直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2

王建華

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，一直是高考考查的重點(diǎn). 縱觀近幾年各省市的高考試題，以錐體、柱體為載體的線面垂直關(guān)系的論證是每年必考的內(nèi)容，主要以解答題的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查空間想象能力、計(jì)算能力、推理論證能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用能力. 有時(shí)，還會(huì)以選擇題或填空題的形式重點(diǎn)考查對(duì)垂直相關(guān)概念和定理的正確理解.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容包括線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定與性質(zhì).

重點(diǎn)：（1）理解線面垂直的定義，掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；（2）能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

難點(diǎn)：掌握線線垂直、線面垂直和面面垂直這三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

方法突破

一、一種關(guān)系——垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

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垂直關(guān)系證明的基本思想是轉(zhuǎn)化，即由線線垂直得線面垂直（線面垂直的判定定理），由線面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得線面垂直（面面垂直的性質(zhì)定理），由線面垂直得線線垂直（線面垂直的定義）. 垂直關(guān)系的證明就是在這些性質(zhì)定理和判定定理的使用中，將各種垂直關(guān)系不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在處理實(shí)際問題的過程中，我們常常需要先從題設(shè)條件入手，明確已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論分析待證的垂直條件，從而搭建起已知與未知之間的“橋梁”.

二、三類證法

1. 證明線線垂直的方法

（1）定義：兩條直線所成的角為90°.

（2）平面幾何中證明線線垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直線斜率的乘積為-1等.

（3）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b？奐α？圯a⊥b.

（4）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α？圯a⊥b.

2. 證明線面垂直的方法

（1）定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直？圯a⊥α.

（2）線面垂直的判定定理1：m，n？奐α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n？圯l⊥α.

（3）線面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α？圯b⊥α.

（4）面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α？圯a⊥β.

（5）面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β=l，a？奐α，a⊥l？圯a⊥β.

3. 證明面面垂直的方法

（1）定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：a？奐α，a⊥β？圯α⊥β.

典例精講

■ 對(duì)于不同的直線m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四個(gè)命題：

①若m∥α，m⊥n，則n⊥α？搖；

②若m⊥α，m⊥n，則n∥α；

③若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；

④若m⊥α，m∥n，n？奐β，則α⊥β.

？搖其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

破解 畫一個(gè)正方體作為模型（如圖1），設(shè)底面ABCD為α.

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圖1

當(dāng)A1B1=m，B1C1=n，顯然符合①的條件，但結(jié)論不成立；

當(dāng)A1A=m，AC=n，顯然符合②的條件，但結(jié)論不成立；

與底面ABCD相鄰三個(gè)面可以兩兩垂直，但任何兩個(gè)都不平行，所以③不正確；

由面面垂直的判定定理可知，④是正確的.

只有④正確，故選A.

■ 如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

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圖2

思索 （1）面面垂直的性質(zhì)是用來推證線面垂直的重要依據(jù)，其核心是其中一個(gè)面內(nèi)的直線與交線垂直. 本題中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）證明面面垂直，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 若由已知條件所得的其他線面垂直的結(jié)論，常常利用其性質(zhì)輔助證明線線垂直.如第（1）問的結(jié)論就對(duì)第（2）問的證明起輔助作用.

破解 （1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA？奐平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因?yàn)锳B⊥AD，而且易知四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD？奐平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

■ 如圖3甲，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖3乙.

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圖3

（1）求證：DE∥平面A1CB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A■1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.

思索 證明空間中的線線垂直可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 考查直線與平面平行、直線與平面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力和推理論證能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A■■D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A1F. 又A■1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A■1F⊥BE.endprint

（3）線段A1B上存在點(diǎn)Q，可使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如圖4，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP.

由（2）知，DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底邊A■1C的中點(diǎn)，所以A■1C⊥DP. 因?yàn)镈E∩DP=D，所以A■1C⊥平面DEP，從而A■1C⊥平面DEQ. 故線段A■1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.

變式練習(xí)

1. 已知下列命題（其中a，b為直線，α為平面）：

①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；

②若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；

③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；

④若a⊥b，則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直.

上述四個(gè)命題中，真命題是（ ）

A. ①② B. ②③

C. ②④ D. ③④

2. 若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A. l1⊥l4？搖 B. l1∥l4？搖

C. l1與l4既不垂直也不平行

D. l1與l4的位置關(guān)系不確定

3. 如圖5，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

■

圖5

（1）求證：BC⊥AF；

（2）試判斷直線AF與平面EBC是否垂直，若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由.

4. 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2■，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=■.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

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圖6

參考答案：

1. D

2. D

3.？搖（1）因?yàn)镋F∥AB，所以EF與AB確定平面EABF.因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以EA⊥BC. 由已知可得AB⊥BC且EA∩AB=A，所以BC⊥平面EABF. 又AF？奐平面EABF，所以BC⊥AF.

（2）直線AF垂直于平面EBC. 證明如下：由（1）可知，AF⊥BC. 在四邊形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°，所以tan∠EBA=tan∠FAE=■，故∠EBA=∠FAE. 設(shè)AF∩BE=P，因?yàn)椤螾AE+∠PAB=90°，故∠PBA+∠PAB=90°，則∠APB=90°，即EB⊥AF. 又因?yàn)镋B∩BC=B，所以AF⊥平面EBC.

4. （1）因?yàn)锽C=CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，故BD⊥AC. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BD. 從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

（2）三棱錐P-BCD的底面BCD的面積S△BCD=■BC·CD·sin∠BCD=■×2×2sin■π=■. 由PA⊥底面ABCD，得VP-BCD=■S△BCD·PA=■×■×2■=2. 由PF=7FC，得三棱錐F-BCD的高為■PA. 故VF-BCD=■·S△BCD·■PA=■×■×■×2■=■. 故VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-■=■. ■endprint