寬淺河道瞬時(shí)源源項(xiàng)反問題及反演精度主要影響因子分析

寬淺河道瞬時(shí)源源項(xiàng)反問題及反演精度主要影響因子分析

吳一亞1,2,金文龍3,吳云波1,2,韓龍喜3

(1.江蘇省環(huán)境科學(xué)研究院,江蘇 南京210037; 2.江蘇省環(huán)境工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京210037;

3.河海大學(xué)環(huán)境學(xué)院,江蘇 南京210098)

摘要：根據(jù)寬淺河道的水動(dòng)力特性和可溶性污染物在河道內(nèi)的遷移轉(zhuǎn)化特征,建立了寬淺河道內(nèi)突發(fā)性瞬時(shí)源污染物排放位置及污染物排放量的數(shù)學(xué)反問題;采用微分進(jìn)化算法,給出了反問題的數(shù)學(xué)求解方法;構(gòu)造典型案例,利用瞬時(shí)源污染物濃度平面分布的理論解,對(duì)反問題求解方法進(jìn)行了驗(yàn)證;并采用情景分析方法,進(jìn)一步分析了事故應(yīng)急監(jiān)測(cè)點(diǎn)位、監(jiān)測(cè)頻次對(duì)污染源反演精度的影響。結(jié)果表明,反演精度依賴于監(jiān)測(cè)點(diǎn)位的數(shù)量、監(jiān)測(cè)頻次等影響因子,基于一定觀測(cè)數(shù)據(jù)、觀測(cè)精度的污染源的數(shù)學(xué)反演,可以為瞬時(shí)源強(qiáng)、發(fā)生位置的確定提供技術(shù)佐證。

關(guān)鍵詞：寬淺河道;瞬時(shí)源;源強(qiáng);反問題;反演精度;影響因子

基金項(xiàng)目：國(guó)家水體污染控制與治理科技重大專項(xiàng)(2012X07506-007)

作者簡(jiǎn)介:吳一亞(1990—),女,碩士,主要從事環(huán)境水力學(xué)研究。E-mail:wuyiya0915@126.com

中圖分類號(hào)：X522

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-6933(2015)05-0058-04

Abstract：According to the hydrodynamic characteristics of wide and shallow rivers and the transfer characteristics of soluble pollutants in rivers,a mathematical inverse problem about location and intensity of instantaneous pollution source in wide and shallow rivers is established. The solving method of this problem is given using differential evolution algorithm. A typical case is set out and the solving method is verified using the theoretical solution of concentration plane distribution of instantaneous pollution source. Based on the scene analysis method,further analysis is made to analyses the influence of monitoring sites and monitoring frequency on inversion accuracy of the pollution source. The results indicate that: the inversion accuracy depends on several influencing factors including the number of monitoring sites and monitoring frequency. The mathematical inverse problem of pollution source based on certain monitoring data and monitoring accuracy can provide technical support on determining the intensity and location of instantaneous pollution source.

收稿日期：(2014-11-05編輯：徐娟)

Inverse problem of instantaneous source in wide and shallow rivers and

analysis on main influencing factors of inversion accuracy

WU Yiya1,2,JIN Wenlong3,WU Yunbo1,2,HAN Longxi3

(1.JiangsuProvincialAcademyofEnvironmentalSciences,Nanjing210037,China;

2.JiangsuProvincialKeyLaboratoryofEnvironmentalEngineering,

Nanjing210037,China;

3.CollegeofEnvironment,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

Key words： wide and shallow rivers; instantaneous source; source intensity; inverse problem; inversion accuracy; influencing factor

近年來(lái),地表水突發(fā)污染事故頻頻發(fā)生,對(duì)于某些事故(如船舶運(yùn)輸化學(xué)品的泄漏),由于存在不確定性,很可能在事故初期無(wú)法確定污染源的發(fā)生位置以及污染物排放源強(qiáng)等基本參數(shù),從而給事故的預(yù)警預(yù)報(bào)和處置處理工作帶來(lái)困難。因此,科學(xué)、準(zhǔn)確地識(shí)別污染源信息是水污染事故預(yù)警及應(yīng)急處置的關(guān)鍵基礎(chǔ)工作。

