淺談學(xué)生在分類討論中的幾種錯解現(xiàn)象

李麗君

摘 要：分類討論思想涉及全部初中數(shù)學(xué)的知識點，是每年中考必考的數(shù)學(xué)思想之一，它是提高學(xué)生邏輯思維能力和培養(yǎng)正確解決問題能力的一種重要途徑，但在具體問題中由于多種原因，導(dǎo)致學(xué)生不能正確運(yùn)用這一思想，而常常會在解題時出錯。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；常見錯解；思維定式

新課程對數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教

師不僅要組織學(xué)生探索知識，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在探索的過程中積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟基本的數(shù)學(xué)思想。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括?！?/p>

分類討論是人們常用的一種重要思想方法，無論是在生產(chǎn)生活中、還是在科學(xué)實驗中，都得以體現(xiàn)。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論思想也是解決數(shù)學(xué)問題一種重要的邏輯方法，這種數(shù)學(xué)思想在發(fā)展學(xué)生思維方面起著不可替代的作用，它能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和嚴(yán)密性。

分類討論數(shù)學(xué)思想，也稱為分情況討論，當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進(jìn)行必要的分類。將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生運(yùn)用這一思想又是必不可少的，對提高學(xué)生的邏輯思維能力和培養(yǎng)正確解決問題能力是一種重要途徑，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想與歸類整理的方法。但在具體問題中由于多種原因，學(xué)生不能正確運(yùn)用這一思想，而常常會在解題時出錯，現(xiàn)列舉幾種典型錯誤與大家共同討論：

一、對定義、概念、定理的理解不透徹

例1.若函數(shù)y=（a+3）x2a+1+4x-5（x≠0）是一次函數(shù)，求a的值？

錯解：很多學(xué)生由一次函數(shù)定義得2a+1=1且a+3≠0得y=

7x-5。

雖然定義明確規(guī)定一次函數(shù)中x的最高次數(shù)為1且k≠0，但定義所考慮的對象的范圍作為限制條件，針對的是一次函數(shù)在一般形式下成立，而本題不是一次函數(shù)的一般形式，即應(yīng)該對所給形式進(jìn)行分類討論。所以在對2a+1=1討論之外，在討論a+3=0時a=-3，y=4x-5是一次函數(shù)。

例2.半徑為3cm、5cm的兩圓相切，則它們的圓心距為 。

錯解：雖然問題很簡單，但還有很多學(xué)生只有8cm一個答案，而忘了相切有內(nèi)切和外切兩種情況。

初中課本中有不少定理、法則、公式都需要分類討論，如實數(shù)的絕對值概念等是分類定義的，在教授這些內(nèi)容時，可以通過不斷的變式練習(xí)，不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，這些都要求教師給予重視和注意，及時地進(jìn)行強(qiáng)調(diào)。

二、易受思維定式影響

例3.已知直角三角形兩邊長分別為3、4，求第三邊長。

錯解：由勾股數(shù)3、4、5，很多學(xué)生馬上得第三邊長為5.

本題因為沒有明確4到底是直角邊還是斜邊，就應(yīng)該分開討論，所以也是本題答案。

例4.已知方程（a-1）y2+6y+■=0有實根，求a。

錯解：由Δ≥0得62-4×■（a-1）≥0得a≤5且a≠1。這也是受教師平時強(qiáng)調(diào)方程有實數(shù)解時得Δ≥0，而忽略了本題中的方程不一定是二次方程，也可能是一次方程，當(dāng)a=1時，y=-■一元一次方程也滿足。

這些題目看起來很容易，但學(xué)生往往答不全，很多學(xué)生存在漏解，所以雖然內(nèi)容的相似方便于學(xué)生進(jìn)行類比，用已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗去快速解決問題，但也容易帶來思維的定式，造成一些不必要的失分，從而要求教師在平時講解時多給予變式訓(xùn)練教學(xué)。

三、因圖形位置的不確定

例5.在△ABC中，AB=2■，AC=2，BC邊上的高AD為■，求BC的長。

錯解：很多學(xué)生把∠C看成銳角，由兩次勾股定理求得BC=4。

但∠C除了銳角之外，還可能是鈍角，即BC=2也是本題的解。

例6.在⊙O中，半徑為5，兩條弦為AB，CD，且AB=6，CD=8，且AB∥CD，求AB，CD之間的距離。

錯解：很多學(xué)生只考慮圓心的兩側(cè)，由垂徑定理得距離為7，但忽略了兩條弦還可能在同側(cè)，所以距離為1也是本題的解。

例7.已知⊙O1與⊙O2相內(nèi)切，圓心距d=1，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑。

錯解：設(shè)⊙O2的半徑為r，即3-r=1得r=2，但本題并沒明確兩圓的大小關(guān)系，所以4也是本題的答案。出現(xiàn)這一錯誤的根源是沒有給定明確的圖形，而平面幾何考試中不給圖形也是常有的事，

那并不是出卷教師的疏忽，而是有意為之，其目的就是針對學(xué)生審題不仔細(xì)，對題意的理解不透徹，從而不能正確畫出圖形，導(dǎo)致失分。因此就要求教師課上要盡可能多地加強(qiáng)這方面的思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生在解題時形成正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸愃枷?，進(jìn)而將一個復(fù)雜的問題大大地簡化，達(dá)到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。

總之，以上現(xiàn)象皆因分類討論思想掌握不牢固所致，分類討論思想又是數(shù)學(xué)中一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)這一思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性。教師在制訂教學(xué)目標(biāo)、采用教學(xué)方法時，都應(yīng)有意識地突出分類討論思想，并通過具體教學(xué)過程努力加以體現(xiàn)。根據(jù)初中生的特點，教學(xué)中要遵照循序漸進(jìn)、逐步深化的原則，并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來實施分類討論方法的教學(xué)。自覺地重視和加強(qiáng)分類討論思想的教學(xué)，這也是實施素質(zhì)教育的具體表現(xiàn)，數(shù)學(xué)中的分類討論教學(xué)與素質(zhì)教育中提出的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與探索精神是一致的。所以要求教師多對學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，進(jìn)而不斷提高邏輯思維能力和分析解決問題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]方志平.例談避免分類討論的解題策略[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（01）：3.

[2]張雄.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].高等教育出版社，2006-05.

編輯 薛直艷