掌握是“懂”的最高境界

許磊

課堂上，我們教師常常會問同學(xué)們“你懂了嗎？”這樣的問題，大部分人也常常這樣回答：“懂了”.而從現(xiàn)實的教學(xué)實踐來看，我們可以把同學(xué)們的“懂”分為三個層次：一是了解：覺得課上每句話都有道理；二是理解：對每個問題都能列出與其相關(guān)的問題；三是掌握：對每個問題能舉一反三，觸類旁通.

我們課堂教學(xué)的最終目的都是想引領(lǐng)同學(xué)們從“不懂”走向“了解”，再上升至“理解”和“掌握”的高度.要想經(jīng)歷這樣的過程最終達到同學(xué)和老師心中的“掌握”這一最高境界，同學(xué)們應(yīng)該怎樣為“掌握”而學(xué)習(xí)呢？結(jié)合個人的教學(xué)實踐，下面以《導(dǎo)數(shù)》這一章中“用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的零點問題”為載體，和同學(xué)們一起探究如何才能掌握這個話題.

一、主動探究，掌握核心的知識和方法，為靈活應(yīng)用做準(zhǔn)備

首先，核心的知識和方法要達到掌握的層次.因為課標(biāo)中的核心知識和方法往往能統(tǒng)領(lǐng)高中數(shù)學(xué)的全部知識和方法，這些應(yīng)該掌握.如以一次、二次、三次函數(shù)、ex、Inx等函數(shù)為載體，研究函數(shù)零點問題，其中載體是核心的知識，研究求函數(shù)零點的的方法也是重要的思想方法.

1.直接求根法：求函數(shù)的零點最本質(zhì)的方法是解方程，

如：求函數(shù)的零點，

本題可用分解因式的方法化為一次與二次因式的乘積來處理.

作為鞏固，還應(yīng)該多做些相關(guān)題：

如：已知函數(shù)。求函數(shù)y=f（f（x））+1的零點.

此題涉及到分段復(fù)合函數(shù)求零點，轉(zhuǎn)化為求f（f （x））=-1方程的根，由f（2）=f（1/2）=-1，可得f（x）=-2或1/2，分別解兩個方程，對x分段討論即可.

說明學(xué)習(xí)應(yīng)該建立在原有的基礎(chǔ)上：同學(xué)們在初中及高一都已經(jīng)學(xué)過一次二次方程求根的方法，以及簡單的無理分式方程的求根，是此類函數(shù)求出零點的最盲接有效的方法.

2.試根法：猜出零點，再證明零點的存在性是求一些高次或超越函數(shù)零點直覺的方法.

如：求函數(shù)f（x）=1/3x?-9的零點.

我們可以運用立方差公式對函數(shù)式進行因式分解，f（x）=1/3（x-3） （x?+3x+9），因為x2+3r+9一（x+3/2）?+27/4>o，故易得：x=3是所求解.另一方面，我們也可以從函數(shù)圖象的變化趨勢來估計零點的范圍，由于f'（x）=x?≥O（x∈R），所以f（x）在R上單調(diào)遞增，且易得f（3）=0.這也揭示了高次方程以及一些超越方程求根的特殊方法：試根法.作為鞏固，還可以再看一些相關(guān)題：求函數(shù)f（x）=Inx+2x-2的零點，大家可以試試看.

說明同學(xué)們通過觀察和直覺可以發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)并且有零點，則其必然只有一個零點，我們有可能通過試根法求出函數(shù)的零點，其背后隱含的立足點就是零點存在性定理.

3.零點存在性定理法：根據(jù)定理，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）

如：f（x）=Cx+3x零點個數(shù).

再如：求f（x）=x2-2x零點的個數(shù).

此題首先可運用試根法猜出2和4兩個零點，對于負的零點可結(jié)合圖象運用定理證明有一個零點，共有三個零點.

說明一般以指數(shù)、對數(shù)作為載體的函數(shù)，直接求根或試根方法無法解出所有零點，但結(jié)合函數(shù)性質(zhì)和零點存在性定理可大致確定其個數(shù)及范圍，對于研究這類問題有很大幫助，一般適用于有指對數(shù)函數(shù)的超越方程求根問題.

4.數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，先畫圖象，再看交點個數(shù).如：求f（x）=2x|log0.5x|-1零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求圖象交點問題即可.與g（x）=f（x）-mx-m在（-1，1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)，m的取值范圍.

