小學(xué)一年級(jí)數(shù)感不良兒童的篩查與動(dòng)態(tài)干預(yù)*

張麗錦 畢 遠(yuǎn) 梁 熠 劉敏紅

(1陜西師范大學(xué)心理學(xué)院,西安 710062) (2寧夏大學(xué),銀川 750021)

1 引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難(math learning difficulty,MLD,簡稱數(shù)學(xué)困難,MD)表現(xiàn)為兒童的閱讀與拼寫能力正常,但算術(shù)能力顯著低于其智齡水平。作為一個(gè)會(huì)長期阻礙兒童從正常教學(xué)中獲益的問題,與之相關(guān)的篩查、干預(yù)和預(yù)防等領(lǐng)域長期受到教育學(xué)、心理學(xué)研究者和教育實(shí)踐工作者的普遍關(guān)注。目前國內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)困難的診斷和甄別大多使用的是能力—成績差異模型(ability-achievement discrepancy models)(見畢遠(yuǎn),張麗錦,2014),即基于學(xué)習(xí)困難是智力與學(xué)習(xí)成績不匹配的基本構(gòu)念,通過控制閱讀能力來考查智力與數(shù)學(xué)成績的匹配情況。但是,由于小學(xué)低年級(jí)兒童的數(shù)學(xué)成績普遍較高,數(shù)學(xué)成績并不能很好地反映數(shù)學(xué)能力,若要可靠地鑒別數(shù)學(xué)困難兒童,至少要到小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)成績相對(duì)穩(wěn)定且出現(xiàn)顯著分化以后。實(shí)際上,在小學(xué)一、二年級(jí)甚至幼兒時(shí)期,有些兒童就已經(jīng)表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難和障礙,需要及時(shí)甄別并給予訓(xùn)練和輔導(dǎo)。根據(jù)DSM-Ⅴ的診斷標(biāo)準(zhǔn),學(xué)習(xí)困難出現(xiàn)在學(xué)齡期,當(dāng)對(duì)兒童學(xué)業(yè)能力的要求超過他們有限的能力時(shí)(例如,限時(shí)測(cè)驗(yàn)、在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成閱讀或撰寫一定長度和復(fù)雜度的文章,超負(fù)荷的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)等),學(xué)習(xí)困難才會(huì)明顯表現(xiàn)出來(American Psychiatric Association,2013)。所以,對(duì)于學(xué)前兒童使用“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難”應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎,對(duì)于小學(xué)低年級(jí)兒童,出于學(xué)習(xí)成績普遍偏高的考慮也要謹(jǐn)慎。國外研究者通常使用的概念是“數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童”(children at risk for mathematics difficulties),本研究用的是“數(shù)感不良兒童”,為的是準(zhǔn)確使用概念和診斷標(biāo)準(zhǔn)。

數(shù)感(number sense)是關(guān)于數(shù)字間關(guān)聯(lián)的意識(shí)和直覺能力(Malofeeva,Day,Saco,Young,&Ciancio,2004),它從幼兒早期開始顯現(xiàn)并一直發(fā)展著,直到小學(xué)中年級(jí)成熟。對(duì)幼兒和小學(xué)低年級(jí)兒童來講,數(shù)感的核心成分包括對(duì)小數(shù)量(小于3或5——視不同任務(wù)而定)的快速直覺、數(shù)型識(shí)別、數(shù)量比較、數(shù)量估計(jì)、數(shù)數(shù)以及執(zhí)行簡單的數(shù)量轉(zhuǎn)換等(見Berch,2005;Case,1998)。這些基本數(shù)感能力是獨(dú)立于語言與空間知識(shí)和一般記憶能力的特定的認(rèn)知功能(Gelman &Butterworth,2005;Landerl,Bevan,&Butterworth,2004)。數(shù)感的這種對(duì)數(shù)量和大小的直覺能力可能是先天的并且是早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)(Geary,2006),同時(shí)它也與兒童早期數(shù)概念的教育和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)(Case &Griffin,1990),可以通過學(xué)習(xí)和訓(xùn)練得到改善。也就是說,數(shù)感不僅涉及非語言數(shù)字系統(tǒng),也與受經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)影響的語言數(shù)字系統(tǒng)有關(guān)(Geary,1995;Levine,Jordan,&Huttenlocher,1992)。幼兒早期就表現(xiàn)出來的對(duì)小數(shù)量的識(shí)別、比較和操作上的不同敏感度和差異體現(xiàn)了不同的數(shù)感水平。如果兒童不能理解數(shù)量之間的關(guān)系組合,將不利于算術(shù)事實(shí)(arithmetic fact)的獲取和提取。

與受到的關(guān)注不相稱的是,對(duì)于數(shù)感,目前還沒有一個(gè)公認(rèn)的定義。數(shù)感被認(rèn)為是一個(gè)“好識(shí)別,難定義”(Case,1998)的概念。盡管研究者對(duì)數(shù)感的組成各持己見,比如,Berch (2005)曾匯總研究者對(duì)數(shù)感成分的劃分,發(fā)現(xiàn)多達(dá) 30余種;但如前所述,研究者們對(duì)數(shù)感核心成分的認(rèn)識(shí)還是比較一致的(見 Berch,2005;Case,1998)。雖然與數(shù)感有關(guān)的概念和理論問題尚未解決,但能夠指導(dǎo)測(cè)量與干預(yù)的數(shù)感模型已經(jīng)構(gòu)建而成。Jordan及其同事(Jordan,Kaplan,Oláh,&Locuniak,2006)基于以往研究和自己的發(fā)現(xiàn),提出了兒童數(shù)感的“五成分能力結(jié)構(gòu)”理論模型。這五成分包括：數(shù)數(shù)(counting)、數(shù)知識(shí)(number knowledge)、數(shù)量轉(zhuǎn)換(number transformation)、數(shù)量估計(jì)(number estimation)和數(shù)型(number patterns)。五成分?jǐn)?shù)感結(jié)構(gòu)在發(fā)展上有先后順序,每一階段數(shù)感的發(fā)展以前一階段各成分能力的獲得為基礎(chǔ)。五成分的這種逐級(jí)支撐與依次獲得的關(guān)系反映出兒童數(shù)感發(fā)展的軌跡和階段,為數(shù)感的細(xì)化研究、測(cè)量評(píng)估和干預(yù)訓(xùn)練提供了理論指導(dǎo)。盡管Jordan的數(shù)感五成分理論及其測(cè)驗(yàn)未必詳盡涵蓋了被研究確認(rèn)的和與小學(xué)數(shù)學(xué)課程有關(guān)的數(shù)學(xué)認(rèn)知內(nèi)容,但對(duì)基本的數(shù)學(xué)能力都有涉及,而且可以排除是對(duì)基本認(rèn)知能力(如,一般工作記憶)的考查。五成分模型強(qiáng)調(diào)數(shù)感是對(duì)兒童關(guān)于數(shù)、數(shù)量關(guān)系和數(shù)量操作的直覺,對(duì)兒童日后更高層級(jí)(higher-order)的數(shù)學(xué)思維(如數(shù)量操作與數(shù)量程序中的流暢性與靈活性)非常重要,所以數(shù)感對(duì)數(shù)學(xué)成績有顯著的預(yù)測(cè)作用。研究發(fā)現(xiàn),幼兒園和小學(xué)低年級(jí)兒童的數(shù)感水平可以預(yù)測(cè)其更高年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(Chard et al.,2005;Dyson,Jordan,&Glutting,2013;Geary,2011;Jordan,Glutting,Dyson,Hassinger-Das,&Irwin,2012)。幼兒園時(shí)的數(shù)感表現(xiàn)可以解釋一年級(jí)數(shù)學(xué)成績66%的變異,而家庭背景、性別、年齡的解釋都明顯低于數(shù)感(Jordan,Hanich,&Kaplan,2003b);一年級(jí)上學(xué)期的數(shù)感成績,可以很好地預(yù)測(cè)一年級(jí)下學(xué)期和三年級(jí)的數(shù)學(xué)成績,且預(yù)測(cè)力不隨時(shí)間衰減(Jordan,Glutting,&Ramineni,2010)。需要特別說明的是,數(shù)感測(cè)驗(yàn)和數(shù)學(xué)成績測(cè)驗(yàn)在內(nèi)容和形式上是有所不同的,一般來講數(shù)感測(cè)驗(yàn)在內(nèi)容上要比同一時(shí)期的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)所涉及的數(shù)字范圍更廣,在題型設(shè)計(jì)上也要考慮對(duì)被試的相對(duì)新異性,盡量使兒童無法直接依靠已經(jīng)學(xué)到的算術(shù)知識(shí)或數(shù)字事實(shí)解決問題。

數(shù)感被認(rèn)為是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng),是建立明確的數(shù)概念和有效計(jì)算的基礎(chǔ),是在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題之間建立聯(lián)系的橋梁。與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展不同,數(shù)感能力強(qiáng)調(diào)兒童對(duì)數(shù)字的直覺或感覺,以及主動(dòng)運(yùn)用這種直覺“以靈活而有創(chuàng)造性的方式”(Sowder,1992)解決新的數(shù)學(xué)問題。大量研究證實(shí),數(shù)感作為鑒別數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難強(qiáng)有力的預(yù)測(cè)指標(biāo)發(fā)揮著重要的作用,兒童早期的數(shù)感不良極有可能發(fā)展成為數(shù)學(xué)困難(Anghileri,2000/2007;Chard et al.,2005;Fuchs et al.,2013;Gersten,Jordan,&Flojo,2005;Jordan et al.,2010;Locuniak &Jordan,2008;Mazzocco&Thompson,2005;Seethaler &Fuchs,2010)。同時(shí),數(shù)感也被認(rèn)為是預(yù)防數(shù)學(xué)困難的有效干預(yù)內(nèi)容,這樣針對(duì)數(shù)感的干預(yù)就有可能降低兒童日后出現(xiàn)數(shù)學(xué)困難的程度和可能性。

