一類計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性及分支分析

一類計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性及分支分析

王宏偉，胡志興，孫德順

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083)

摘要：研究了一類具有時(shí)滯和潛伏期的計(jì)算機(jī)病毒模型。通過分析模型，得到了傳播閾值R0，說明可以通過控制傳播閾值來進(jìn)一步控制計(jì)算機(jī)病毒的傳播。利用微分方程理論分析了無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。考慮到時(shí)滯對系統(tǒng)的影響，得到了Hopf分支存在的條件。最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)病毒;時(shí)滯;平衡點(diǎn);穩(wěn)定性;Hopf分支

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61174209);北京科技大學(xué)冶金工程研究院基礎(chǔ)研究基金項(xiàng)目(YJ2012-001)

作者簡介：王宏偉(1987-),女,河北邢臺人,碩士生;胡志興(1962-),男,陜西漢中人,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事非線性動力系統(tǒng)與混沌、生物數(shù)學(xué)等方面的研究.

收稿日期：2014-04-02

文章編號：1672-6871(2015)01-0043-05

中圖分類號：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)病毒傳播已經(jīng)成為互聯(lián)網(wǎng)安全的最大威脅。很多專家都將生物學(xué)病毒和殺毒軟件結(jié)合在一起研究計(jì)算機(jī)病毒模型[1-3]?？紤]到計(jì)算機(jī)之間的傳輸和恢復(fù)需要一定的時(shí)間，因此，一些文獻(xiàn)研究了具有時(shí)滯的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型[4-7]。上述文獻(xiàn)主要考慮的是易感者、感染者、移出者(SIR)模型，而實(shí)際問題中的計(jì)算機(jī)在潛伏期也具有一定感染病毒的能力[8-9]，所以研究帶有潛伏期和時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型更具有實(shí)際意義。本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了研究。

1建立模型

將計(jì)算機(jī)分為易感染病毒的計(jì)算機(jī)S，帶有潛伏病毒的計(jì)算機(jī)L，已感染病毒的計(jì)算機(jī)I，獲得免疫的計(jì)算機(jī)R。建立帶有時(shí)滯且感染率為非線性函數(shù)f(S,I)的模型如下:

(1)

假設(shè):(H1)對任意的S>0,I>0，都有f(S,I)>0,f(0,I)=f(S,0)=fS(S,0)=0。

(H3)經(jīng)過殺毒軟件殺毒的計(jì)算機(jī)獲得暫時(shí)性免疫。

(H4)初始時(shí)刻易感染計(jì)算機(jī)數(shù)為零，即S(0)=0。

(H5)N(t)=S(t)+L(t)+I(t)+R(t)表示所有計(jì)算機(jī)總數(shù)。

其中：(1-p)b表示易感染計(jì)算機(jī)的輸入率；f(S,I)表示感染率；δ1表示部分易感染計(jì)算機(jī)直接獲得免疫成為暫時(shí)性免疫計(jì)算機(jī)；δ2表示獲得暫時(shí)性免疫的計(jì)算機(jī)重新感染病毒率；α表示潛伏期的計(jì)算機(jī)成為已感染計(jì)算機(jī)的感染率；k表示潛伏期計(jì)算機(jī)獲得暫時(shí)免疫率；γ表示已感染計(jì)算機(jī)免疫率；pb表示直接獲得暫時(shí)性免疫的計(jì)算機(jī)輸入率；μ表示斷網(wǎng)率。

引理1在假設(shè)(H1)和(H2)成立條件下，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在正平衡點(diǎn)E*=(S*,L*,I*,R*)。

證明根據(jù)系統(tǒng)(1)可以推出下式：

因此，存在正根S*使得g(S*)=0，再由系統(tǒng)(1)第4個(gè)式子推得存在正根R*。

綜上所述，假設(shè)(H1)和(H2)成立條件下，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在正平衡點(diǎn)E*=(S*,L*,I*,R*)。

2無病平衡點(diǎn)E0全局穩(wěn)定性分析

定理1當(dāng)τ=0，R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

證明因?yàn)镹(t)≤b/μ且N′=b-μN(yùn)≥0，所以N(t)為(0,+∞)上的增函數(shù)，即N(t)max=b/μ，

則由系統(tǒng)(1)可得：S′(t)≤(1-p)b+δ2N-(μ+δ1+δ2)S≤(1-p)b+δ2b/μ-(μ+δ1+δ2)S,

系統(tǒng)(1)降維并取極限系統(tǒng)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V=αL+(μ+α+k)I，則

