多元優(yōu)化算法可達性分析

李寶磊, 呂丹桔,2, 劉蘭娟, 施心陵, 陳建華, 張榆鋒

(1. 云南大學(xué)信息學(xué)院, 云南 昆明 650091;

2. 西南林業(yè)大學(xué)計算機與信息學(xué)院, 云南 昆明 650224)

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多元優(yōu)化算法可達性分析

李寶磊1, 呂丹桔1,2, 劉蘭娟1, 施心陵1, 陳建華1, 張榆鋒1

(1. 云南大學(xué)信息學(xué)院, 云南 昆明 650091;

2. 西南林業(yè)大學(xué)計算機與信息學(xué)院, 云南 昆明 650224)

摘要：提出了一種多元化群智能優(yōu)化算法—多元優(yōu)化算法。多元優(yōu)化算法充分利用了現(xiàn)代計算機多核處理器,大內(nèi)存的特點,通過多元化的搜索個體(元)對優(yōu)化問題解空間進行搜索,并對歷史信息進行選擇記憶。該算法因搜索群具有分工不同的多元化特點而得名。搜索元按照職責(zé)不同而分為全局元和局部元,全局元負(fù)責(zé)在整個搜索空間進行全局搜索并找到潛在解區(qū)域,局部元負(fù)責(zé)在各個潛在解區(qū)間進行局部搜索以期望找到該區(qū)域更好的解。本文從理論上證明了該算法的可達性?；跇?biāo)準(zhǔn)函數(shù)的對比實驗也驗證了該方法在可達性方面優(yōu)于其他幾個參與比較的算法。

關(guān)鍵詞：多元優(yōu)化算法; 可達性; 全局元; 局部元

0引言

近幾年計算機硬件技術(shù)突飛猛進,特別是多核處理器,大內(nèi)存成了現(xiàn)代計算機的特點[1]。然而，目前經(jīng)典的啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法并沒有充分利用現(xiàn)代計算機的硬件資源。本文基于計算機鏈表結(jié)構(gòu),提出了一種啟發(fā)式、多元化群智能優(yōu)化算法。

在眾多的啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法中,精英保留策略的基因(genetic algorithm with one elitist,EGA)算法[2]、自適應(yīng)慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization with inertia weight,PSO -w)算法[3]以其操作簡單,收斂速度快而被廣泛應(yīng)用在資源分配、道路規(guī)劃、無線傳感網(wǎng)絡(luò)等實際問題中[4-6]。然而，它們受限于易陷入局部最優(yōu)解而無法到達復(fù)雜多峰優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解[7]。為了解決該問題,許多學(xué)者通過引入新策略以平衡全局和局部搜索能力來獲得較好的全局到達性[8-9]。文獻[10]通過引入了利用所有粒子歷史最優(yōu)信息更新粒子的策略提出來了全面學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化(comprehensive learning particle swarm optimizer,CLPSO)算法。文獻[11]提出來的螢火蟲算法(firefly algorithm, FA)是受啟發(fā)于螢火蟲之間的相互吸引力與它們各自的亮度成正比及與它們的距離成反比。雖然這些算法在大部分優(yōu)化問題中表現(xiàn)出良好的性能,但是它們都是從啟發(fā)策略出發(fā)而沒有考慮現(xiàn)代計算機運算的原理。也就是說,一方面，雖然大部分算法具有并行計算的能力,但是它們沒有利用現(xiàn)代計算機具有多核處理器的特點。另一方面，這些算法為了減少算法的空間復(fù)雜度,拋棄了尋優(yōu)過程中的歷史信息,僅僅用了很少一部分內(nèi)存,大部分內(nèi)存空間是閑置的。實際上歷史信息可以用于預(yù)測搜索結(jié)果以提高搜索效率[12]。