盡管對(duì)年幼兒童的數(shù)學(xué)困難進(jìn)行診斷需要謹(jǐn)慎,但篩查和評(píng)鑒潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童,或者說甄別數(shù)感不良兒童卻是可行的。一是因?yàn)閿?shù)感是早期發(fā)展的,對(duì)學(xué)前及小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童的甄別不適合采用年級(jí)水平離差法時(shí),數(shù)感測(cè)驗(yàn)不失為一個(gè)合適的選擇;二是因?yàn)閿?shù)感測(cè)量涉及到了多種數(shù)學(xué)加工成分,可以相對(duì)廣泛地說明數(shù)學(xué)困難的多種表現(xiàn)。從教學(xué)實(shí)踐角度來說,數(shù)感鑒別是以及早補(bǔ)充教學(xué)、降低風(fēng)險(xiǎn)為目的,意圖對(duì)存在潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)的兒童進(jìn)行篩查以便干預(yù),而非提前對(duì)低年級(jí)兒童作“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難”的診斷,這既避免了錯(cuò)誤鑒別的風(fēng)險(xiǎn)和標(biāo)簽效應(yīng),又滿足了早期預(yù)防干預(yù)教學(xué)的需要。

檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)感測(cè)驗(yàn)反映個(gè)體數(shù)學(xué)能力的程度,可以看它與數(shù)學(xué)成績的關(guān)聯(lián)程度,也可以看它對(duì)數(shù)學(xué)困難的預(yù)測(cè)程度。此外,對(duì)于小學(xué)低年級(jí)來講,還有一個(gè)非?？煽康闹笜?biāo),即計(jì)算流暢性。計(jì)算流暢性(calculation fluency或computational fluency)是指快速、準(zhǔn)確、輕松地進(jìn)行基本運(yùn)算并靈活應(yīng)用的能力(Kilpatrick,Swafford,&Findell,2001),是解決數(shù)學(xué)問題的重要能力。計(jì)算流暢性是低年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn),且與核心計(jì)算原理的基礎(chǔ)知識(shí)相互促進(jìn),對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多方面(從解決簡單的整數(shù)問題到計(jì)算分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù),再到代數(shù)方程、甚至基本的幾何問題)都有促進(jìn)作用(Jordan,Glutting,&Ramineni,2008)。有研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)能力和計(jì)算流暢性之間的關(guān)系非常穩(wěn)定,且較少受其他能力的影響(Locuniak &Jordan,2008)。

數(shù)感不良能夠?qū)е聝和谒阈g(shù)事實(shí)提取上的困難;而良好的數(shù)感則可以加強(qiáng)兒童對(duì)基本算術(shù)事實(shí)的表征(Geary &Hoard,2005;Jordan,Levine,&Huttenlocher,1994)。而算術(shù)事實(shí)是指已經(jīng)轉(zhuǎn)化為陳述性知識(shí)的數(shù)量轉(zhuǎn)換關(guān)系(如,4 + 3=7),其特點(diǎn)是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠快速、輕松、準(zhǔn)確地進(jìn)行提取(Hasselbring,Goin,&Bransford,1988),即不用計(jì)算直接從記憶中獲取準(zhǔn)確答案(但并非是僅靠死記硬背積累算術(shù)事實(shí)),這顯然和計(jì)算流暢性密切相關(guān)。研究發(fā)現(xiàn),有邏輯意義的而非死記硬背的練習(xí)對(duì)實(shí)現(xiàn)流暢性非常重要(Geary et al.,2008)?？梢?數(shù)感和計(jì)算流暢性之間的關(guān)系相當(dāng)密切,計(jì)算流暢性也如數(shù)感一樣對(duì)數(shù)學(xué)成績和數(shù)學(xué)困難傾向有良好的預(yù)測(cè)作用。提高兒童的計(jì)算流暢性有助于他們?cè)诟叩燃?jí)的數(shù)學(xué)問題上獲得成功(McNeil,Fyfe,&Dunwiddie,2015)。研究主張,計(jì)算流暢性的前提性基礎(chǔ)能力包括數(shù)感、記憶廣度、閱讀/語言能力和空間能力(Locuniak &Jordan,2008),作為一個(gè)外顯的可操作的測(cè)量指標(biāo),計(jì)算流暢性得以發(fā)展依賴于有直覺特性的數(shù)感的發(fā)展和那些基本能力的發(fā)展。數(shù)感既然作為計(jì)算流暢性的基本要素,它的不良發(fā)展必然會(huì)導(dǎo)致兒童在計(jì)算方面的缺陷,并容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)困難(Gersten et al.,2005;Mazzocco &Thompson,2005)。多項(xiàng)研究證實(shí),數(shù)學(xué)困難兒童在解決數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)顯著表現(xiàn)是計(jì)算流暢性不足(Bryant,2005;Locuniak &Jordan,2008)。無論數(shù)學(xué)困難兒童的閱讀能力如何,在解決一位數(shù)加法問題時(shí),其速度和準(zhǔn)確性方面都有缺陷,而速度和準(zhǔn)確性對(duì)數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要(Barnes et al.,2006;Carr &Alexeev,2011)。他們?cè)谙迺r(shí)計(jì)算任務(wù)上的成績都明顯不及數(shù)學(xué)正常兒童(Hanich,Jordan,Kaplan,&Dick,2001;Jordan &Hanich,2003;Jordan,Hanich,&Kaplan,2003a;Jordan &Montani,1997),從記憶中提取算術(shù)事實(shí)也表現(xiàn)出明顯的困難(e.g.,Geary,Hoard,Nugent,&Baliey,2012)。盡管他們中的大部分在計(jì)數(shù)程序的技能使用上能趕上正常同伴,但提取算術(shù)事實(shí)的困難卻一直存在(Geary et al.,2012;Jordan et al.,2003b)。

從測(cè)量的角度來看,數(shù)感是早期發(fā)展的,所以建立個(gè)體早期的評(píng)估系統(tǒng)既可行又有意義。對(duì)于計(jì)算流暢性來講,即使是小學(xué)低年級(jí)兒童,考查和甄別他們?cè)谟?jì)算方面是否快速準(zhǔn)確也是容易操作的。需要說明的是,計(jì)算流暢性可以評(píng)估小學(xué)低年級(jí)兒童的數(shù)學(xué)能力,但它并不能作為診斷和篩查量表來使用。我們前面提到,數(shù)學(xué)困難的表現(xiàn)有多種,而計(jì)算流暢性只是其中相對(duì)更核心的一個(gè)特征,就像心理數(shù)線與兒童的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)成績有很強(qiáng)的相關(guān),且可以預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績一樣(Booth &Siegler,2008) (心理數(shù)線與計(jì)算流暢性之間也有很強(qiáng)的相關(guān))。這樣,與數(shù)學(xué)能力有很高相關(guān)的數(shù)感成分當(dāng)然不止流暢性和數(shù)線,它們只是良好的預(yù)測(cè)指標(biāo)之一,并不能廣泛地代表數(shù)學(xué)認(rèn)知的能力范疇。而依據(jù)五成分理論編制的數(shù)感測(cè)驗(yàn),包含了數(shù)感的多種成分,會(huì)比任何單一成分的數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)更適合。

盡管國外已有比較成熟的數(shù)感測(cè)驗(yàn)工具,但是受家庭和學(xué)校教育因素,以及亞洲語言和英語語言數(shù)詞不同的影響,東西方兒童早期的數(shù)感發(fā)展水平存在較大差異(Chan,2014;Geary,Bow-Thomas,Liu,&Siegler,1996;Rodic et al.,2015),在精確數(shù)字估計(jì)方面更是如此(周廣東,莫雷,溫紅博,2009)。就國內(nèi)情況來看,直接測(cè)量數(shù)感和與數(shù)感相關(guān)成分的測(cè)驗(yàn)多半是針對(duì)幼兒的。由于數(shù)感五成分的難度階梯和逐級(jí)發(fā)展的關(guān)系,對(duì)幼兒期的數(shù)感評(píng)估會(huì)涉及不到數(shù)感的高級(jí)成分,比如,周欣及其同事開發(fā)的“3～6歲兒童學(xué)習(xí)和發(fā)展指南(草案)：認(rèn)知領(lǐng)域發(fā)展水平測(cè)查工具(R)”(周欣,黃瑾,趙振國,楊宗華,2009),涉及的是數(shù)數(shù)策略、數(shù)量守恒和估算等數(shù)感的中、低級(jí)成分(當(dāng)然,該研究使用的不是“數(shù)感”的概念)。趙振國對(duì)幼兒數(shù)感的研究使用的是改編國外測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目的測(cè)查工具,涉及數(shù)數(shù)、數(shù)知識(shí)、數(shù)量轉(zhuǎn)換3個(gè)成分(趙振國,2008)。研究發(fā)現(xiàn),待明確鑒別某兒童有數(shù)學(xué)困難后再施以補(bǔ)救教學(xué)和特殊教育,其效果并不理想(Chard et al.,2005)。因此,若要構(gòu)建涵蓋五成分的且具有有效預(yù)測(cè)性的數(shù)感測(cè)驗(yàn),以實(shí)現(xiàn)對(duì)有潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童的及早鑒別并進(jìn)行針對(duì)性干預(yù),小學(xué)一年級(jí)兒童是比較理想的研究對(duì)象。而且考慮到我國非標(biāo)準(zhǔn)化的幼兒園教育(數(shù)感不良的高發(fā)群體——低社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位家庭兒童早期的數(shù)學(xué)教育參差不齊),小學(xué)一年級(jí)作為義務(wù)教育的起點(diǎn),也是一個(gè)合適的測(cè)量與干預(yù)點(diǎn)。

