一類廣義弱壓縮條件的同倫不動(dòng)點(diǎn)存在性定理

馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

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一類廣義弱壓縮條件的同倫不動(dòng)點(diǎn)存在性定理

馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

[摘要]在偏序度量空間中引入了廣義弱壓縮映射條件，證明了同倫不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，推廣了原有的某些結(jié)果.

[關(guān)鍵詞]偏序度量空間; 廣義弱壓縮條件; 不動(dòng)點(diǎn); 偏序集; 線性映射

1引言

度量空間不動(dòng)點(diǎn)存在性問題已有比較完善的結(jié)果，這些結(jié)果在許多理論研究和實(shí)際應(yīng)用中起到了重要作用. Matlhews(1994)[1]提出了偏序度量空間的概念，它是度量空間的推廣，是一個(gè)不要求p(x，x)=0的廣義度量空間，有著重要的意義.隨著對(duì)該空間的深入研究及現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的需要， Ran和Reuring(2004)[2]對(duì)偏序度量空間不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題進(jìn)行了卓有成效的研究，得到了一類廣義弱壓縮映射在拓?fù)渫瑐惙矫娴牟粍?dòng)點(diǎn)存在性定理.然而，他們的條件十分苛刻.基于偏序度量空間不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題有著重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，本文將嘗試在更弱的條件下來討論偏序度量空間不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題.

2預(yù)備知識(shí)

(i) p(x，x)=p(y，y)=p(x，y)當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

(ii) p(x，x)≤p(x，y)；

(iii) p(x，y)=p(y，x)；

(iv) p(x，z)≤p(x，y)+p(y，z)-p(y，y).

序?qū)?X，p)叫做偏度量空間，p叫做偏度量.在下文中，如無特殊說明，指的是(X，p).

注1Abbas和Nazir(2012)指出，若p(x，y)=0， 則由(i)和(ii)可推出x=y.

注2鄰域Bp(x，ε)={y∈X;p(x，y)0可以生成一個(gè)拓?fù)洇觩.

注3如果(X，p)為一個(gè)偏度量空間，則會(huì)誘導(dǎo)一個(gè)度量

pS(x，y)=2p(x，y)-p(x，x)-p(y，y)，

故(X，pS)為一個(gè)度量空間.

定義2.2[3]X是一個(gè)偏序度量空間：

這樣，偏度量p是完備的.

命題2.3[3]若X是偏序度量空間，因此

(X，p)是完備的當(dāng)且僅當(dāng)(X，pS)是完備的.

定義2.4[3]映射f:X→X叫做弱壓縮映射，如果

p(fx，fy)≤p(x，y)-φ(p(x，y))， ?x，y∈X.

最近，Abbas和Nazir(2004)[3]在偏序度量空間中獲得了以下的弱壓縮條件在同倫不動(dòng)點(diǎn)存在性中的基本結(jié)果，即下文定理 2.5:

定理2.5(X，≤) 是一個(gè)存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b) ?x，y∈V，H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤p(x，y)-φ(p(x，y))，λ∈[0，1]；

則H(，0)在U中有不動(dòng)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)H(，1)在U中有不動(dòng)點(diǎn)，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

定理2.5的條件過于苛刻，在實(shí)際應(yīng)用中受到了限制.因此，本文如下定理3.1引入了一類廣義的弱壓縮映射條件，證明了拓?fù)渫瑐惒粍?dòng)點(diǎn)存在性，推廣了定理2.5，并得到了一些的推論.

3主要結(jié)果

定理3.1(X，≤)是一個(gè)存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a1) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b1) ?x，y∈V， H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c1) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0}，

s.t.ψ(p(H(x，λ)，H(y，λ)))≤ψ(M(x，y))-φ(M(x，y))，

(1)

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

(2)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0(i=3，4)，λ∈[0，1]；

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動(dòng)點(diǎn)，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

證記

A={λ∈[0，1];?x∈U，x=H(x，λ)}，

若H(·，0)在U內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，則0∈A，故A≠?，現(xiàn)將要證明A在[0，1]中既開又閉，則A=[0，1].

首先，證明A在[0，1]中是閉集，若λn→λ(n→∞)，λ∈[0，1]，因λn∈A，n=1，2，3，…，則

?xn∈U，s.t.xn=H(xn，λn)，?n，m∈N， xm∈U，

根據(jù)條件(b1)以及H(·，λ)的不減性，可知xm，xn是可比較的.而

p(xm，xn)=p(H(xm，λm)，H(xn，λn))

≤p(H(xm，λm)，H(xn，λm))+p(H(xn，λm)，H(xn，λn))-p(H(xn，λm)，H(xn，λm)).

(3)

因?yàn)棣资蔷€性遞增的，故由(1)，(3)，(d1)得

ψ(p(xm，xn))=ψ(p(H(xm，λm)，H(xn，λn)))

≤ψ(p(H(xm，λm)，H(xn，λm)))+ψ(p(H(xn，λm)，H(xn，λn)))

(4)

由(2)，(4)得

ψ(p(xm，xn))≤a1ψ(p(xm，xn))+a2ψ(p(H(xm，λm)，xm))+a3ψ(p(H(xn，λm)，xn))

也即為

(5)

所以，由(5)式得

(6)

由條件(c1)，1-a1-a2-a4>0，當(dāng)n，m→∞時(shí)，由(6)式知，有

又因?yàn)閤n∈U，x∈V，根據(jù)假設(shè)以及H(·，λ)不減性，x，xn是可比較的，

ψ(p(H(x，λ)，xn))=ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λn))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λ))+(p(H(xn，λ)，H(xn，λn))-p(H(xn，λ)，H(xn，λ)))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λ)))+ψ(p(H(xn，λ)，H(xn，λn)))

