創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)活動

張苾菁

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)‘數(shù)學(xué)化。”數(shù)學(xué)教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導(dǎo)教學(xué)，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態(tài)下進行的，由于沒有觸及到本質(zhì)，教學(xué)缺乏高位的設(shè)計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分理解并引入“數(shù)學(xué)化”的概念。那么，何謂數(shù)學(xué)化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個層次，即橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據(jù)教學(xué)片斷來闡釋教學(xué)中的“數(shù)學(xué)化”。

我們以教學(xué)“運算律”為例說明教師的教學(xué)方式，給出下圖展開教學(xué)：

教學(xué)片斷一：

教師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

在學(xué)生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學(xué)生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學(xué)生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學(xué)們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學(xué)是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數(shù)學(xué)活動，就是鼓勵學(xué)生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，其實質(zhì)就是讓學(xué)生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學(xué)科知識逐漸靠近。在教學(xué)中設(shè)置情境能夠幫助學(xué)生打通從生活走向數(shù)學(xué)的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，首先要設(shè)置情境，注重情境的運用，通過數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當學(xué)生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學(xué)化的過程，而橫向數(shù)學(xué)化的主要手段就是抽象和概括。但是教學(xué)是不是就僅此而已完成了任務(wù)？學(xué)生思維又該如何向縱深發(fā)展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學(xué)生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左右兩邊的數(shù)并沒有因為交換和結(jié)合而發(fā)生改變，學(xué)生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學(xué)生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提，即“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規(guī)律。如果僅憑一個算式就讓學(xué)生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學(xué)生的注意。

教學(xué)片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導(dǎo)學(xué)生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，目的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側(cè)算式帶來的變化）

接著，教師繼續(xù)問道：如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現(xiàn)了三道等式，學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結(jié)合具體情境初步體驗到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律。隨后，教師讓學(xué)生拋開情境，嘗試用數(shù)學(xué)語言來表述，這是幫助學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學(xué)生就可以將重點聚焦在對算式內(nèi)部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學(xué)生：有三個數(shù)，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學(xué)生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生作出如下的表述：

學(xué)生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結(jié)果相等。

學(xué)生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

教師：通過大家的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和，再乘一個數(shù)”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)再相加，結(jié)果相等。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)的符號研究數(shù)學(xué)的規(guī)律。教師設(shè)計了幾個不同思維要求的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考、總結(jié)規(guī)律，目的是要促進學(xué)生認知的發(fā)展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規(guī)律，這個過程是學(xué)生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的過程，也可以看作是縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果，這是數(shù)學(xué)活動所期許達成的目標。因此，關(guān)注活動的指向、體驗數(shù)學(xué)的抽象性、實現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)關(guān)注的問題。

在學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會猜測：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

如今的小學(xué)數(shù)學(xué)課并不缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問題研究時的數(shù)學(xué)化立場。如果說從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個適宜的起點，那么對數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的觀察、整理、辨析和聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過程，這個過程應(yīng)該在數(shù)學(xué)活動中充分展開。我們?nèi)绻谶@項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會更加濃郁。筆者認為，數(shù)學(xué)教育就是要追求生活與數(shù)學(xué)高層次的整合，要做到生活化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學(xué)）

（責任編輯：徐曉卿）endprint

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)‘數(shù)學(xué)化?！睌?shù)學(xué)教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導(dǎo)教學(xué)，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態(tài)下進行的，由于沒有觸及到本質(zhì)，教學(xué)缺乏高位的設(shè)計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分理解并引入“數(shù)學(xué)化”的概念。那么，何謂數(shù)學(xué)化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個層次，即橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據(jù)教學(xué)片斷來闡釋教學(xué)中的“數(shù)學(xué)化”。

我們以教學(xué)“運算律”為例說明教師的教學(xué)方式，給出下圖展開教學(xué)：

教學(xué)片斷一：

教師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

在學(xué)生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學(xué)生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學(xué)生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學(xué)們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學(xué)是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數(shù)學(xué)活動，就是鼓勵學(xué)生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，其實質(zhì)就是讓學(xué)生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學(xué)科知識逐漸靠近。在教學(xué)中設(shè)置情境能夠幫助學(xué)生打通從生活走向數(shù)學(xué)的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，首先要設(shè)置情境，注重情境的運用，通過數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當學(xué)生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學(xué)化的過程，而橫向數(shù)學(xué)化的主要手段就是抽象和概括。但是教學(xué)是不是就僅此而已完成了任務(wù)？學(xué)生思維又該如何向縱深發(fā)展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學(xué)生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左右兩邊的數(shù)并沒有因為交換和結(jié)合而發(fā)生改變，學(xué)生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學(xué)生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提，即“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規(guī)律。如果僅憑一個算式就讓學(xué)生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學(xué)生的注意。

教學(xué)片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導(dǎo)學(xué)生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，目的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側(cè)算式帶來的變化）

接著，教師繼續(xù)問道：如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現(xiàn)了三道等式，學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結(jié)合具體情境初步體驗到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律。隨后，教師讓學(xué)生拋開情境，嘗試用數(shù)學(xué)語言來表述，這是幫助學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學(xué)生就可以將重點聚焦在對算式內(nèi)部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學(xué)生：有三個數(shù)，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學(xué)生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生作出如下的表述：

