圓中常用的輔助線添法

王柳

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對(duì)提高同學(xué)們分析問題和解決問題的能力是大有幫助的，下面就講解幾種圓中常用輔助線的添法。

一、遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑），或連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑.

作用：①利用垂徑定理；②利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；③利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求有關(guān)量.

例1 如圖1，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D二點(diǎn).求證：AC=BD.

證明：過O作OE⊥AB于E，

∵O為圓心，OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴AC=BD.

例2 如圖2，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB，求證：[AC]=[BD].

證明：連結(jié)OC，OD，

∵M(jìn)，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，AO=BO，

∴OM=ON，

又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，

∴Rt△COM≌Rt△DON，

∴∠COA=∠DOB，

∴[AC]=[BD].

例3 如圖3，已知M，N分別是⊙O的弦AB，CD的中點(diǎn)，AB=CD，求證：∠AMN=∠CNM.

證明：連結(jié)OM，ON，MN，

∵O為圓心，M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵AB=CD，

∴OM=ON，

∴∠OMN=∠ONM，

∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，

∴∠AMN=∠CNM.

二、當(dāng)題目已知直徑時(shí)，常常添加直徑所對(duì)的圓周角，利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形；當(dāng)題目已知有90°的圓周角時(shí)，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端，利用圓周角的性質(zhì)得到直徑.

例4 如圖4，AB為⊙O的直徑，AC為弦，P為AC延長線上一點(diǎn)，且AC=PC，PB的延長線交⊙O于D，求證：AC=DC.

證明：連結(jié)AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADP=90°，

又AC=PC，

∴AC=CD=[ 1

2 ]AP.

三、遇到等弧時(shí)，常作的輔助線有這么幾種：①作等弧所對(duì)的弦；②作等弧所對(duì)的圓心角；③作等弧所對(duì)的圓周角.

例5 如圖5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求證：OE=[ 1

2 ]AD.

證明：作直徑CF，連結(jié)DF，BF，AD，

∵CF為⊙O的直徑，

∴CD⊥FD，

∵CD⊥AB，

∴AB∥DF，

∴[AD]=[BF]，

∴AD=BF，

又OE⊥BC，且O為圓心，CO=FO，

∴CE=BE，

∴OE=[ 1

2 ]BF=[ 1

2 ]AD.

四、遇到題目中已知有切線時(shí)，常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)），利用切線的性質(zhì)定理，得到直角或直角三角形.

例6 如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于E，求AD的長.

解：連結(jié)OE，則OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴[ OE

BC ]=[ AO

AB ]，

∵AO=AB-OB，OB=OE

∴[ OE

BC ]=[ AB-OE

AB ]，

在Rt△ABC中，AB=[AC2+BC2] =[122+92] =15，

∴[ OE

9 ]=[ 15-OE

15 ]，

解得OE=[ 45

8 ]，

∴BD=2OB=2OE=[ 45

4 ]，

∴AD=AB-DB=15-[ 45

4 ]=[ 15

4 ].

答：AD的長為[ 15

4 ].

五、遇到需要證明某一直線是圓的切線時(shí)，

①當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可；

例7 如圖7，點(diǎn)P是⊙O的弦CB延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A在⊙O上，且∠BAP=∠C.求證：PA是⊙O的切線.

證明：作⊙O的直徑AD，連結(jié)BD，則∠C=∠D，∠ABD=90°，即∠D+∠BAD=90°，

∴∠C+∠BAD=90°，

∵∠C=∠BAP，

∴∠BAD+∠BAP=90°.

即PA⊥DA，所以PA為⊙O的切線.

②如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可.

例8 如圖8，已知AB是⊙O的直徑，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB，求證：直線L與⊙O相切.

證明：過O作OE⊥L于E，

∵O是AB的中點(diǎn)，且AC∥BD∥OE，

∴OE是梯形ACDB的中位線，

∴OE=[ 1

2 ]（AC+BD），

又AC+BD=AB，

∴OE=[ 1

2 ]AB.

∴OE是⊙O的半徑，

∴直線L是⊙O的切線.

六、當(dāng)圓上有四點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.

例9 如圖9，△ABC內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是BA延長線上的一點(diǎn).直線DA平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延長線于D，求證：AB·AC=AD·AE.

證明：連結(jié)BE，

∵∠1=∠3，∠2=∠1，

∴∠3=∠2，

∵四邊形ACBE為圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ACD=∠E，

∴△ABE∽△ADC，

∴[ AE

AC ]=[ AB

AD ]，

∴AB·AC=AD·AE.