=a1ψ(p(x，xn))+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a3ψ(p(H(xn，λ)，xn))

故由上述得

(1-a4)ψ(p(H(x，λ)，xn))

≤a1ψ(p(x，xn))+a2ψ[p(H(x，λ)，xn)+p(xn，x)-p(xn，xn)]

即

(7)

由(7)式得

積極有效的思想政治教育不僅能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的人生觀、價(jià)值觀和世界觀，而且在解決學(xué)生在就業(yè)和擇業(yè)期間所存在的一些思想和心理上的困惑方面也有著一定的指導(dǎo)價(jià)值。因此，筆者認(rèn)為，高校教師特別是畢業(yè)班教師要特別注重加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思想政治教育工作，指導(dǎo)學(xué)生樹立起崇高的人生理想和社會(huì)責(zé)任感，因?yàn)橹挥袑W(xué)生社會(huì)責(zé)任意識(shí)提升了，有了遠(yuǎn)大的人生理想，其在進(jìn)行擇業(yè)時(shí)才會(huì)更好地將個(gè)人的發(fā)展與國家和社會(huì)結(jié)合起來，深入到國家和社會(huì)最需要的行業(yè)去，不怕艱苦，努力奮斗，為國家的發(fā)展建功立業(yè)。[5]

(8)

因此，由(8)式，可知

則

故λ∈A，及A為閉集，下證A為開集.

?λ0∈A，?x0∈U，s.t.x0=H(x0，λ0). 因?yàn)閁為開集，?r>0，s.tBp(x0，r)?U，固定ε>0，滿足

及

因?yàn)镠(·，λ)是不減的，對(duì)于?λ∈[0，1]，根據(jù)條件(b1)，知x，x0是可比較的，以及以下變形

ψ(p(H(x，λ)，x0))=ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ0))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ))+ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ0))-ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ))+ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ0))

(9)

同理，根據(jù)已知條件和(9)式，可得到

ψ(p(H(x，λ)，x0))≤a1ψ(p(x，x0))+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a3ψ(p(H(x0，λ)，x0))

(10)

從而由(10)知

=a1ψ(p(x0，x0)+r)+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a4ψ(p(H(x，λ)，x0))

(11)

所以從(11)式得到

(1-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))

(12)

又因?yàn)?/p>

a2ψ(p(H(x，λ)，x))≤a2ψ(p(H(x，λ)，x0))+a2ψ(p(x0，x))-a2ψ(p(x0，x0))

≤a2ψ(p(H(x，λ)，x0))+a2ψ(p(x0，x0)+r).

所以由(12)及上式得

(1-a2-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))

≤(a1+a2)ψ(p(x0，x0)+r)+(a3L+L)ψ(ε)-φ(M(x，x0)).

(13)

因?yàn)?/p>

故根據(jù)(13)式，知

(1-a2-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))≤(a1+a2)ψ(p(x0，x0)+r).

即

ψ((1-a2-a4)p(H(x，λ)，x0))≤ψ((a1+a2)(p(x0，x0)+r)).

(14)

由于ψ的遞增性，根據(jù)(14)式知

(1-a2-a4)p(H(x，λ)，x0)≤(a1+a2)(p(x0，x0)+r).

因?yàn)?/p>

由于a1+2a2+a4<1，即

p(H(x，λ)，x0)≤p(x0，x0)+r，

如果在定理3.1中，令φ(t)=t，則得到如下推論：

推論3.2(X，≤)是一個(gè)存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a2) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b2) ?x，y∈V，H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c2) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤M(x，y)-φ(M(x，y))，

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0 (i=3，4)，λ∈[0，1].

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動(dòng)點(diǎn)，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

推論3.3(X，≤)是一個(gè)存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a3) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b3) ?x，y∈V，要么H(y，λ)≤H(x，λ)，要么H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c3) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0}，

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0 (i=3，4)，λ∈[0，1].

則若H(.，0)在U內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動(dòng)點(diǎn)，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

推論3.4(X，≤)是一個(gè)存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1]，如果以下條件滿足：

(a4) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b4) ?x，y∈V， H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c4) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤αp(x，y)+β[p(H(x，λ)，x)+p(H(y，λ)，y)]+γp(H(x，λ)，y)

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

α+2β+2γ<1，α，β>0且γ≥0，λ∈[0，1]；

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動(dòng)點(diǎn)，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

[參考文獻(xiàn)]

[1]Matlhews S G. Partial metric topology[C]. Roc 8th Summer Conference on General Topology and Applocations，Ann New York Acard.Sci，1994，728:183-197.

[2]Ram ACM， Reuring，MC. A fixed point throrem in partially ordered sets and some applications to matrix equations[J].ProcAm.Math Soc， 2004， 132:1435-1443.

[3]Abbas M， Nazir T. Fixed point of generalized weakly contractive mappings in ordered partial metric spaces[J]. Springer-Verlag， 2012，1:1687-1812.

A Class of Generalized Weak Compression Conditions Existence

Theorem of Homotopy Fixed Point

MaFu-ling

(Department of Public Courses， Zhongshan Torch polytechnic， Zhongshan 528436， China)

Abstract:This paper introduces a generalized weak contraction mapping conditions in partial ordering metric space， proves the existence theorem of homotopy fixed point， and extends some of the original results.

Key words:partial order metric space; generalized weak compression conditions; fixed point; poset; linear mapping

[收稿日期]2015-01-13

[中圖分類號(hào)]O189.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0087-06