本研究的目的首先是編制一套能夠?qū)πW(xué)低年級(jí)兒童的數(shù)感水平進(jìn)行評(píng)估的測(cè)驗(yàn),以了解兒童數(shù)感發(fā)展的水平并篩選出數(shù)感不良兒童;其次,將探查經(jīng)過對(duì)數(shù)感重要成分——數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的干預(yù)后,數(shù)感不良兒童數(shù)感水平的提升情況,且這一進(jìn)步是否也體現(xiàn)在計(jì)算流暢性上。也就是說,本研究除了在考查數(shù)感和計(jì)算流暢性密切關(guān)系的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探究二者中的哪一方對(duì)另一方具有預(yù)測(cè)作用之外,還將探查對(duì)具有核心意義的數(shù)量轉(zhuǎn)換(包括數(shù)字組合)和數(shù)量估計(jì)的學(xué)習(xí)對(duì)小學(xué)低年級(jí)數(shù)感不良兒童的數(shù)感和計(jì)算流暢性的促進(jìn)作用。Locuniak和Jordan (2008)曾對(duì)198名幼兒園兒童的數(shù)感和計(jì)算流暢性進(jìn)行回歸分析,發(fā)現(xiàn)數(shù)感中的數(shù)知識(shí)和數(shù)量組合(number combination)對(duì)幼兒園兒童計(jì)算流暢性的貢獻(xiàn)最大,數(shù)知識(shí)每提高 1分,計(jì)算流暢性增加0.86;數(shù)量組合每提高1分,計(jì)算流暢性增加0.76。建立有效的評(píng)估方法可以發(fā)現(xiàn)低年級(jí)兒童的數(shù)感不足,以便于及時(shí)采取補(bǔ)救措施;考查何種內(nèi)容的干預(yù)有助于促進(jìn)兒童數(shù)感的發(fā)展,是對(duì)有效干預(yù)的考量。對(duì)于小學(xué)一年級(jí)兒童來講,數(shù)知識(shí)已是較容易的數(shù)感成分,而有一定難度且較為核心的數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)可能更有助于數(shù)感不良兒童數(shù)學(xué)能力的發(fā)展與促進(jìn)。

2 研究 1 “兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”的編制

擬編制符合心理測(cè)量學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”,以實(shí)現(xiàn)識(shí)別和篩查數(shù)感不良兒童的目的。

2.1 被試

以銀川市3所普通小學(xué)(西夏區(qū)九小、西夏區(qū)十小和逸夫小學(xué))一年級(jí)兒童202人(女生95人)為被試,年齡范圍在 6.12～8.61 歲,

M

±

SD

=6.43±0.65。

2.2 工具

自編“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”。

2.3 程序

項(xiàng)目構(gòu)成

數(shù)感測(cè)驗(yàn)初始項(xiàng)目的形成一方面借鑒國外相關(guān)測(cè)驗(yàn)(Griffin,Case,&Siegler,1994;Jordan et al.,2008;Malofeeva et al.,2004)的框架和測(cè)題內(nèi)容及形式;另一方面考慮到我國小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)內(nèi)容,并結(jié)合小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),形成了56個(gè)初始項(xiàng)目,涵蓋了數(shù)感的5個(gè)成分：①

數(shù)數(shù)

考查兒童對(duì)數(shù)數(shù)原則、基數(shù)、序數(shù)的掌握,以及依靠所掌握的基數(shù)、序數(shù)原則來解決數(shù)數(shù)問題的高級(jí)數(shù)數(shù)能力,這樣可以避免明顯的天花板效應(yīng);②

數(shù)知識(shí)

考查兒童區(qū)分不同數(shù)量、識(shí)別相同數(shù)量、進(jìn)行數(shù)量比較的能力;③

數(shù)量轉(zhuǎn)換

包含故事問題和言語計(jì)算問題,考查兒童通過加、減改變數(shù)量的計(jì)算能力;④

數(shù)量估計(jì)

考查兒童近似估計(jì)數(shù)量大小的能力;⑤

數(shù)型

考查兒童的模仿和擴(kuò)充數(shù)型、識(shí)別數(shù)量間關(guān)系的能力。

正式測(cè)驗(yàn)的形成

第一步,確定命題雙向細(xì)目表,形成數(shù)感初始測(cè)驗(yàn);第二步,對(duì) 202名被試進(jìn)行初測(cè),進(jìn)行難度和區(qū)分度分析,保留 46個(gè)項(xiàng)目;第三步,將這些項(xiàng)目按照“數(shù)數(shù)?數(shù)知識(shí)?數(shù)量轉(zhuǎn)換?數(shù)量估計(jì)?數(shù)型”的從易到難的順序進(jìn)行編排,形成正式測(cè)驗(yàn)——“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn) 1(一年級(jí)用)”;最后,參照該測(cè)驗(yàn)試題的難易度和形式編制數(shù)感測(cè)驗(yàn)的 3個(gè)復(fù)本測(cè)驗(yàn),分別命名為“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn) 2/3/4”。

重測(cè)

對(duì)其中89名被試在1周后進(jìn)行重測(cè)。

2.4 結(jié)果

2.4.1 以命題雙向細(xì)目表確定測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容效度

首先在數(shù)感五成分框架下構(gòu)建包含 4級(jí)目標(biāo)(識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析綜合)的雙向細(xì)目表,請(qǐng)10位一年級(jí)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行評(píng)定。結(jié)合編制的文字材料事先給教師講解數(shù)感五成分的含義及試題形式,要求教師對(duì)照項(xiàng)目的試題卷(試卷中每道題目旁邊均標(biāo)明該題欲達(dá)到的上述4級(jí)目標(biāo)之一),在5等級(jí)量表(1=“完全不匹配”,5=“完全匹配”)上逐項(xiàng)打分,評(píng)定所測(cè)內(nèi)容目標(biāo)與欲測(cè)內(nèi)容目標(biāo)的一致性。計(jì)算教師打分的平均數(shù),結(jié)果有 4個(gè)項(xiàng)目平均得分低于 3,即不能很好地反映欲測(cè)內(nèi)容,予以刪除,保留匹配良好(平均分在3.4～4.5之間)的52個(gè)項(xiàng)目(見表1)。

2.4.2 項(xiàng)目分析

首先計(jì)算各項(xiàng)目的難度值(見表2),然后對(duì)各項(xiàng)目的得分進(jìn)行高低排序,取上、下兩端各27%的被試為高、低分組,進(jìn)行差異性檢驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn),有6個(gè)項(xiàng)目的高、低分組間差異不顯著,予以刪除。項(xiàng)目25盡管高、低分組差異不顯著,但該項(xiàng)目是對(duì)一張紙上的幾何圖形進(jìn)行數(shù)量估計(jì),其數(shù)量分別是有難度梯度的幾個(gè)、10幾個(gè)、20幾個(gè)、30幾個(gè)和40幾個(gè),25題因數(shù)量少而估計(jì)得非常準(zhǔn)確?？紤]到該項(xiàng)目對(duì)考查數(shù)感的意義和在數(shù)量估計(jì)題型難度梯度中的作用,所以予以保留。其余45個(gè)項(xiàng)目的

t

檢驗(yàn)差異顯著,區(qū)分度良好。最后保留的46個(gè)項(xiàng)目中,數(shù)數(shù) 6 個(gè)(T1～T6),數(shù)知識(shí) 8 個(gè)(T7～T14),數(shù)量轉(zhuǎn)換 7個(gè)(T15～T17的 3個(gè)項(xiàng)目是故事問題,T18～T21的 4個(gè)項(xiàng)目是言語計(jì)算問題),數(shù)量估計(jì)16 個(gè)(T22～T29 和T39～T46),數(shù)型 9 個(gè)(T30～T38)。

表1 “兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”命題細(xì)目表項(xiàng)目評(píng)定篩選結(jié)果

表2 “兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”各項(xiàng)目難度和區(qū)分度(N=202)

表3 “兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)”分維度信度和復(fù)本信度(n=87)

2.4.3 信度分析

本數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)各維度的 Cronbach α系數(shù)均在0.70以上(

p

s＜0.05),總測(cè)驗(yàn)Cronbach α系數(shù)為0.90。87名被試(2人因遲到未進(jìn)行重測(cè))的重測(cè)信度為0.88。各平行測(cè)驗(yàn)之間的復(fù)本信度均在0.9以上(

p

s＜0.01) (見表3)。

2.4.4 效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度分析

以期中和期末兩次數(shù)學(xué)成績的平均分作為效標(biāo)考查測(cè)驗(yàn)的效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績與測(cè)驗(yàn)各維度均呈顯著的正相關(guān)(見表4),表明該測(cè)驗(yàn)效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度良好。

3 研究2 對(duì)數(shù)感不良兒童的動(dòng)態(tài)干預(yù)

