坐標(biāo)系，你在哪里？

陳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系.我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意知識(shí)之間橫向聯(lián)系，換個(gè)角度看問(wèn)題，也許可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，起到事半功倍的效果.許多看似與解析幾何無(wú)關(guān)的問(wèn)題，常需借助直角坐標(biāo)系來(lái)解決，但很多同學(xué)卻想不起來(lái)，因而如何想到并合理建系，讓解析幾何的思想方法深入內(nèi)心，則是遇到此類問(wèn)題時(shí)先要解決的，而且是至關(guān)重要的.看過(guò)下面幾道典型例題，你一定會(huì)悟出許多道理來(lái).

例1 滿足條件AB=2，AC=√2BC的△ABC面積的最大值是___________.

分析1 我們可以采用解三角形與求函數(shù)最值的辦法.設(shè)BC=x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形，再利用余弦定理用x表示sinB，得到面積關(guān)于x的函數(shù)，再根據(jù)x的范圍，求出面積的最大值，此法運(yùn)算量很大，未接觸到問(wèn)題的本質(zhì).

分析2

由題知條件AB為定值，△ABC的面積大小取決于AB邊上的高，也即需要探究動(dòng)頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)變化情況，尤其是C點(diǎn)在何處時(shí)位置最高.點(diǎn)C滿足條件AC=√2BC，它的位置怎樣變化？如果能確定頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的軌跡，面積問(wèn)題就可以從“形”的角度解決.而點(diǎn)的軌跡，常用解析幾何的方法求出其方程.這道題想到建立坐標(biāo)系求解的同學(xué)并不多，原因在于就題論題，未做深入審題和動(dòng)態(tài)分析，沒(méi)有弄清問(wèn)題的本質(zhì)是求AB上的高的最大值，將問(wèn)題歸結(jié)為求C點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題.那么，如何建立直角坐標(biāo)系使得后續(xù)解題最簡(jiǎn)潔呢？實(shí)際上，相當(dāng)于先畫(huà)出直角坐標(biāo)系xoy，然后將△ABC在平面內(nèi)移動(dòng).由于線段AB的長(zhǎng)度為定值，相當(dāng)于確定了兩個(gè)定點(diǎn)，故可以考慮將AB所在直線與x軸重合，這樣yA，yB都為0，解答的時(shí)候可以大大降低運(yùn)算量.以A點(diǎn)作為原點(diǎn)還是B點(diǎn)作為原點(diǎn)呢？或者以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)？同學(xué)們可以思考下有何不同.

略解 以AB所在的直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy，則A（-1，0），B（l，0）.設(shè)C（x，y），根據(jù)AC=√2BC得（x+1）?+y?=2[（x-l）?+y?]，整理得（x-3）?+y?=8（y≠o）.C點(diǎn)的軌跡為圓心在x軸上，2√2為半徑，去除A，B以外的網(wǎng).三角形ABC可以看做AB為底，C點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，要使三角形ABC的面積最大，則需lyl有最大值，從而求出三角形ABC面積的最大值為2√2.

點(diǎn)評(píng) 建立直角坐標(biāo)系處理此問(wèn)題要比“常規(guī)方法”簡(jiǎn)單明了.重要的是善于從圖形的運(yùn)動(dòng)變化中加以考察分析，有了軌跡及其方程的意識(shí)，就容易想到建立坐標(biāo)系了；另外也要掌握建系的一些小竅門，本題中“以AB所在的直線為x軸”是關(guān)鍵，所取的原點(diǎn)不同，會(huì)使得得到的軌跡方程不一樣，但是網(wǎng)的半徑是固定的，|y|的最大值也是相同的.

例2 已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值為_(kāi)__________.

分析 注意到條件a·b=0，a，b是兩個(gè)垂直的單位向量，|c-a-b|=|c-（a+b）|≥|c|-|a+b|=|c|-√2；或者考慮建立直角坐標(biāo)系，把條件|c-a-b|=1坐標(biāo)化得到c終點(diǎn)的軌跡，從而求出c模的最大值.

解析 建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，可設(shè)得（x-1）?+（y-1）? =1，即點(diǎn)C（x，y）的軌跡是以M（1，1）為圓心，1為半徑的圓.

所以|c|的最大值為IOMl+1=√2+1.

點(diǎn)評(píng) 平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，二是“數(shù)化”，即建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)、不等式、方程等方面問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.本題采用了“形化”與“數(shù)化”的結(jié)合，利用坐標(biāo)運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的知識(shí)解決.本題由于得知a，b是兩個(gè)垂直的單位向量，故建立直角坐標(biāo)系可謂水到渠成，可見(jiàn)熟悉一些方便建系的基本特征也有利于我們構(gòu)建解題思路.

例3 如圖2，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)

（1）證明：AE⊥PD；

（2）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

分析 第一問(wèn)轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問(wèn)根據(jù)EH與平面PAD所成最大角的正切值為可以找出四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高之間的關(guān)系.立體幾何問(wèn)題中，空間坐標(biāo)系往往能發(fā)揮出巨大的能量，關(guān)鍵是如何建立合理的坐標(biāo)系.考慮到AE，AD，AP兩兩垂直這一顯著特征，可以這三條邊為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量的方法來(lái)解決.

解 （1）證明略.

（2）設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連結(jié)AH，EH，如圖3.

由（1）知AE⊥平面

PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=√3，所以當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，即當(dāng)AH上PD時(shí)，∠EHA最大.此時(shí)tan∠EHA因此AH=√2.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得所求二面角的余弦值為（具體解答過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)齊）

點(diǎn)評(píng) 立體幾何問(wèn)題中，求二面角的三角函數(shù)值較為常見(jiàn)，關(guān)鍵是找出這個(gè)二面角，而首要的便是合理地建系.只有建立最合理的坐標(biāo)系，才有可能直奔主題、少走彎路.三條線段兩兩垂直是空間坐標(biāo)系的顯著特征，應(yīng)成為我們建系的首選.