學(xué)生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結(jié)果相等。

學(xué)生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

教師：通過大家的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和，再乘一個數(shù)”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)再相加，結(jié)果相等。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)的符號研究數(shù)學(xué)的規(guī)律。教師設(shè)計了幾個不同思維要求的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考、總結(jié)規(guī)律，目的是要促進學(xué)生認知的發(fā)展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規(guī)律，這個過程是學(xué)生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的過程，也可以看作是縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果，這是數(shù)學(xué)活動所期許達成的目標。因此，關(guān)注活動的指向、體驗數(shù)學(xué)的抽象性、實現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)關(guān)注的問題。

在學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會猜測：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

如今的小學(xué)數(shù)學(xué)課并不缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問題研究時的數(shù)學(xué)化立場。如果說從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個適宜的起點，那么對數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的觀察、整理、辨析和聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過程，這個過程應(yīng)該在數(shù)學(xué)活動中充分展開。我們?nèi)绻谶@項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會更加濃郁。筆者認為，數(shù)學(xué)教育就是要追求生活與數(shù)學(xué)高層次的整合，要做到生活化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學(xué)）

（責任編輯：徐曉卿）endprint

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)‘數(shù)學(xué)化。”數(shù)學(xué)教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導(dǎo)教學(xué)，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態(tài)下進行的，由于沒有觸及到本質(zhì)，教學(xué)缺乏高位的設(shè)計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至?xí)霈F(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導(dǎo)致教學(xué)目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分理解并引入“數(shù)學(xué)化”的概念。那么，何謂數(shù)學(xué)化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化分為兩個層次，即橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數(shù)學(xué)化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據(jù)教學(xué)片斷來闡釋教學(xué)中的“數(shù)學(xué)化”。

我們以教學(xué)“運算律”為例說明教師的教學(xué)方式，給出下圖展開教學(xué)：

教學(xué)片斷一：

教師：同學(xué)們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

在學(xué)生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學(xué)生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學(xué)生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學(xué)們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學(xué)是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學(xué)是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數(shù)學(xué)活動，就是鼓勵學(xué)生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，其實質(zhì)就是讓學(xué)生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學(xué)科知識逐漸靠近。在教學(xué)中設(shè)置情境能夠幫助學(xué)生打通從生活走向數(shù)學(xué)的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，首先要設(shè)置情境，注重情境的運用，通過數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學(xué)化。當學(xué)生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學(xué)化的過程，而橫向數(shù)學(xué)化的主要手段就是抽象和概括。但是教學(xué)是不是就僅此而已完成了任務(wù)？學(xué)生思維又該如何向縱深發(fā)展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學(xué)生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結(jié)合律，由于等式左右兩邊的數(shù)并沒有因為交換和結(jié)合而發(fā)生改變，學(xué)生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學(xué)生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提，即“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規(guī)律。如果僅憑一個算式就讓學(xué)生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學(xué)生的注意。

教學(xué)片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導(dǎo)學(xué)生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，目的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側(cè)算式帶來的變化）

接著，教師繼續(xù)問道：如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現(xiàn)了三道等式，學(xué)生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結(jié)合具體情境初步體驗到等式左右結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律。隨后，教師讓學(xué)生拋開情境，嘗試用數(shù)學(xué)語言來表述，這是幫助學(xué)生從橫向數(shù)學(xué)化走向縱向數(shù)學(xué)化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學(xué)生就可以將重點聚焦在對算式內(nèi)部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學(xué)生：有三個數(shù)，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學(xué)生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生作出如下的表述：

學(xué)生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結(jié)果相等。

學(xué)生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結(jié)果相等。

教師：通過大家的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和，再乘一個數(shù)”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)再相加，結(jié)果相等。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學(xué)問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學(xué)的符號研究數(shù)學(xué)的規(guī)律。教師設(shè)計了幾個不同思維要求的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考、總結(jié)規(guī)律，目的是要促進學(xué)生認知的發(fā)展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規(guī)律，這個過程是學(xué)生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的過程，也可以看作是縱向數(shù)學(xué)化深入的結(jié)果，這是數(shù)學(xué)活動所期許達成的目標。因此，關(guān)注活動的指向、體驗數(shù)學(xué)的抽象性、實現(xiàn)數(shù)學(xué)化是我們目前應(yīng)關(guān)注的問題。

在學(xué)習(xí)了這堂課以后，學(xué)生會猜測：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結(jié)論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

如今的小學(xué)數(shù)學(xué)課并不缺乏情境的創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境走向?qū)?shù)學(xué)問題研究時的數(shù)學(xué)化立場。如果說從生活走向數(shù)學(xué)為教學(xué)創(chuàng)造了一個適宜的起點，那么對數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的觀察、整理、辨析和聯(lián)結(jié)則是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要過程，這個過程應(yīng)該在數(shù)學(xué)活動中充分展開。我們?nèi)绻谶@項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味會更加濃郁。筆者認為，數(shù)學(xué)教育就是要追求生活與數(shù)學(xué)高層次的整合，要做到生活化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學(xué)）

（責任編輯：徐曉卿）endprint