論連分數的應用

于海杰

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

論連分數的應用

于海杰

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

實數通常用十進制數表示，可寫成整數部分與小數部分.實數也可用連分數表示.本文簡要介紹連分數的幾點應用.

連分數；應用

1 連分數的定義

所謂連分數就是一種特殊類型的繁分數.如

定義 設a0,a1,a2,……是一個無窮實數列，ai>0,i≥1.對于給定的n≥0，我們把表示式

稱為有限連分數，通常簡寫為[a0,a1,a2,……,an].

在（1）式中當n→∞時，我們把相應的表達式

稱為無限連分數，通常簡寫為[a0,a1,a2,……,an,…].

2 連分數與實數的關系

定理（1）有限連分數[a0,a1,a2,……,an]是一個有理數.

（2）任意一個有理數都可以表示為有限連分數.

（3）任意一個無限連分數[a0,a1,a2,……,an,…]是一個無理數.

（4）每一無理數只有唯一一種方法表示成無限簡單連分數.

證明略，詳見參考文獻[1].

3 連分數的截斷值

利用分數的連分數表達式的逐次截斷值可求出該分數的近似值.

According to the Japanese guidelines on the gastric cancer treatment issued by JGCA (2011)[13], the algorithm of surgical treatment in patients with GC is as follows (Figure 7).

其截斷值依次是：

可以發(fā)現以下不等式：a0

這說明上述連分數的逐次截斷值從左、右兩個方向交叉地逐次逼近真值.可以證明，任意一個數的連分數的逐次截斷值都有這個漸進逼近性[1]，每一個截斷值稱為漸進分數.

4 簡單應用

4.1 無理數化為無限連分數

4.2 有理數化為有限連分數

將有理數化為有限連分數，用輾轉相除法即可得到.

4.3 連分數在求解一元二次方程方面的應用

例3求x2-3x-1=0的解.

依次得到方程的近似解，而且越往后越精確：3，3.3，L，3.333,3.303L

4.4 利用連分數求最大公約數[3]

例4求61446與18326的最大公約數.

4.5 連分數在歷法方面的應用[4]

閏年，是陰歷中的一種現象，固定在二月，比平年加一天即29天.我們通常所說的一年365天，其實是個約數，比較準確的應該是365.2422天.那么一年365天就與實際一年少0.2422日，這樣四年后就比實際的四年少了近一天，為了彌補這個差值，歷法中規(guī)定了四年一潤，百年少一潤.

〔1〕王進明.初等數論[M].北京：人民教育出版社，2007.

〔2〕楊中和.二次無理數的連分數[J].西安文理學院學報（自然科學版），2008（11）.

〔3〕袁明豪，等.有限簡單連分數的幾個應用[J].黃岡師范學院學報，2003（23）.

〔4〕徐誠浩.連分數與歷法[M].北京：高等教育出版社，2008.

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1673-260X（2014）02-0004-02