研究2旨在構(gòu)建促進(jìn)兒童數(shù)感和計(jì)算流暢性發(fā)展的易操作、可推廣的干預(yù)模式,以提高數(shù)感不良兒童的水平。研究過程為：對(duì)篩選出的數(shù)感不良兒童實(shí)施“前測(cè)?干預(yù)?后測(cè)”的動(dòng)態(tài)測(cè)驗(yàn)方案,考查干預(yù)前、后兒童數(shù)感和計(jì)算流暢性的進(jìn)步,并進(jìn)一步考查二者的作用關(guān)系。

表4 數(shù)學(xué)成績與“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”的相關(guān)(N=202)

3.1 被試

基于數(shù)感水平與家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位的相關(guān)關(guān)系(Codding,Chan-Iannetta,George,Ferreira,&Volpe,2011;Jordan et al.,2006;Malofeeva et al.,2004;Ramani,Siegler,&Hitti,2012),為了得到足夠的數(shù)感不良兒童樣本,從銀川市城鄉(xiāng)結(jié)合部2所新移民小學(xué)(興涇鎮(zhèn)回民三小、鎮(zhèn)北堡奕龍希望小學(xué))選取 268名一年級(jí)兒童為被試,年齡在 5.13～8.25 歲之間,

M

±

SD

=6.05±0.76。

3.2 材料

3.2.1 兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)

答對(duì)一題計(jì)1分,答錯(cuò)或不答計(jì)0分,滿分46分。

3.2.2 一般言語與記憶能力測(cè)驗(yàn)

采用陳國鵬等人修訂的麥卡錫幼兒智能量表(中國修訂版)的言語分量表和記憶分量表(陳國鵬,李丹,1994)衡量被試的一般語言能力和短時(shí)記憶能力。

3.2.3 數(shù)集測(cè)驗(yàn)

以Geary等人(Geary,Bailey,&Hoard,2009)的數(shù)集測(cè)驗(yàn)(Number Sets Test)測(cè)量兒童的計(jì)算流暢性,該測(cè)驗(yàn)可以簡單方便地測(cè)查兒童識(shí)別數(shù)字組合的準(zhǔn)確性和流暢性。Geary等人(Geary et al.,2009)報(bào)告的4種計(jì)分類型的Cronbach α系數(shù)分別為——擊中：0.88;誤報(bào)：0.90;漏報(bào)：0.70;正確拒絕：0.85。其中擊中率 + 漏報(bào)率=100%,誤報(bào)率 + 正確拒絕率=100%。目標(biāo)數(shù)字分別為5和9,本研究任務(wù)是：要求被試在60s (目標(biāo)數(shù)字為5)或90s (目標(biāo)數(shù)字為 9)的時(shí)間內(nèi),盡可能又快又準(zhǔn)地圈出兩/三個(gè)物體、兩/三個(gè)數(shù)字、或者數(shù)字與物體相加等于 5或9的項(xiàng)目。計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)：若相加等于目標(biāo)數(shù)字時(shí),被試圈上,則“擊中”計(jì) 1分;若漏圈,則“漏報(bào)”計(jì) 1分。若相加不等于目標(biāo)數(shù)字時(shí),被試圈上,則“誤報(bào)”計(jì)1分;沒有圈上,則“正確拒絕”計(jì)1分。擊中和誤報(bào)的滿分均為72分。

3.3 程序

實(shí)驗(yàn)程序分為3個(gè)階段：

(1)前測(cè)階段

對(duì)所有被試(268人)施測(cè)“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”“計(jì)算流暢性測(cè)驗(yàn)”和“麥卡錫幼兒智能量表”的言語和記憶分量表,篩選出數(shù)感測(cè)驗(yàn)得分處于下30% (15分),且言語分量表和記憶分量表達(dá)到常模水平(麥卡錫言語分量表5歲3個(gè)月到8歲6個(gè)月兒童的常模分?jǐn)?shù)是 54～76,記憶分量表是38～55。本研究5.13～8.25歲被試的言語分量表分?jǐn)?shù)是52～72,記憶分量表分?jǐn)?shù)為 35～53)的數(shù)感不良兒童56人(排除智力落后)確定為數(shù)感發(fā)展不良組,再隨機(jī)分為干預(yù)組29人(女13人)、控制組27人(女13人)。從余下的212名被試(排除智力落后,數(shù)感測(cè)驗(yàn)在16分以上)中隨機(jī)抽取40名(女22人)作為正常對(duì)照組。根據(jù)以往研究,使用差異模型方法,數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)的第 25個(gè)百分位是適合用來甄別學(xué)習(xí)困難兒童的標(biāo)準(zhǔn)(Geary et al.,2012;Locuniak &Jordan,2008;Swanson &Beebe-Frankenberger,2004),本研究篩查的是數(shù)感不良兒童,而非程度更重的數(shù)學(xué)困難兒童,加之從城鄉(xiāng)結(jié)合部新移民學(xué)校篩選,所以取30%為分界點(diǎn)。

(2)干預(yù)階段

根據(jù)兒童數(shù)感能力發(fā)展的順序,遵循從具體到抽象的原則,先后進(jìn)行數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的干預(yù)。本著強(qiáng)調(diào)情境性、互動(dòng)性和趣味性的原則選擇數(shù)感干預(yù)材料并設(shè)計(jì)游戲性較強(qiáng)的干預(yù)步驟,強(qiáng)調(diào)兒童在實(shí)際情境中依據(jù)對(duì)數(shù)的直覺進(jìn)行操作和解決直觀問題。干預(yù)游戲采用回合制方式進(jìn)行,即一小組4～5名兒童輪流進(jìn)行操作,方便主試記錄、了解每名兒童的情況,在自由游戲環(huán)節(jié)結(jié)束后逐一詢問計(jì)算過程以了解被試的策略使用和掌握情況,隨后給予針對(duì)性的反饋。干預(yù)在安靜的教室里進(jìn)行,每次干預(yù)一個(gè)任務(wù),被試掌握某一任務(wù)策略后,進(jìn)入下一任務(wù)。每次干預(yù)時(shí)間約為30～40 min。每周干預(yù)2次,持續(xù)6周。對(duì)數(shù)感不良控制組與正常對(duì)照組兒童進(jìn)行故事書閱讀,閱讀次數(shù)和時(shí)間與干預(yù)組相同。

(3)后測(cè)階段

干預(yù)結(jié)束一周后隨機(jī)抽取一套數(shù)感測(cè)驗(yàn)的復(fù)本對(duì)3組兒童進(jìn)行后測(cè),同時(shí)施測(cè)數(shù)集測(cè)驗(yàn)。

3.4 結(jié)果

3.4.1 不同數(shù)感水平兒童前、后測(cè)數(shù)感成績的比較

干預(yù)前對(duì)3組被試的數(shù)感水平進(jìn)行檢驗(yàn),以保證數(shù)感不良干預(yù)組和控制組兒童的數(shù)感水平基本相同。結(jié)果顯示3組之間差異顯著,具體為干預(yù)組與控制組在數(shù)感各維度和總分上差異均不顯著(

p

s＞0.05),且兩組與正常組差異均十分顯著(

p

s＜0.01)(見表5)。

表5 三組不同數(shù)感水平被試在“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)”上的前、后測(cè)成績比較(M±SD)

考慮到言語、數(shù)字記憶和數(shù)感前測(cè)成績可能會(huì)對(duì)被試數(shù)感后測(cè)成績有影響,因此,將它們作為協(xié)變量對(duì)數(shù)感后測(cè)成績進(jìn)行協(xié)方差分析以考查干預(yù)效果。結(jié)果顯示,干預(yù)組在除了數(shù)知識(shí)以外的數(shù)感其他維度和總分上均顯著高于控制組(

p

s＜0.01),且在各維度和總分上與正常組沒有差異(

p

s＞0.05)(見表5)。說明干預(yù)組經(jīng)數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的干預(yù)后,數(shù)感成績有了明顯提高。為進(jìn)一步考查3組在前、后測(cè)中數(shù)感成績的變化,分別對(duì)各組數(shù)感前、后測(cè)進(jìn)行相關(guān)樣本

t

檢驗(yàn),結(jié)果顯示干預(yù)組在數(shù)感各維度和總分上的后測(cè)成績與前測(cè)相比均有顯著提高。相比之下,控制組數(shù)感不良兒童雖在數(shù)知識(shí)、數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì) 3個(gè)維度中有一定進(jìn)步(

p

s＜0.05),但卻明顯低于干預(yù)組的促進(jìn)效果;并且在數(shù)數(shù)和數(shù)型這兩個(gè)比較難的維度上,沒有表現(xiàn)出顯著進(jìn)步。為了考查數(shù)感不良干預(yù)組與控制組在數(shù)感前、后測(cè)間的水平增長是否有差異,對(duì)兩組被試在數(shù)感測(cè)驗(yàn)各維度和總分上的前、后測(cè)增量分?jǐn)?shù)(即表5中的后測(cè)分減去前測(cè)分)進(jìn)行

t

檢驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn),兩組除在數(shù)知識(shí)維度上沒有差異外,其他4個(gè)維度和總分上,干預(yù)組的增量分都顯著高于控制組(

t

=3.52,

p

＜0.001;

t

=4.46,

p

＜0.001;

t

=1.99,

p

＜0.05;

t

=2.84,

p

＜0.01;

t

=7.00,

p

＜0.01),表明干預(yù)組明顯優(yōu)于控制組的干預(yù)效果。

3.4.2 不同數(shù)感水平兒童前、后測(cè)計(jì)算流暢性的比較

根據(jù) MacMillan (2002),以

d

′作為衡量兒童計(jì)算流暢性的指標(biāo),

d

′=

Z

–

Z

,表示對(duì)目標(biāo)數(shù)量的敏感度,

d

′值越高,計(jì)算流暢性就越好。結(jié)果發(fā)現(xiàn)(見表6),3組被試在計(jì)算流暢性前測(cè)上差異顯著(

F

(2,93)=7.43,

p

＜0.001,η=0.16),數(shù)感不良干預(yù)組和控制組差異不顯著,但二者均與正常組差異顯著(

p

＜0.05)。對(duì)3組被試計(jì)算流暢性后測(cè)進(jìn)行檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),組間主效應(yīng)顯著(

