對一切x都收斂，則規(guī)定R=+∞.

（三）收斂半徑的求法

1.對于不缺項(xiàng)的冪級數(shù) ?a ?x ?，

定理：設(shè)冪級數(shù) ?a ?x ?的系數(shù)有 ? ?存在或者為+∞，則R= ? ?.

定理[2]：設(shè)冪級數(shù) ?a ?x ?的系數(shù)有 ? ?=ρ存在或者為+∞，則

①當(dāng)0<ρ<+∞時，有R=1/ρ.

②當(dāng)ρ=0時，定義R=+∞.

③當(dāng)ρ=+∞時，定義R=0.

2.對于缺項(xiàng)的冪級數(shù)，例如 ?a ?x ?，令u ?=a ?x ?，考慮

= ?=ρx ?，由正項(xiàng)級數(shù)比值審斂法，當(dāng)ρx ?<1時，級數(shù)收斂，此時可得

①當(dāng)0<ρ<+∞時，有R=1/ ?.

②當(dāng)ρ=0時，定義R=+∞.

③當(dāng)ρ=+∞時，定義R=0.

二、將函數(shù)展開成冪級數(shù)

如果f（x）在點(diǎn)x ?的某鄰域內(nèi)具有各有階導(dǎo)數(shù)

f ′（x），f ″（x），f ？蓯（x），…，f ?（x），…，則稱冪級數(shù)f（x ?）+f ′（x ?）（x-x ?）+ ?（x-x ?） ?+…+ ?（x-x ?） ?+…為函數(shù)f（x）在x=x ?處展開的泰勒級數(shù).特別地.取x ?=0得冪級數(shù)f（0）+f ′（0）x+ ?x ? ?+…+ ?x ?+…稱為函數(shù)的麥克勞林級數(shù).

定理[1]：假設(shè)函數(shù)f（x）在x ?的某一鄰域具有各界導(dǎo)數(shù)，則f（x）在該領(lǐng)域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f（x）的泰勒公式中的余項(xiàng)R ?（x）當(dāng)n→∞時的極限為0.

《高等數(shù)學(xué)》（第五版下冊，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編）第十一章第四節(jié)（P.222）給出了m=1/2及m=-1/2時（1+x） ?的二項(xiàng)展開式：

=1+ ?x- ?x ?+ ?x ?- ?x ?+…，x∈[-1，1]， （1）

=1- ?x+ ?x ?- ?x ?+ ?x ?+…，x∈（-1，1]. （2）

但是該教材并未指出上面兩個式子為何在端點(diǎn)處成立，下面我們給出證明.

證明：對于（1）式，左端 ?顯然在x=±1處連續(xù)，我們只需證明（1）式右端的冪級數(shù)在x=±1處均收斂即可.對于x=1，（1）式右端即

1+ ?- ?+ ?- ?-…=1+ ?（-1）

u ?，其中u ?= ?，顯然u ?>u ?且0

u ?=0，由萊布尼茲定理 ?（-1） ?u ?收斂，故（1）式右端的冪級數(shù)在x=1處收斂.

對于x=-1，（1）式右端即1- ?- ?- ?- ?-…=1- ?u ?，其中u ?= ?，此時

= ? ?= ? ?，正項(xiàng)級數(shù)比值審斂法失效.但是

u ? ?= ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?·

≤ ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?= ?.

因此u ?≤ ?由正項(xiàng)級數(shù)比較審斂法的極限形式，得到 ? ?與p級數(shù) ? ?的斂散性相同，從而 ?u ?收斂，也就是說（1）式右端的冪級數(shù)在x=-1處收斂.

對于（2）式，等式左端 ?在x=1處連續(xù)，但在x=-1處間斷，實(shí)際上x=-1是該函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).

對于x=-1，（2）式右端即

1+ ?+ ?+ ?+ ?+…=1+ ?u ?，其中u ?= ?，

u ? ?= ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?·

≤ ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?· ?= ?→0，故 ?u ?=0，但是u ? ?≥ ?· ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?· ?= ?，故

u ?≥ ?· ?，而p級數(shù) ? ?發(fā)散，故 ?u ?發(fā)散，也就是說（2）式右端的冪級數(shù)在x=-1處發(fā)散（和為+∞）.

對于x=1，（2）式右端即

1- ?+ ?- ?+ ?-…=1- ?（-1）

u ?，其中u ?= ?，

顯然u ?>u ?且 ?u ?=0，由萊布尼茲定理

（-1） ?u ?收斂，故（2）式右端的冪級數(shù)在x=1處收斂.從而完成了證明.

三、總結(jié)

本文介紹了冪級數(shù)的概念、性質(zhì)等，并對教材中的一個問題進(jìn)行了詳細(xì)的解答，也是本文的創(chuàng)新點(diǎn)，有助于學(xué)生加深對冪級數(shù)收斂性的理解，也可供同行教師教學(xué)時作為參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]馬曉東，李淑娟.淺談冪級數(shù)的斂散性與函數(shù)的冪級數(shù)展開[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2014，（15）：89-90.