此題的易錯點：（1）不能將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題；（2）不能準(zhǔn)確作出兩函數(shù)的圖象；（3）不能求出直線與曲線相切（局部）時的斜率等.

說明有些函數(shù)求零點問題會參雜多個基本初等函數(shù)（一次二次反比例，指數(shù)對數(shù)冪函數(shù)，三角函數(shù)等）作為載體，同學(xué)們對函數(shù)圖象和性質(zhì)應(yīng)爛熟于心，研究這類問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象交點畫出圖象一目了然，解填空題非常有效，但要注意作圖的規(guī)范性（端點，漸近線，定點等）圖象特征.很多同學(xué)往往在作圖時馬虎大意，不注意這些最后導(dǎo)致小題失分較多，要不斷反思總結(jié)，提高解題的準(zhǔn)確性.

5.導(dǎo)數(shù)法：借助導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，可以求出零點的大致范圍.

如：如果函數(shù)f（x）=Inx+x+a在（1，2）上有零點求實數(shù)a的取值范圍.

再如：如果函數(shù)f（x）=lnx+x+3在區(qū)間（a，a+l）上有零點，求整數(shù)a的值.

由于知識之間是有聯(lián)系的，學(xué)習(xí)零點時往往要與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)是重要的知識點，義是重要的數(shù)學(xué)T具，也就是說導(dǎo)數(shù)本身也是一種非常重要的研究函數(shù)圖象及性質(zhì)的方法，此類問題多以解答題出現(xiàn)，綜合運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)，屬中高檔題.

如：設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值.

（2）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個數(shù).

我們主要研究第（2）問：首先嘗試用以上五種方法，可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=|Inx|f（x），x>0，問題轉(zhuǎn)化成研究其零點個數(shù)問題.接著去絕對值，分x>1和O

說明要掌握函數(shù)零點問題，必須自己主動探究.每一個零點問題并不是單一地使用上述某一種方法，也許是幾種方法一起綜合運用，同學(xué)們要不斷反思總結(jié)規(guī)律.以上這些問題老師會逐步提出的，同學(xué)們應(yīng)該找出這些問題的聯(lián)系，建立知識和方法的良好網(wǎng)絡(luò).

二、學(xué)會梳理，理解核心周圍的知識

和方法，為掌握做準(zhǔn)備

知識和方法是相互聯(lián)系的，有時候，同學(xué)們可能由于一個知識和方法理解不到位，相關(guān)的知識和方法也不能理解.例如要掌握零點問題，必須理解與零點相關(guān)的知識和方法，像函數(shù)的單調(diào)性，含參數(shù)的問題，恒成立、存在性問題，兩圖象公共點問題等.

如：是否存在一條斜率為 2的直線，使得它與函數(shù)f（x）=1/3x?-3/2x?的圖象恰有兩個公共點？若存在，求出直線方程；若不存在，說理理由.

（參考答案：存在兩直線，y=2x+5/6和y=-2x+2/3）

說明此題運用分離參數(shù)法和數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象有兩個交點，運用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖象單調(diào)性即可，看似與零點無關(guān)，其實圖象交點本質(zhì)上講就是函數(shù)的零點，運用了上文中求零點的一種方法：數(shù)形結(jié)合法.

再如：已知a，b是正實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax?+bx+2x在[0，1]上的最大值為4，求f（x）在[1，0]上的最小值.（參考答案：最小值為-3/2）

說明此題通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在R上恒為正，進而代人函數(shù)值快速算出結(jié)果.看似與函數(shù)零點聯(lián)系不大，但是都與單調(diào)性聯(lián)系緊密.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過將新知和舊知進行聯(lián)系，進行類比和聯(lián)想，通過關(guān)注知識點間的聯(lián)系和區(qū)別，可將我們學(xué)過的知識進行融會貫通.一方面能將看似零碎的數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)，加深對數(shù)學(xué)本身的理解；另一方面，我們在解題過程中常能有一些簡解、巧解，起到事半功倍的效果，從而感受到解題的樂趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

掌握是舉一反三，有些表述還有比掌握更高的層次，如應(yīng)用，實際上這里的“掌握”已經(jīng)有應(yīng)用的意味了，也就是說舉一反三中的“三”含義有應(yīng)用的意思.所以同學(xué)們的學(xué)習(xí)最高境界是掌握.

這里要說明的是，不是每個知識和方法都要求掌握的，對于非核心的知識和方法，同學(xué)們一般只需理解就夠了，有些甚至只要做到了解也就行了，抓住了核心知識和方法，就是學(xué)會了掌握.