F

(2,93)=8.62,

p

＜0.01,η=0.14),事后檢驗(yàn)表明,干預(yù)組在計(jì)算流暢性后測(cè)上顯著好于控制組(

p

＜0.05),且與正常組差異不顯著(

p

＞0.05)。這與如前所述的前測(cè)中正常組好于兩個(gè)數(shù)感不良組的結(jié)果是不同的,而且這種變化主要體現(xiàn)在數(shù)感干預(yù)組上的明顯進(jìn)步,表明通過數(shù)感任務(wù)的干預(yù),干預(yù)組被試的計(jì)算流暢性水平顯著提升,基本達(dá)到了正常組的水平。

表6 三組不同數(shù)感水平被試在“計(jì)算流暢性測(cè)驗(yàn)”前、后測(cè)的比較(M±SD)

3.4.3 數(shù)感和計(jì)算流暢性的交叉?滯后相關(guān)分析

從上述分析可以看出,3組被試的數(shù)感和計(jì)算流暢性在后測(cè)時(shí)都有顯著增長,為進(jìn)一步考查二者之間的關(guān)系,明確數(shù)感和計(jì)算流暢性的相互作用方向,對(duì)數(shù)感和計(jì)算流暢性的發(fā)展做交叉?滯后分析(見圖1)。

圖1 數(shù)感和計(jì)算流暢性的交叉?滯后相關(guān)分析

數(shù)感和計(jì)算流暢性的前、后測(cè)之間的穩(wěn)定性分別為 β=0.527,

p

＜0.001;β=0.509,

p

＜0.01;β＞β,說明穩(wěn)定相關(guān)一致;數(shù)感和計(jì)算流暢性的前測(cè)、后測(cè)的同步性分別為β=0.325,

p

＜0.01;β=0.343,

p

＜0.01,說明同步相關(guān)也一致。同步相關(guān)和穩(wěn)定相關(guān)一致,符合交叉?滯后組設(shè)計(jì)的基本假設(shè)(Kantowitz,Roediger,&Elmes,1997/2001)。將數(shù)感和計(jì)算流暢性的前、后測(cè)成績配對(duì),以數(shù)感和計(jì)算流暢性的前測(cè)為自變量,分層先后進(jìn)入回歸方程,先以計(jì)算流暢性后測(cè)為因變量進(jìn)行回歸分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)感前測(cè)成績能夠非常顯著地預(yù)測(cè)計(jì)算流暢性后測(cè)(β=0.275,

p

＜0.01);然后再以數(shù)感后測(cè)為因變量進(jìn)行回歸分析,發(fā)現(xiàn)計(jì)算流暢性前測(cè)不能預(yù)測(cè)數(shù)感后測(cè)(β=0.155,

p

＞0.05)。該結(jié)果在一定程度上預(yù)示數(shù)感可能是計(jì)算流暢性的基礎(chǔ)。

4 討論

4.1 信、效度良好的兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)

數(shù)學(xué)困難是發(fā)生在學(xué)齡期兒童中的一種學(xué)習(xí)困難類型,持續(xù)時(shí)間長、表現(xiàn)明顯(American Psychiatric Association,2013)。一個(gè)有數(shù)學(xué)困難的兒童不得不面對(duì)與之相關(guān)的長期問題,對(duì)個(gè)體數(shù)學(xué)成績改善和升學(xué)都有很大的影響。如引言所述,數(shù)感是數(shù)學(xué)困難的強(qiáng)預(yù)測(cè)變量(Chard et al.,2005;Jordan et al.,2010;Locuniak &Jordan,2008;Seethaler &Fuchs,2010),那么,對(duì)兒童數(shù)感水平的考核、診斷、甄別和干預(yù)就顯得格外重要。國外已有的數(shù)感測(cè)驗(yàn)(如Griffin et al.,1994;Jordan et al.,2008;Malofeeva et al.,2004)試圖從幼兒園和小學(xué)低年級(jí)階段開始來考查兒童的數(shù)感發(fā)展?fàn)顩r,以期盡早準(zhǔn)確篩查出數(shù)感表現(xiàn)不良的、潛在的數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童,并及時(shí)進(jìn)行干預(yù)。與西方一些國家不同,中國兒童從幼兒期開始,家庭和幼兒園就十分強(qiáng)調(diào)對(duì)幼兒數(shù)數(shù)技能和計(jì)算能力的培養(yǎng),所以國外的數(shù)感測(cè)驗(yàn)可能并不適合中國兒童。本研究試圖考查小學(xué)一年級(jí)兒童的數(shù)感發(fā)展水平并對(duì)數(shù)感發(fā)展不良兒童進(jìn)行干預(yù),這就有必要構(gòu)建適合中國兒童的數(shù)感測(cè)驗(yàn)以便識(shí)別和篩查數(shù)感發(fā)展不良兒童。數(shù)感測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容比同一時(shí)期的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)所涉及的數(shù)字范圍要廣,在題型設(shè)計(jì)上要求有新異性,使被測(cè)者無法依靠已經(jīng)學(xué)到的算術(shù)知識(shí)或數(shù)字事實(shí)直接解決問題。這是采用數(shù)感測(cè)驗(yàn)考查低齡兒童數(shù)學(xué)能力并篩查有潛在數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)兒童的優(yōu)勢(shì)。本研究編制的“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”主要基于 Jordan等人(Jordan et al.,2006)的五成分理論模型,涵蓋了數(shù)數(shù)、數(shù)知識(shí)、數(shù)量轉(zhuǎn)換、數(shù)量估計(jì)、數(shù)型5個(gè)成分,考查的內(nèi)容有心理數(shù)線、有精確計(jì)算和數(shù)量估計(jì),還有針對(duì)算術(shù)事實(shí)的快速提取等,這比任何單一成分的數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)都具有更好的代表性和更廣泛的解釋性。

本研究所編制的數(shù)感測(cè)驗(yàn)采用了雙向細(xì)目表法,還通過借鑒以往數(shù)感測(cè)驗(yàn)、參考數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、專家教師評(píng)定等措施來保證內(nèi)容效度,其效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度驗(yàn)證了數(shù)感測(cè)驗(yàn)與數(shù)感成績的相關(guān)關(guān)系,得到了符合測(cè)量學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的兩類效度指標(biāo)。各類信度指標(biāo)也顯示,測(cè)驗(yàn)的內(nèi)部一致性信度、重測(cè)信度、復(fù)本信度均一致穩(wěn)定,符合測(cè)量學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。因此,所編制的兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)可以用來評(píng)定小學(xué)一年級(jí)兒童的數(shù)感發(fā)展水平,并可對(duì)數(shù)感發(fā)展不良兒童進(jìn)行甄別篩查。

4.2 數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的動(dòng)態(tài)訓(xùn)練干預(yù)對(duì)兒童數(shù)感發(fā)展的促進(jìn)

為考查經(jīng)數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的干預(yù)后,數(shù)感不良兒童的數(shù)感水平和計(jì)算流暢性是否提高,本研究將篩查出的數(shù)感不良兒童分為干預(yù)組和控制組,并與正常對(duì)照組進(jìn)行比較。結(jié)果證實(shí)了所選干預(yù)內(nèi)容和干預(yù)方式的有效性,歷經(jīng) 6周的干預(yù),數(shù)感不良干預(yù)組在數(shù)感5個(gè)成分的得分及總分上均有顯著提高。而沒有接受干預(yù)的控制組雖有提高,但在有一定難度的任務(wù)(數(shù)數(shù)和數(shù)型)上增長卻不顯著。我們認(rèn)為這一增長可能與學(xué)校的常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)有關(guān),當(dāng)然,也不排除自然成熟的影響。數(shù)型是數(shù)感五成分中的最高成分,考查的是兒童識(shí)別數(shù)量間關(guān)系、根據(jù)數(shù)量間關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。對(duì)低年級(jí)兒童來說,這些是比較難的項(xiàng)目,從他們已有的課堂數(shù)學(xué)知識(shí)中實(shí)現(xiàn)遷移尚有難度。這時(shí)指向于數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的數(shù)感干預(yù)便發(fā)揮了獨(dú)特的作用,顯示出更明顯的效果。根據(jù)數(shù)感成分依次獲得的理論(Jordan et al.,2006,2010),數(shù)數(shù)維度原本是數(shù)感五成分中最基礎(chǔ)的維度,但我們?cè)诰幹祈?xiàng)目階段的預(yù)測(cè)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),基礎(chǔ)性的數(shù)數(shù)項(xiàng)目對(duì)于一年級(jí)兒童難度過低,幾乎全部答對(duì)。因?yàn)槲覈荒昙?jí)兒童大多于學(xué)前期在幼兒園大班或?qū)W前班就已接受數(shù)學(xué)課堂教學(xué),基礎(chǔ)性的數(shù)數(shù)項(xiàng)目對(duì)他們還是過于簡單,因此便提高了難度。項(xiàng)目涉及到了數(shù)數(shù)的高級(jí)能力,包括依靠所掌握的基數(shù)、序數(shù)原則來解決數(shù)數(shù)問題,如,“從3往后數(shù)的第5個(gè)數(shù)是多少？”這無疑提高了對(duì)兒童數(shù)感能力的要求,他們從常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)中也難以獲得直接知識(shí)支撐。而此時(shí)基于數(shù)感干預(yù)的訓(xùn)練便顯示出了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)不可替代的優(yōu)勢(shì)。再來看數(shù)感正常組兒童的成績,首先他們的數(shù)感前測(cè)成績就明顯高于數(shù)感不良組,盡管沒有接受干預(yù)訓(xùn)練,但基于自身較高的數(shù)感水平,他們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中的理解、獲益和提升會(huì)遠(yuǎn)優(yōu)于另外兩組;另外,“數(shù)感”作為一種對(duì)數(shù)量和數(shù)量間關(guān)聯(lián)的意識(shí)以及靈活地解決數(shù)量問題的能力(Anghileri,2000/2007;Malofeeva et al.,2004),在兒童身上一直不斷發(fā)展著。所以,除數(shù)知識(shí)維度外,數(shù)感正常組兒童在其他4個(gè)數(shù)感維度和總分上均有顯著增長。至于數(shù)知識(shí)維度,在前測(cè)時(shí)該組兒童的成績就比較高,可發(fā)展的空間有限,所以沒有表現(xiàn)出顯著增長。