為了充分利用現(xiàn)代計算機的硬件資源并對優(yōu)化問題的特點進行進一步的分析,本文提出了一種歷史記憶,過程尋優(yōu)的多元化優(yōu)化算法。由于搜索元分工不同具有多元化的特點,因此把該算法命名為多元優(yōu)化算法(multivariant optimization algorithm,MOA)。在本文提出的算法中,多個搜索元基于高效的信息共享機制按照各自的分工對解空間進行搜索以逼近全局最優(yōu)解。搜索元按照分工不同可以分為全局搜索元和局部搜索元,全局搜索元在解空間中隨機生成負(fù)責(zé)對全局進行搜索并對發(fā)現(xiàn)的潛在解區(qū)域進行記憶,局部搜索元在潛在解區(qū)域內(nèi)進行局部搜索以找到該局部區(qū)域內(nèi)的更優(yōu)的解。搜索元利用結(jié)構(gòu)表完成高效的信息篩選、記憶和共享以進行分工合作。

本文在第1節(jié)中描述了多元優(yōu)化算法的基本思想以及具體實現(xiàn)。第2節(jié)對該算法的可達性進行了理論證明。第3節(jié)通過模擬實驗從可達概率和可達精度兩個方面比較了多元優(yōu)化算法,精英保留策略的基因算法,自適應(yīng)慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化算法,全面學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法,螢火蟲算法的性能。實驗結(jié)果表明,多元優(yōu)化算法在可達性方面優(yōu)于其他幾個參與比較的算法。

1多元優(yōu)化算法

多元優(yōu)化算法的基本思想是對解空間進行交替的全局和局部搜索,通過對歷史信息的篩選、記憶和共享來指導(dǎo)多元化搜索元分工合作對解空間進行全面和細(xì)致的探索。算法基于如圖1所示的上三角型結(jié)構(gòu)體對歷史信息進行篩選、記憶和共享。結(jié)構(gòu)體由一個全局有序鏈表和n個局部有序鏈表構(gòu)成。全局鏈表長度為n,第i個局部鏈表長度為n-i+1。全局鏈表負(fù)責(zé)基于全局元的信息對全局潛在解區(qū)域的信息進行記憶,更新與共享。每個局部鏈表基于該局部內(nèi)局部元的信息負(fù)責(zé)一個區(qū)域內(nèi)歷史信息的記憶與更新。

圖1　上三角型結(jié)構(gòu)體

圖1算法中,本文以偽代碼的形式詳細(xì)描述了多元優(yōu)化算法的實現(xiàn)過程。多元優(yōu)化算法的一次迭代包括全局搜索和局部搜索兩個階段。在全局搜索階段,根據(jù)式(1)在整個搜索空間中隨機生成全局元GA實現(xiàn)對全局的搜索。

hi=unifrnd(mini,maxi)

(1)

式中,d是問題的維度;mini和maxi分別為解空間第i維的下界和上界;unifrnd(mini,maxi)函數(shù)返回一個均勻分布在mini和maxi之間的隨機數(shù)。新生成的全局元與全局鏈表中的元比較,適應(yīng)度值較好的全局元被作為潛在解區(qū)域的中心記錄在結(jié)構(gòu)體的全局鏈表中。在局部搜索階段,根據(jù)式(2)在以全局元GA為中心,r為半徑的局部鄰域內(nèi)隨機生成局部元實現(xiàn)對各個潛在解區(qū)域的局部搜索。

(2)

式中,li(i=1,…,d)是-1~1之間的隨機數(shù)。新生成的局部元與局部鏈表中的元比較,較好的元作為歷史信息保留下來。如果局部元優(yōu)于該區(qū)域的全局元,則該局部元將取代全局元作為新的潛在解區(qū)域中心進入全局鏈表。

由多元優(yōu)化算法的實現(xiàn)可以看出:多元優(yōu)化算法能夠利用現(xiàn)代計算機多核處理器的特點,為每個局部鏈表分配一個處理核,多核處理器并行運算,各自負(fù)責(zé)一個局部鏈表的管理,實現(xiàn)局部搜索,信息共享和記憶。