(μ+γ)(μ+α+k)I(R0-1)<0。

3正平衡點(diǎn)E*局部穩(wěn)定性分析及Hopf分支存在性

通過計(jì)算，系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)E*的特征方程為:

即

λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4+(b5λ3+b6λ2+b7λ+b8)e-λτ=0，

(2)

其中：b1=4μ+α+γ+k+δ1+fS(S*,I*)；

b2=6μ2+3μγ+(3μ+γ)(α+k+δ1)+δ1(α+k)+(2μ+α+γ+k)fS(S*,I*)+(μ-α)fI(S*,I*)；

b3=(2μ+δ1+fS(S*,I*))(μ2+μγ+αμ+αγ+kμ+kγ)+μδ1(α+γ+k)+

μ2(2δ1+2μ+α+γ+k)+(2μ2+μγ+μk-αδ1-αμ)fI(S*,I*)；

αμfI(S*,I*)(fS(S*,I*)-δ1)；

b5=δ2；b6=δ2(fS(S*,I*)+3μ+α+γ+k)；b7=δ2((μ+γ)(μ+α+k)+αfI(S*,I*))；

b8=δ2(μ+γ)(μ+α+k)(μ+fS(S*,I*))-αμδ2fI(S*,I*)。

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(2)變成λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+c4=0。其中：c1=b1+b5；c2=b2+b6；c3=

綜上所述，得到下面的引理。

當(dāng)τ>0時(shí)，令純虛根λ=iω(ω>0)，代入方程(2)，并分離方程的實(shí)部和虛部得到:

(3)

將方程組(3)中兩式做運(yùn)算得到:

G(ω)=(ω4-b2ω2+b4)2+(b1ω3-b3ω)2-(b6ω2-b8)2-(b5ω3-b7ω)2=0，

(4)

從方程組(3)可以解出:

選擇τ0=minτk，為了建立在τ=τ0點(diǎn)的Hopf分支情況，方程(2)兩邊對τ求導(dǎo)，得到：

解得

定理2在引理2，假設(shè)(H6)成立的前提下，可以得到以下結(jié)論:

(Ⅰ)當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。

(Ⅱ)當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)Hopf分支。

4數(shù)值模擬

(Ⅰ)給一組參數(shù)p=0.5，b=0.04，β=1，δ1=0.01，μ=0.01，δ2=0.1，α=0.4，k=0.2，γ=0.02。此時(shí)R0=0.040 8<1，驗(yàn)證了定理1的結(jié)論，相應(yīng)的波形見圖1。

(Ⅱ)給一組參數(shù)p=0.882 9，b=1.234 3，β=3.405 7，δ1=3.250 1，μ=0.032 1，δ2=4.410 5，α=0.878 1，k=4.780 6，γ=0.347 3，τ=0.8<τ0=1.375。通過計(jì)算得到R0=30.561 5>1，正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，相應(yīng)的波形見圖2。

(Ⅲ)給一組參數(shù)p=0.882 9，b=1.234 3，β=3.405 7，δ1=3.250 1，μ=0.032 1，δ2=4.410 5，α=0.878 1，k=4.780 6，γ=0.347 3，τ=1.38>τ0=1.375。通過計(jì)算得到R0=30.561 5>1。當(dāng)τ通過臨界值τ0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分支，即在E*附近出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，見圖3和圖4。

圖1 E0全局漸近穩(wěn)定波形圖圖2 E*局部漸近穩(wěn)定波形圖圖3 τ=1.38>τ0=1.375,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)周期解 圖4 τ=1.38>τ0=1.375時(shí),周期解穩(wěn)定

5結(jié)論

通過數(shù)值模擬，驗(yàn)證了傳播閾值R0是網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算機(jī)病毒能否被控制的關(guān)鍵。當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。本文還研究了時(shí)滯τ對系統(tǒng)的影響，即當(dāng)τ通過臨界值τ0時(shí)，產(chǎn)生了Hopf分支，正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解。

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