本研究選擇數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)這兩個(gè)數(shù)感的關(guān)鍵成分作為干預(yù)內(nèi)容,依據(jù)的是Jordan等人的主張(如 Locuniak &Jordan,2008;Jordan et al.,2006,2010),數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)對(duì)兒童數(shù)感水平的預(yù)測(cè)性最大。同時(shí),在對(duì)數(shù)學(xué)困難的干預(yù)方面,Pellegrino和Goldman (1987)也曾提出,對(duì)數(shù)學(xué)困難兒童的補(bǔ)救教學(xué)應(yīng)該包括對(duì)算術(shù)事實(shí)的干預(yù)訓(xùn)練。有研究證實(shí),在小學(xué)階段有數(shù)學(xué)困難傾向的兒童不能自動(dòng)提取一些算術(shù)事實(shí),他們(7歲兒童)所提取的算術(shù)事實(shí)數(shù)量顯著低于同齡數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)正常兒童;且這種差距隨年齡的增長而更加明顯,到了12歲,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)正常的兒童正確提取算術(shù)事實(shí)的數(shù)量是數(shù)學(xué)困難兒童的3倍(Hasselbring et al.,1988)。研究證實(shí),對(duì)算術(shù)事實(shí)的自動(dòng)提取對(duì)長期的數(shù)學(xué)成功非常重要(National Mathematics Advisory Panel,2008)。對(duì)算術(shù)事實(shí)不能快速提取嚴(yán)重阻礙了兒童計(jì)算流暢性的發(fā)展,許多數(shù)學(xué)困難兒童掌握了程序性知識(shí),但是他們需要以某種方式存儲(chǔ)這種信息,才能保證其快速準(zhǔn)確地提取。因此,數(shù)量轉(zhuǎn)換的動(dòng)態(tài)干預(yù)正是幫助這些數(shù)感不良兒童將算術(shù)事實(shí)變?yōu)殛愂鲂灾R(shí),進(jìn)而提高計(jì)算流暢性水平。

4.3 數(shù)感是計(jì)算流暢性的基礎(chǔ),是評(píng)估年幼兒童數(shù)學(xué)能力的有效測(cè)驗(yàn)內(nèi)容

研究發(fā)現(xiàn),數(shù)感不良能夠?qū)е掠?jì)數(shù)加工不足、算術(shù)事實(shí)提取緩慢、精確計(jì)算不足等幾乎所有數(shù)學(xué)困難的特征(Geary,Hamson,&Hoard,2000;Jordan et al.,2003a,2003b)。如前所述,研究已證實(shí)數(shù)學(xué)困難兒童在解決一位數(shù)加法問題時(shí)的速度和準(zhǔn)確性方面都存有缺陷,且與閱讀能力無關(guān)(Barnes et al.,2006);那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)不良的兒童從記憶中檢索一位數(shù)問題答案的準(zhǔn)確度也較低(Carr &Alexeev,2011);同時(shí),計(jì)算流暢性不足又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童的明顯特點(diǎn)(Bryant,2005;Cowan &Powell,2014;Fuchs et al.,2013;Locuniak &Jordan,2008;Reigosa-Crespo et al.,2012)。這些研究都證實(shí)了數(shù)感和計(jì)算流暢性對(duì)數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)困難傾向的預(yù)測(cè)與影響作用。如前所述,對(duì)數(shù)學(xué)困難的診斷鑒別多年來一直是能力–成績差異模型占主導(dǎo),但差異模型因和數(shù)學(xué)成績相關(guān)對(duì)小學(xué)低年級(jí)兒童并不適用,因此需要更適切敏感的測(cè)量指標(biāo)考查低年級(jí)兒童的數(shù)學(xué)能力。而且,即使在小學(xué)低年級(jí),考查和甄別兒童在計(jì)算方面是否快速準(zhǔn)確也是很容易操作的。那么,計(jì)算流暢性是否可以直接用來甄別和診斷年幼兒童的數(shù)學(xué)困難傾向,篩查潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童？數(shù)感測(cè)驗(yàn)因涵蓋多種數(shù)學(xué)能力,可以較好地預(yù)測(cè)年幼兒童的數(shù)學(xué)能力,是甄別低齡兒童數(shù)學(xué)困難傾向的良好指標(biāo)。在這一點(diǎn)上,計(jì)算流暢性是否也可以起到類似的作用？為探明此問題,本研究基于動(dòng)態(tài)干預(yù)研究對(duì)數(shù)感和計(jì)算流暢性進(jìn)行了交叉—滯后相關(guān)分析,發(fā)現(xiàn)了數(shù)感對(duì)計(jì)算流暢性的基礎(chǔ)性意義,數(shù)感成分中的數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)對(duì)計(jì)算流暢性有顯著的促進(jìn)作用,支持了前人的研究(如Cowan &Powell,2014;Locuniak &Jordan,2008)。實(shí)際上,從另一方面也可以說明計(jì)算流暢性不是數(shù)感的前提性基礎(chǔ),而是反過來,那些體現(xiàn)數(shù)感基本特性的基本數(shù)學(xué)能力,如列舉點(diǎn)數(shù)、數(shù)值大小比較等對(duì)計(jì)算流暢性有著較強(qiáng)的影響(Reigosa-Crespo et al.,2012)。厘清這一問題對(duì)于診斷和甄別潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童非常重要。數(shù)學(xué)困難除了有單純的數(shù)學(xué)困難和伴閱讀困難的兩大類別,就單純的數(shù)學(xué)困難本身來講,其表現(xiàn)也存在跨領(lǐng)域的不均衡性(Ginsburg,1997),因?yàn)閿?shù)學(xué)的不同方面包括不同的認(rèn)知能力(Geary et al.,2000),而非只是籠而統(tǒng)之的數(shù)學(xué)能力(mathematical competence)。比如,有些數(shù)學(xué)困難兒童表現(xiàn)出算術(shù)事實(shí)提取的不足,但對(duì)數(shù)數(shù)原則和數(shù)學(xué)概念把握良好;有些數(shù)學(xué)困難兒童有良好的計(jì)算技能但卻不能很好地理解數(shù)概念(Jordan &Hanich,2000;Jordan &Montani,1997;Russell &Ginsburg,1984)。所以DSM-Ⅴ提出：診斷數(shù)學(xué)困難,要列出受損的所有領(lǐng)域和子領(lǐng)域。如果受損領(lǐng)域超過一個(gè),應(yīng)該根據(jù)具體分類——數(shù)感、算術(shù)事實(shí)記憶(memorization of arithmetic facts)、精確或流暢的計(jì)算(accurate or fluent calculation)、精確數(shù)學(xué)推理(accurate math reasoning)——具體指明究竟是哪些領(lǐng)域受損(American Psychiatric Association,2013)。從這里可以看出,數(shù)感和計(jì)算流暢性雖同為預(yù)測(cè)低齡兒童數(shù)學(xué)能力的敏感指標(biāo),但屬于不同的領(lǐng)域。

這又回到了我們?cè)谇把灾刑岬降臄?shù)感概念的問題——“好識(shí)別、難定義”(Case,1998)。不難看出,DSM-Ⅴ中提到的數(shù)感與Jordan五成分模型的數(shù)感內(nèi)容是不一樣的,后者的成分范圍更廣,基本涵蓋了年幼兒童最基本的數(shù)學(xué)能力,涉及到數(shù)數(shù)、數(shù)知識(shí)、數(shù)量轉(zhuǎn)換、數(shù)量估計(jì)和數(shù)型多種數(shù)學(xué)加工成分。基于五成分模型構(gòu)建的數(shù)感測(cè)驗(yàn),可以相對(duì)廣泛地說明數(shù)學(xué)困難的多種表現(xiàn),且指標(biāo)明確,所以,以此甄別潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童是可靠和可行的。而計(jì)算流暢性是年幼兒童數(shù)學(xué)能力的外在表現(xiàn)之一,從診斷和篩查角度來講,計(jì)算流暢性,如心理數(shù)線(Booth &Siegler,2008)一樣,只是良好的預(yù)測(cè)指標(biāo)之一,還不能廣泛地代表數(shù)學(xué)認(rèn)知的能力范疇,而更為基礎(chǔ)和范疇廣泛的數(shù)感評(píng)估則更為適合。我們通過研究證實(shí)了數(shù)感是計(jì)算流暢性的基礎(chǔ),為數(shù)感在評(píng)估測(cè)量中的可靠意義提供了前提性依據(jù)。依據(jù)五成分理論模型編制的數(shù)感測(cè)驗(yàn),包含數(shù)感的多種成分,有心理數(shù)線、有精確計(jì)算和數(shù)量估計(jì)、有數(shù)數(shù)技能等,以此評(píng)估潛在數(shù)學(xué)困難風(fēng)險(xiǎn)兒童,比任何單一成分的數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)都具有更好的代表性和更廣泛的解釋性。而且數(shù)感測(cè)驗(yàn)的各個(gè)成分已被證明和數(shù)學(xué)能力關(guān)系密切——如,早期的