多元優(yōu)化算法如表1所示。

表1　多元優(yōu)化算法

2多元優(yōu)化算法可達性

可達性是指算法以概率1在有限次搜索后,搜索個體訪問到全局最優(yōu)解[13]。為了證明多元優(yōu)化算法的可達性,首先描述了最小化優(yōu)化問題,然后給出了解空間可達性和最優(yōu)解可達性的定義,接著證明了多元優(yōu)化算法具有可達性的充分條件,最后證明了多元優(yōu)化算法滿足可達性的充分條件,證明其具有可達性。

問題 1最小化優(yōu)化問題。假設(shè)在給定有限非空集合S中,對于目標(biāo)函數(shù)f:S→R存在最優(yōu)解集合Ω={x*|x*∈S,f(x*)<ε},其中ε是可接受的目標(biāo)函數(shù)值。優(yōu)化問題亦即在解空間S中找到至少一個使目標(biāo)函數(shù)最小化的點x*。

定理 1算法可達性。對于一個充分大的迭代次數(shù)N,優(yōu)化算法具有可達性的充分條件為:

(3)

(4)

證畢

定理 2多元優(yōu)化算法可達性。多元優(yōu)化算法滿足具有可達性的充分條件:

即多元優(yōu)化算法具有可達性。

證明(1) 解空間可達性

其中,|Sk|表示集合Sk中元的個數(shù)。令

又因為SN?S,所以E|SN|≤|S|。綜上可得

由于τ>0且S為有限非空解集合。當(dāng)N足夠大時,E|SN|=|S|。則E(|S|-|SN|)=0。由

可得

(2) 最優(yōu)解可達性

令最優(yōu)解不屬于搜索過的解集合的概率為

證畢

3仿真實驗及結(jié)果分析

為了比較多元優(yōu)化算法和其他8個常用啟發(fā)式智能優(yōu)化算法在可達性方面的性能。用200次獨立測試統(tǒng)計得出的全局最優(yōu)解到達率(accessibilityrate,AR)和可達精度作為評價指標(biāo)。算法達到可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε時,認(rèn)為該算法到達了全局最優(yōu)解。根據(jù)式(5)計算n次迭代內(nèi)的全局最優(yōu)解到達率。

(5)

式中,Ar表示全局最優(yōu)解到達率；xn是200次測試中,n次迭代內(nèi)算法到達全局最優(yōu)解的測試的個數(shù);N為總測試次數(shù)。

本文用200次實驗中獲得的最小適應(yīng)度值的均值來評價算法的可達精度。

3.1測試函數(shù)

參考文獻本文從中選擇了8個二維復(fù)雜測試函數(shù)。盡管這些函數(shù)都是低維的,但是由于其具有多峰性和欺騙性,大部分智能優(yōu)化算法無法以100%的可達率找到這些函數(shù)的全局最優(yōu)解。因此這些函數(shù)具有足夠的復(fù)雜性來測試新方法[15-19]。測試函數(shù)及其全局最優(yōu)解適應(yīng)度值,可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε如下:

(1)Michalewicz[15]

搜索空間為:x1∈[0,5],x2∈[0,5];當(dāng)d=2時,函數(shù)最小值為-1.801 3;可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=-1.8。

(2) Langermann function[16]

搜索空間為:x∈[0,10],y∈[0,10];函數(shù)最小值為-5.161 8;可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=-5.16。

(3) Damavandi[17]

搜索空間為:x1∈[0,14],x2∈[0,14];函數(shù)最小值為0;可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=1。

(4) YangStandingWave[18]

搜索空間為:x1∈[-20,20],x2∈[-20,20]函數(shù)最小值為-1;可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=-0.99。

函數(shù)(5)~函數(shù)(8)是文獻[19]中提出的新型十維合成多峰復(fù)雜測試函數(shù)。Suganthan教授在其個人主頁上提供了這些函數(shù)的代碼及其所使用的正交矩陣、偏移全局最優(yōu)解、控制參數(shù)。這3個函數(shù)搜索空間為:xi∈[-5,5],i=1,…,10,最小值均為0。

