數(shù)學(xué)優(yōu)化模型在工業(yè)生產(chǎn)計劃評估中的應(yīng)用研究

孫 源（山東省臨沂市第一中學(xué),山東 臨沂 276000）

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數(shù)學(xué)優(yōu)化模型在工業(yè)生產(chǎn)計劃評估中的應(yīng)用研究

孫 源
（山東省臨沂市第一中學(xué),山東 臨沂 276000）

摘 要：在數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的應(yīng)用方面，主要是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案，為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃和管理工作中的經(jīng)濟利益評估服務(wù)。本文介紹了優(yōu)化問題的幾種分類，并對優(yōu)化模型做了簡單的分析和說明；同時重點整理了動態(tài)優(yōu)化問題的多階段轉(zhuǎn)化和變分法的兩種解法。并分別對它們在動態(tài)優(yōu)化中各自的應(yīng)用范圍和具體作用做了分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；優(yōu)化模型；多階段轉(zhuǎn)化

1 引言

求解優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)建模方法，即所謂優(yōu)化模型的建立和求解。雖然它有可能使結(jié)果不一定是完全可行的或達到實際上的最大優(yōu)化，因為建模，它是基于客觀的規(guī)律和數(shù)據(jù)，而且還不需要過多的費用。數(shù)學(xué)優(yōu)化模型是生產(chǎn)計劃和經(jīng)濟管理中的一個經(jīng)典模型,在對尋求最大效益方面的應(yīng)用非常廣泛.例如公司需要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場需求，公司的經(jīng)理決定了產(chǎn)品的價格和生產(chǎn)計劃，使利潤達到最大化；要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下合理的安排所有的需求點的運送量和所運輸?shù)穆肪€，以達到運輸費用的最低化。然而簡單優(yōu)化模型假設(shè)提供的原材料、生產(chǎn)環(huán)境以及人力資源都是靜態(tài)的,且需求者要求的產(chǎn)量一定,但假設(shè)條件在現(xiàn)實的經(jīng)濟系統(tǒng)中不可能都是靜態(tài)的,因此本文我們在分析了簡單的優(yōu)化模型后,又介紹了更加符合現(xiàn)實經(jīng)濟條件的動態(tài)優(yōu)化模型,并對該模型進行了分析。

隨著國內(nèi)外對優(yōu)化模型的不斷研究和改進,其應(yīng)用領(lǐng)域已不僅僅局限于單領(lǐng)域范圍,也將其運用在石油開采、城市規(guī)劃、人力資源分配等問題的分析上.當(dāng)前全球經(jīng)濟正處于金融危機的嚴重影響下,如何在當(dāng)前形勢下制定出比較有利的生產(chǎn)計劃對一個企業(yè)來說是非常重要的,本文我們將主要運用優(yōu)化模型來研究生產(chǎn)計劃的制定方案,并研究結(jié)果來確定比較合理的計劃方案.

2 工業(yè)生產(chǎn)計劃制定及其求解

生產(chǎn)計劃是企業(yè)為了生產(chǎn)出符合市場需求的產(chǎn)品或滿足客戶的要求，如生產(chǎn)時間，在什么生產(chǎn)車間的生產(chǎn)和怎樣生產(chǎn)的總體規(guī)劃。企業(yè)的生產(chǎn)計劃是以銷售計劃為基礎(chǔ)的，它是企業(yè)制定物料供應(yīng)計劃、設(shè)備管理計劃和生產(chǎn)計劃的主要依據(jù)。

由上面優(yōu)化變量、目標函數(shù)和約束條件三要素所組成的最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下,尋求一組優(yōu)化變量,使目標函數(shù)達到最優(yōu)值。根據(jù)生產(chǎn)計劃制定的特點和實際情況,所以這里只提出針對它的兩種求解方法——多階段轉(zhuǎn)化和變分法,并且利用這兩種方法對具體問題進行分析與解決。多階段轉(zhuǎn)化是指將動態(tài)優(yōu)化的一種, 它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化為一系列簡單的優(yōu)化問題。將復(fù)雜問題分解為若干個階段，每個階段都是一個優(yōu)化問題，然后是一個決策的階段，當(dāng)所有階段都確定了,整個階段的決策也就確定了。一個過程的最優(yōu)決策具有決策的性質(zhì)，即不管初始狀態(tài)和初始狀態(tài)決策如何，以后的各項決策對以初始決策形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)都一定要構(gòu)成最優(yōu)化的決策。

根據(jù)不變嵌入原理的基本概念，對最優(yōu)控制決策的基本性質(zhì)進行了描述。當(dāng)解決一個特定的問題，這個問題可以被嵌入到一個更容易解決類似的問題之中。應(yīng)用最優(yōu)化原則,一個階段決策過程就處理為一個個單階段決策過程的序列,因此使這個最優(yōu)化問題可以采用系統(tǒng)迭代的方式得到解決.前兩個式子分別是動態(tài)優(yōu)化中的逆序解法和順序解法基本公式。