數(shù)數(shù)

困難可以預(yù)測(cè)日后的算術(shù)運(yùn)算困難(Geary,Hoard,&Hamson,1999);

數(shù)知識(shí)

是一年級(jí)算術(shù)成績的強(qiáng)預(yù)測(cè)變量(零階相關(guān)系數(shù)達(dá)0.73) (Baker et al.,2002);與語言相關(guān)的

數(shù)量轉(zhuǎn)換

涉及到了經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)能力的意義,與非言語計(jì)算有關(guān)的

數(shù)量轉(zhuǎn)換

則考查了與工作記憶有關(guān)的數(shù)量表征能力;

數(shù)估計(jì)

與要求精確數(shù)知識(shí)的算術(shù)運(yùn)算技能有顯著相關(guān)(Dowker,1997);

數(shù)型

的掌握可以使數(shù)字組合變得更加流暢(Gray &Tall,1994;Jordan et al.,1994)——也強(qiáng)有力地支持了數(shù)感測(cè)驗(yàn)作為評(píng)估和篩查工具的有效價(jià)值。

最后,需要特別強(qiáng)調(diào)的是,在深入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的過程中,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)感促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的顯著意義還沒有充分的認(rèn)識(shí),對(duì)兒童數(shù)感的培養(yǎng)和訓(xùn)練還處在無意識(shí)教學(xué)階段。事實(shí)上,培養(yǎng)和訓(xùn)練兒童的數(shù)感不但有利于他們將已有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行良好的遷移,而且有利于他們?cè)诳萍几叨劝l(fā)達(dá)的社會(huì)中為今后的生活和工作打好基礎(chǔ)、做好準(zhǔn)備(Anghileri,2000/2007)。因此,全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)(NCTM) National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).(1994)..Reston,VA:Author.1994年就提出了從學(xué)齡前到高中階段的數(shù)感教學(xué)建議,我國也于 2001年將數(shù)感教學(xué)寫入了全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 中華人民共和國教育部.(2001)..北京:北京師范大學(xué)出版社.,將數(shù)感的形成作為學(xué)校數(shù)學(xué)課程改革的主要目標(biāo)之一。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中大力強(qiáng)調(diào)估算和數(shù)感的訓(xùn)練勢(shì)在必行,本研究在數(shù)感干預(yù)內(nèi)容和干預(yù)手段上的研究正是服務(wù)于數(shù)感教學(xué)的有益探索。

5 結(jié)論

(1)所編制的涉及數(shù)感多種成分的“兒童數(shù)感發(fā)展測(cè)驗(yàn)(一年級(jí)用)”信、效度良好,可以有效評(píng)估兒童的數(shù)感發(fā)展?fàn)顩r,并區(qū)分出不同數(shù)感發(fā)展水平的兒童;

(2)通過對(duì)數(shù)感不良兒童進(jìn)行指向于數(shù)量轉(zhuǎn)換和數(shù)量估計(jì)的動(dòng)態(tài)干預(yù),其數(shù)感水平得到顯著提高,并且計(jì)算流暢性水平也得到提高;

(3)數(shù)感是計(jì)算流暢性的基礎(chǔ)和預(yù)測(cè)變量。

American Psychiatric Association.(2013).

Diagnostic and statistical manual of mental disorders

(5th ed.).Arlington:American Psychiatric Publishing.Anghileri,J.(Ed.).(2007).

Teaching number sense

(W.B.Xu,Trans.).Beijing,China:Beijing Normal University Press.(Original work published 2000).[安吉萊瑞,J.(主編).(2007).

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

(徐文彬譯).北京:北京師范大學(xué)出版社.]Baker,S.,Gersten,R.,Flojo,J.,Katz,R.,Chard,D.,&Clarke,B.(2002).

Preventing mathematics difficulties in young children:Focus on effective screening of early number sense delays

.(Technical Report No.0305).Eugene,OR:Pacific Institutes for Research.Barnes,M.A.,Wilkinson,M.,Khemani,E.,Boudesquie,A.,Dennis,M.,&Fletcher,J.M.(2006).Arithmetic processing in children with spina bifida:Calculation accuracy,strategy use,and fact retrieval fluency.

Journal of Learning Disabilities,39

(2),174–187.Berch,D.B.(2005).Making sense of number sense:Implications for children with mathematical disabilities.

Journal of Learning Disabilities,38

(4),333–339.Bi,Y.,&Zhang,L.J.(2014).Problems and strategies on identifying mathematics learning disabilities with the ability-achievement discrepancy models.

Chinese Journal of Special Education,

(5),49–54.[畢遠(yuǎn),張麗錦.(2014).以能力-成績差異模型鑒別數(shù)學(xué)困難的問題與對(duì)策.

中國特殊教育,

(5),49–54.]Booth,J.L.,&Siegler,R.S.(2008).Numerical magnitude representations influence arithmetic learning.

Child Development,79

(4),1016–1031.Bryant,D.P.(2005).Commentary on early identification and intervention for students with mathematics difficulties.

Journal of Learning Disabilities,38

(4),340–345.Carr,M.,&Alexeev,N.(2011).Fluency,accuracy,and gender predict developmental trajectories of arithmetic strategies.

Journal of Educational Psychology,103

(3),617–631.Case,R.(1998).

A psychological model of number sense.

Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association,San Diego,CA.Case,R.,&Griffin,S.(1990).Child cognitive development:The role of central conceptual structures in the development of scientific and social thought.

Advances in Psychology,64

,193–230.Chan,W.W.L.(2014).Understanding and processing numbers among chinese children.

Psychology &Neuroscience,7

(4),583–591.Chard,D.J.,Clarke,B.,Baker,S.,Otterstedt,J.,Braun,D.,&Katz,R.(2005).Using measures of number sense to screen for difficulties in mathematics:Preliminary findings.

Assessment for Effective Intervention,30

(2),3–14.Chen,G.P.,&Li,D.(1994).The revision of the Chinese norm of McCarthy scale of children’s abilities.

Chinese Journal of Clinical Psychology,2

(3),135–140.[陳國鵬,李丹.(1994).麥卡錫兒童智能量表的修訂.

中國臨床心理學(xué)雜志,2

(3),135–140.]Codding,R.S.,Chan-Iannetta,L.,George,S.,Ferreira,K.,&Volpe,R.(2011).Early number skills:Examining the effects of class-wide interventions on kindergarten performance.

School Psychology Quarterly,26

(1),85–96.Cowan,R.,&Powell,D.(2014).The contributions of domaingeneral and numerical factors to third-grade arithmetic skills and mathematical learning disability.

Journal of Educational Psychology,106

(1),214–229.Dowker,A.(1997).Young children's addition estimates.

Mathematical Cognition,3

(2),140–153.Dyson,N.I.,Jordan,N.C.,&Glutting,J.(2013).A number sense intervention for low-income kindergartners at risk for mathematics difficulties.

Journal of Learning Disabilities,46

(2),166–181.Fuchs,L.S.,Geary,D.C.,Compton,D.L.,Fuchs,D.,Schatschneider,C.,Hamlett,C.L.,...Changas,P.(2013).Effects of first-grade number knowledge tutoring with contrasting forms of practice.

Journal of Educational Psychology,105

(1),58–77.Geary,D.C.(1995).Reflections of evolution and culture in children's cognition:Implications for mathematical development and instruction.

American Psychologist,50

(1),24–37.Geary,D.C.(2006).Development of mathematical understanding.In D.Kuhl &R.S.Siegler (Vol.Eds.) &W.Damon (Gen.Ed.),

Cognition,perception,and language,Vol 2:Handbook of child psychology

(6th ed.,pp.777–810).New York:John Wiley &Sons.Geary,D.C.(2011).Cognitive predictors of achievement growth in mathematics:A 5-year longitudinal study.

Developmental Psychology,47

,1539–1552.Geary,D.C.,Bailey,D.H.,&Hoard,M.K.(2009).Predicting mathematical achievement and mathematical learning disability with a simple screening tool:The Number Sets Test.

Journal of Psychoeducational Assessment,27

(3),265–279.Geary,D.C.,Bow-Thomas,C.C.,Liu,F.,&Siegler,R.S.(1996).Development of arithmetical competencies in Chinese and American children:Influence of age,language,and schooling.

Child Development,67

(5),2022–2044.Geary,D.C.,Boykin,A.W.,Embretson,S.,Reyna,V.,Siegler,R.,Berch,D.B.,&Graban,J.(2008).

Report of the task group on learning processes.

Download from http://www2.ed.gov/about/bdscomm/list/mathpanel/report/l earning-processes.pdfGeary,D.C.,Hamson,C.O.,&Hoard,M.K.(2000).Numerical and arithmetical cognition:A longitudinal study of process and concept deficits in children with learning disability.