(5) CF1

cf1~cf10: Sphere Function。

可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=0.5。

(6) CF2

cf1~cf10: Griewank’s Function。

可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=10。

(7) CF3

cf1~cf10: Griewank’s Function。

可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=10。

(8) CF4

cf1~cf2: Ackley’s Function；

cf3~cf4: Rastrigin’s Function；

cf5~cf6: Weierstrass Function；

cf7~cf8: Griewank’s Function；

cf9~cf10: Sphere Function。

可接受的目標(biāo)函數(shù)值ε=10。

3.2算法和參數(shù)設(shè)置

本文中所有的算法都是基于Matlab7.0實現(xiàn)的。所有算法的相同參數(shù)為:種群大小20,最大迭代次數(shù)500。

參與比較的算法以及文獻中給出的它們最優(yōu)參數(shù)如下:

(1)EGA算法:每次迭代種群更新率為0.8;交叉和變異的概率分別設(shè)置為0.2和0.01[2]。

(2)PSO-w算法: 慣性權(quán)重隨著迭代次數(shù)的增加從1.4按照指數(shù)遞減到0.5;加速常數(shù)c1和c2均為1.494 45[3]。

(3)CLPSO算法: 慣性權(quán)重隨著迭代次數(shù)的增加從0.9按照指數(shù)遞減到0.4;加速常數(shù)c為1.494 45;更新間隔為7[10]。

(4)FA算法:隨機搜索因子α為0.2;吸引力參數(shù)β0為1;亮度吸收參數(shù)γ為1[11]。

(5)MOA算法: 結(jié)構(gòu)體為三角形結(jié)構(gòu);求解二維和十維函數(shù)時隊列長度分別為5和10;堆棧深度從左到右依次遞減1,左邊第一個堆棧棧深為10;全局搜索元個數(shù)與隊列長度相等;局部搜索元組種群大小與其對應(yīng)的堆棧深度相等;局部搜索半徑r為0.1。

3.3實驗結(jié)果分析

3.3.1到達率

圖2給出了5種算法對8個復(fù)雜多峰函數(shù)尋優(yōu)的到達率隨迭代次數(shù)的曲線。

圖2　到達率分析

由圖2可以看出:

(1)MOA算法在解決除了CF2函數(shù)以外的優(yōu)化問題中的到達率隨著迭代次數(shù)的增加不斷增加并超過其他算法。對于Michalewicz函數(shù),除了FA算法,其他所有算法都能達到100%的到達率。然而對于其他7個測試函數(shù),多數(shù)方法都以不同的概率陷入局部最優(yōu)解而無法以100%的到達率到達全局最優(yōu)解,特別是尋找Damavandi和CF4函數(shù)的最優(yōu)值時。可見,盡管這些復(fù)雜函數(shù)具有容易把搜索個體引入局部最優(yōu)解的特點,但是多元優(yōu)化算法能夠通過全局搜索跳出局部最優(yōu)解發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解可能所在區(qū)域,然后通過局部搜索逐漸靠近全局最優(yōu)解。

(2)MOA算法、CLPSO算法和FA算法在解決大部分優(yōu)化問題時的到達率隨著迭代次數(shù)的增加而增加。EGA算法和PSO-w算法的到達率達到一定值后不隨著迭代次數(shù)的增加而增加,該現(xiàn)象在函數(shù)Langermann、CF1、CF2和CF3中較明顯?？梢奙OA算法、CLPSO算法和FA算法具有跳出最優(yōu)解的能力,迭代次數(shù)越多其到達全局最優(yōu)解的概率就越大。而其他2種算法一旦陷入局部最優(yōu)解,增加迭代次數(shù)不會對早熟收斂問題有所改善。

3.3.2可達精度

表2給出了5種算法對8個測試函數(shù)尋優(yōu)的最小適應(yīng)度值的均值以及標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計結(jié)果。數(shù)據(jù)格式為:均值±標(biāo)準(zhǔn)差,最好的結(jié)果用粗體標(biāo)識。

表2　算法到達精度比較

從表2中可以得出以下結(jié)果:

(1) 對大部分函數(shù)尋優(yōu)問題中,MOA算法獲得最小的適應(yīng)度值均值。這說明:EGA、PSO -w、CLPSO和FA算法容易陷入這些復(fù)雜多峰測試函數(shù)局部最優(yōu)解而無法保證較好的到達精度。然而,MOA算法能夠以較高的到達精度找到全局最優(yōu)解。可見,MOA算法在可達精度方面優(yōu)于EGA算法、PSO -w算法、FA算法,CLPSO算法。

(2) 全面學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法和螢火蟲算法獲得的適應(yīng)硬度值均值小于傳統(tǒng)的EGA算法和PSO -w算法。這說明與CLPSO、FA算法相比,EGA、PSO -w算法更容易陷入局部最優(yōu)解,而無法獲得較高的到達精度。

4結(jié)論

本文提出了一種充分利用計算機多核、大內(nèi)存特點的多元化優(yōu)化算法。多元優(yōu)化算法中,多元化搜索元分工協(xié)作分別對解空間進行全局和局部搜索,而不必考慮均衡全局搜索和局部搜索的問題,這保證了算法能夠以一定的可達精度到達全局最優(yōu)解。本文從理論上證明了該方法的可達性,仿真實驗也驗證了該方法在到達率和可達精度方面優(yōu)于其他幾個經(jīng)典的啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法。該算法在復(fù)雜優(yōu)化問題中具有較好的可達性,對于解決容易導(dǎo)致算法早熟收斂的全局優(yōu)化問題具有良好的表現(xiàn)。

本文主要集中在從理論和實驗兩個方面證明MOA算法的可達性。進一步的工作將集中在通過利用結(jié)構(gòu)體中的歷史搜索信息預(yù)測搜索結(jié)果以保證可達性的前提下減少適應(yīng)度值函數(shù)評價次數(shù),從而提高搜索效率。

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李寶磊(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為智能優(yōu)化算法、信號處理。

E-mail:bl_li@qq.com

呂丹桔(1977-),女,博士研究生,主要研究方向為智能優(yōu)化算法、信號檢測。

E-mail:lvdanjv@gmail.com

劉蘭娟(1989-),女,碩士研究生,主要研究方向為智能優(yōu)化算法、離散優(yōu)化。

E-mail:363209350@qq.com

施心陵(1956-),男,教授,主要研究方向為自適應(yīng)信號處理、智能優(yōu)化算法。

E-mail:xlshi@ynu.edu.cn

陳建華(1964-),男,教授,博士,主要研究方向為壓縮編碼、圖像處理。

E-mail:chenjh@ynu.edu.cn

張榆鋒(1965-),男,教授,博士,主要研究方向為醫(yī)學(xué)信號處理、超聲檢測。

E-mail:zhangyf@ynu.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150120.1050.002.html

On accessibility of multivariant optimization algorithm

LI Bao-lei1, Lü Dan-ju1,2, LIU Lan-juan1, SHI Xin-ling1, CHEN Jian-hua1, ZHANG Yu-feng1

(1.SchoolofInformationEngineering,YunnanUniversity,Kunming650091,China;

2.SchoolofComputerandInformation,SouthwestForestryUniversity,Kunming650224,China)

Abstract:A multivariant optimization algorithm (MOA) is proposed. The proposed method makes full use of the multi-core processors and the large memory of modern computers. Multivariant searchers (atoms) explore the solution space and remember the historical information selectively. The MOA gets its name from the multivariant characters of multiple searchers. Atoms are divided into global atoms and local atoms according to variant responsibilities. Global atoms explore the whole solution space to discover potential areas. Local atoms exploit potential areas for a local refinement. Theoretically, the MOA is proved to be accessible to the global optimal solution. Experiments based on benchmark functions show that the MOA has competitive performance compared with other methods in terms of accessibility.

Keywords:multivariant optimization algorithm (MOA); accessibility; global atoms; local atoms

作者簡介：

中圖分類號：TP 18

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.31

基金項目：國家自然科學(xué)基金(61361010)；云南省自然科學(xué)基金重點項目(2013FA008)資助課題

收稿日期：2014-06-03；修回日期：2014-10-08；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-01-20。