3 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型應(yīng)用案例研究

一個工廠制定一些生產(chǎn)計劃時，需要考慮設(shè)備，市場容量和收入的三個因素，根據(jù)工廠設(shè)備的情況，生產(chǎn)的七種產(chǎn)品，價格收入和加工時間，機器維修和市場容量是眾所周知的。有以下限制：每個產(chǎn)品有100件，其中每一件產(chǎn)品的存費為每一個月為0.5元；在6月底，每一個產(chǎn)品有50個庫存，每天2個班次，每班8個小時。盈利要求為收入減去存款費，盡量安排生產(chǎn)的每一個產(chǎn)品在1到6月，以使上半年利潤最大。論述了設(shè)備結(jié)構(gòu)的合理性，并進行了改進。

本文案例中如果只有一種產(chǎn)品，運用動態(tài)規(guī)劃按照常規(guī)求解，可以快速地求解最優(yōu)產(chǎn)量安排，本案例需要同時考慮七種產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)量，本文的求解思維為：首先將系統(tǒng)分解成單種產(chǎn)品的子問題，然后綜合收益、工時進行優(yōu)化調(diào)整以達產(chǎn)量總體上的最優(yōu)解。求解是實質(zhì)是逆序推算法，我們采用動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化處理才是最科學(xué)的方法。本文優(yōu)化按市場容量進行生產(chǎn)產(chǎn)品所需的工時，判斷設(shè)備結(jié)構(gòu)是否合理生產(chǎn)。由于變量和約束條件較多，本文必須要采用分解決策法。我們的步驟為：首先單獨考慮產(chǎn)品PR，根據(jù)各月的綜合收益、市場容量和存費情況，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃可獲得l～6月份最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)量的序列值。其次我們把7個月的最優(yōu)產(chǎn)量列合并起來，逐月檢驗各項工序的工時變動情況。鑒于超時生產(chǎn)情況，我們衡量產(chǎn)品收益的大小和工時多少，一方面降低收益小、耗時大的產(chǎn)品產(chǎn)量。另一方面把減少的該月產(chǎn)量，推遲至下一個月生產(chǎn)。是我們整個優(yōu)化過程的重要環(huán)節(jié)。

按以上步驟推算，我們發(fā)現(xiàn)5、6月的整體優(yōu)化恰是前面1-2步驟作出的結(jié)果向前推算到3月，這4個月的局部最優(yōu)又共同達到了整體最優(yōu)。對l、2月產(chǎn)量，用數(shù)學(xué)軟件進行計算，該結(jié)果與其后3至6月的優(yōu)化產(chǎn)量能銜接起來。于是,我們用逆序算法較輕松地得出了六個月的最優(yōu)安排總盈利為93648元。分析至6月充分達到了市場需求，2月和1月也是在工時約束下的最優(yōu)結(jié)果，因此得到的確是考慮每月生產(chǎn)成品的最優(yōu)產(chǎn)量安排。

生產(chǎn)計劃隨著相關(guān)變量的變化而調(diào)整，具體變量因素包括：產(chǎn)品價格、設(shè)備結(jié)構(gòu)、市場需求量和停工維修機床的日程安排。生產(chǎn)計劃的最優(yōu)安排最主要依據(jù)變量為：產(chǎn)品價格和市場需求變動而調(diào)整，不同情形下的最優(yōu)生產(chǎn)計劃可根據(jù)模型動態(tài)優(yōu)化求解而得。結(jié)果顯示生產(chǎn)計劃3-6月區(qū)間中不受商品價格波動的影響。在設(shè)備最大利用范圍內(nèi)，產(chǎn)量根據(jù)市場的需求變動而相應(yīng)的調(diào)整?？紤]的變量因素較多時，我們雖然模型簡化了問題的處理與求解過程，但不一定能實現(xiàn)最優(yōu)化生產(chǎn)，只能在一定的前提或約束下的最優(yōu)解。本文為產(chǎn)品的生產(chǎn)安排提供了科學(xué)的優(yōu)化思路，探索了逆序推算求解途徑，但未能給出更好的一般性通用優(yōu)化思路。雖然，對設(shè)備和維修安排進行了優(yōu)化改進，設(shè)備的利用率和工廠的盈利能力顯著提升。本文不適于解決工序較為復(fù)雜的生產(chǎn)問題，沒有增加更多的約束變量，對工序進行優(yōu)化結(jié)構(gòu)安排，有待本文后續(xù)的研究。

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DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.019