Journal of Experimental Child Psychology,77

(3),236–263.Geary,D.C.,&Hoard,M.K.(2005).Learning disabilities in arithmetic and mathematics:Theoretical and empirical perspectives.In J.I.D.Campbell (Ed.),

Handbook of mathematical cognition

(pp.253–267).New York:Psychology Press.Geary,D.C.,Hoard,M.K.,&Hamson,C.O.(1999).Numerical and arithmetical cognition:Patterns of functions and deficits in children at risk for a mathematical disability.

Journal of Experimental Child Psychology,74

(3),213–239.Geary,D.C.,Hoard,M.K.,Nugent,L.,&Bailey,D.H.(2012).Mathematical cognition deficits in children with learning disabilities and persistent low achievement:A five-year prospective study.

Journal of Educational Psychology,104

(1),206–223.Gelman,R.,&Butterworth,B.(2005).Number and language:How are they related?

Trends in Cognitive Sciences,9

(1),6–10.Gersten,R.,Jordan,N.C.,&Flojo,J.R.(2005).Early identification and interventions for students with mathematics difficulties.

Journal of Learning Disabilites,38

(4),293–304.Ginsburg,H.P.(1997).Mathematics learning disabilities:A view from developmental psychology.

Journal of Learning Disabilities,30

(1),20–33.Gray,E.M.,&Tall,D.O.(1994).Duality,ambiguity,and flexibility:A "proceptual" view of simple arithmetic.

Journal for Research in Mathematics Education,25

,116–140.Griffin,S.A.,Case,R.,&Siegler,R.S.(1994).Rightstart:Providing the central conceptual prerequisites for first formal learning of arithmetic to students at risk for school failure.In K.McGilly (Ed.),

Classroom lessons:Integrating cognitive theory and classroom practice

(pp.24–49).Cambridge,MA:MIT Press.Hanich,L.B.,Jordan,N.C.,Kaplan,D.,&Dick,J.(2001).Performance across different areas of mathematical cognition in children with learning difficulties.

Journal of Educational Psychology,93

(3),615–626.Hasselbring,T.S.,Goin,L.,&Bransford,J.D.(1988).Developing math automaticity in learning handicapped children:The role of computerized drill and practice.

Focus on Exceptional Children,20

(6),1–7.Jordan,N.C.,Glutting,J.,Dyson,N.,Hassinger-Das,B.,&Irwin,C.(2012).Building kindergartners' number sense:A randomized controlled study.

Journal of Educational Psychology,104

(3),647–660.Jordan,N.C.,Glutting,J.,&Ramineni,C.(2008).A number sense assessment tool for identifying children at risk for mathematical difficulties.In A.Dowker (Ed.),

Mathematical difficulties:Psychology and intervention

(pp.45–58).San Diego,CA:Academic Press.Jordan,N.C.,Glutting,J.,&Ramineni,C.(2010).The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades.

Learning and Individual Differences,20

(2),82–88.Jordan,N.C.,&Hanich,L.B.(2000).Mathematical thinking in second-grade children with different forms of LD.

Journal of Learning Disabilities,33

(6),567–578.Jordan,N.C.,&Hanich,L.B.(2003).Characteristics of children with moderate mathematics deficiencies:A longitudinal perspective.

Learning Disabilities Research &Practice,18

(4),213–221.Jordan,N.C.,Hanich,L.B.,&Kaplan,D.(2003a).A longitudinal study of mathematical competencies in children with specific mathematics difficulties versus children with comorbid mathematics and reading difficulties.

Child Development,74

(3),834–850.Jordan,N.C.,Hanich,L.B.,&Kaplan,D.(2003b).Arithmetic fact mastery in young children:A longitudinal investigation.

Journal of Experimental Child Psychology,85

(2),103–119.Jordan,N.C.,Kaplan,D.,Oláh,L.,&Locuniak,M.N.(2006).Number sense growth in kindergarten:A longitudinal investigation of children at risk for mathematics difficulties.

Child Development,77

(1),153–175.Jordan,N.C.,Levine,S.C.,&Huttenlocher,J.(1994).Development of calculation abilities in middle-and low-income children after formal instruction in school.

Journal of Applied Developmental Psychology,15

(2),223–240.Jordan,N.C.,&Montani,T.O.(1997).Cognitive arithmetic and problem solving:A comparison of children with specific and general mathematics difficulties.

Journal of Learning Disabilities,30

(6),624–634.Kantowitz,B.H.,Roediger,B.H.,&Elmes,D.G.,(Eds).(2001).

Experimental psychology

:

Access to psychological research

(X.Y.Guo,et al.Trans).(p.55).Shanghai,China:East China Normal University Press.(Original work published 1997)[坎特威茨,B.H.,羅迪格,B.H.,埃爾姆斯,D.G.(主編).(2001).

實(shí)驗(yàn)心理學(xué)——掌握心理學(xué)的研究

(郭秀艷 等譯).(p.55).上海:華東師范大學(xué)出版社.]Kilpatrick,J.,Swafford,J.,&Findell,B.(Eds.).(2001).

Adding it up:Helping children learn mathematics

(pp.140–153).Washington,DC:National Academies Press.Landerl,K.,Bevan,A.,&Butterworth,B.(2004).Developmental dyscalculia and basic numerical capacities:A study of 8–9-year-old students.

Cognition,93

(2),99–125.Levine,S.C.,Jordan,N.C.,&Huttenlocher,J.(1992).Development of calculation abilities in young children.

Journal of Experimental Child Psychology,53

(1),72–103.Locuniak,M.N.,&Jordan,N.C.(2008).Using kindergarten number sense to predict calculation fluency in second grade.

Journal of Learning Disabilities,41

(5),451–459.Macmillan,N.A.(2002).Signal detection theory.In J.Wixted(Ed.),

Stevens’ handbook of experimental psychology (Vol.4):Methodology in experimental psychology

(3rd ed.,pp.43–90).New York:John Wiley &Sons,Inc.Malofeeva,E.,Day,J.,Saco,X.,Young,L.,&Ciancio,D.(2004).Construction and evaluation of a number sense test with head start children.

Journal of Educational Psychology,96

(4),648–659.Mazzocco,M.M.M.,&Thompson,R.E.(2005).Kindergarten predictors of math learning disability.

Learning Disabilities Research and Practice,20

(3),142–155.McNeil,N.M.,Fyfe,E.R.,&Dunwiddie,A.E.(2015).Arithmetic practice can be modified to promote understanding of mathematical equivalence.

Journal of Educational Psychology,107

(2),423–436.National Mathematics Advisory Panel.(2008).

Foundations for success:Final report of the National Mathematics Advisory Panel.

Washington,DC:United States Department of Education.Pellegrino,J.W.,&Goldman,S.R.(1987).Information processing and elementary mathematics.

Journal of Learning Disabilities,20

(1),23–32.Ramani,G.B.,Siegler,R.S.,&Hitti,A.(2012).Taking it to the classroom:Number board games as a small group learning activity.

Journal of Educational Psychology,104

(3),661–672.Reigosa-Crespo,V.,Valdés-Sosa,M.,Butterworth,B.,Estévez,N.,Rodríguez,M.,Santos,E.,...Lage,A.(2012).Basic numerical capacities and prevalence of developmental dyscalculia:The havana survey.

Developmental Psychology,48

(1),123–135.Rodic,M.,Zhou,X.L.,Tikhomirova,T.,Wei,W.,Malykh,S.,Ismatulina,V.,...Kovas,Y.(2015).Cross-cultural investigation into cognitive underpinnings of individual differences in early arithmetic.

Developmental Science,18

,165–174.Russell,R.L.,&Ginsburg,H.P.(1984).Cognitive analysis of children's mathematics difficulties.

Cognition and Instruction,1

(2),217–244.Seethaler,P.M.,&Fuchs,L.S.(2010).The predictive utility of kindergarten screening for math difficulty.

Exceptional Children,77

(1),37–59.

Sowder,J.(1992).Making sense of numbers in school

mathematics.In G.Leinhardt,R.Putman,&R.A.Hattrup(Eds.),

Analysis of arithmetic for mathematics teaching

(pp.1–51).Hillsdale,New Jersey:Lawrence Erlbaum Associates.Swanson,H.L.,&Beebe-Frankenberger,M.(2004).The relationship between working memory and mathematical problem solving in children at risk and not at risk for serious math difficulties.

Journal of Educational Psychology,96

(3),471–491.Zhao,Z.G.(2008).The study on the development of number sense in young children aged 3-6.

Psychological Development and Education,24

(4),8–12.[趙振國.(2008).3～6歲兒童數(shù)感發(fā)展的研究.

心理發(fā)展與教育,24

(4),8–12.]Zhou,G.D.,Mo,L.,&Wen,H.B.(2009).Representational patterns of numerical estimation and its development in children.

Psychological Development and Education,25

(4),21–29.[周廣東,莫雷,溫紅博.(2009).兒童數(shù)字估計(jì)的表征模式與發(fā)展.

心理發(fā)展與教育,25

(4),21–29.]Zhou,X.,Huang,J.,Zhao,Z.G.,&Yang Z.H.(2009).On development of 6-year-old children’s mathematical cognition.

Early Childhood Education (Educational Sciences),(11)

,35–39.[周欣,黃瑾,趙振國,楊宗華.(2009).大班兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展.

幼兒教育(教育科學(xué)),(11)

,35–39.]