水污染事故發(fā)生后,可通過事故發(fā)生后的水質(zhì)應(yīng)急監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)反推污染源信息,數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)為利用污染物時(shí)空分布的部分信息，反推出污染物遷移轉(zhuǎn)化相應(yīng)的源項(xiàng),在環(huán)境水力學(xué)學(xué)科中可歸納為源項(xiàng)識(shí)別的反問題[1]。該方面的研究正越來(lái)越受到研究者的廣泛關(guān)注,如:Akcelika等[2]采用變分有限元方法求解了對(duì)流擴(kuò)散輸運(yùn)的源項(xiàng)反演問題;Wang等[3]提出了多孔介質(zhì)流動(dòng)中的源項(xiàng)識(shí)別馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)模型;Cheng等[4]使用反向位置概率密度函數(shù)法和CCHE2D模型程序?qū)恿魑廴驹催M(jìn)行了識(shí)別;韓龍喜等[5]構(gòu)造并求解了河網(wǎng)地區(qū)帶約束條件的污染源控制反問題;陳媛華等[6]利用相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法對(duì)一維河道的單點(diǎn)瞬時(shí)排放源進(jìn)行了反演;朱嵩等[7]采用貝葉斯方法進(jìn)行了污染源識(shí)別和模型參數(shù)的反演研究;王澤文等[8]研究了流域中單個(gè)點(diǎn)污染源識(shí)別問題的唯一性、穩(wěn)定性和反演算法。近年來(lái),遺傳算法等現(xiàn)代優(yōu)化算法在求解源項(xiàng)反問題中得到應(yīng)用,閔濤等[9]將對(duì)流-擴(kuò)散方程源項(xiàng)識(shí)別反問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題,并用遺傳算法求解;韓龍喜等[10]以污水處理費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù),采用遺傳算法求解了帶約束條件的污染物排放量控制反問題;Jae等[11]利用遺傳算法建立區(qū)域污水處理最優(yōu)化的水質(zhì)管理模型。筆者所采用的微分進(jìn)化算法作為一種較新的優(yōu)化算法,具有算法簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、較強(qiáng)的全局搜索能力等優(yōu)點(diǎn),因此也逐漸開始被用于地表水污染源的識(shí)別。

總體而言,前人的研究主要集中于污染源排放位置已知情況下的污染源源強(qiáng)的控制和識(shí)別問題;缺少關(guān)于事故應(yīng)急水質(zhì)監(jiān)測(cè)方案(包括監(jiān)測(cè)點(diǎn)位布設(shè)數(shù)量、監(jiān)測(cè)頻次等)主要影響因子對(duì)源項(xiàng)反演精度的影響研究與探討。因此,筆者基于突發(fā)瞬時(shí)源在寬淺河道中的遷移轉(zhuǎn)化特征,依據(jù)事故下游的水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),構(gòu)造了瞬時(shí)源源項(xiàng)識(shí)別反問題;在反問題的求解方法上,運(yùn)用微分進(jìn)化算法,該方法作為一種較新的優(yōu)化算法,具有收斂速度快、可調(diào)參數(shù)少、計(jì)算精度高、穩(wěn)定性好的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),使用該方法對(duì)污染物排放位置和排放數(shù)量進(jìn)行了反演,并且探討了監(jiān)測(cè)方案(包括監(jiān)測(cè)點(diǎn)布設(shè)數(shù)量、監(jiān)測(cè)頻率)中各類監(jiān)測(cè)因子對(duì)反演結(jié)果精度的影響。研究結(jié)果將為更科學(xué)精確地識(shí)別污染源信息,并為事故應(yīng)急監(jiān)測(cè)預(yù)案的制定、優(yōu)化提供重要的技術(shù)參考;同時(shí),所應(yīng)用的反問題求解方法以及對(duì)于影響反演精度因子的考慮在地表水污染源的識(shí)別上具有重要意義。

1寬淺河道瞬時(shí)源遷移擴(kuò)散二維水質(zhì)模型

假定事故發(fā)生水域?yàn)楹恿鲗捝畋茸銐虼蟮乃^寬淺河道,不妨假定河道內(nèi)污染物的背景濃度值為0。假定在時(shí)間t=0時(shí)刻,在平面二維坐標(biāo)(xm,ym)處瞬時(shí)進(jìn)入水體的污染物質(zhì)量為M,則由此產(chǎn)生的污染物的濃度增量C隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律可用二維對(duì)流-擴(kuò)散方程來(lái)描述:

(1)

式中:ux、uy分別為水流在縱向、橫向上的流速分量;t為時(shí)間；Dx、Dy分別為污染物的縱向、橫向彌散系數(shù);K為污染物的降解系數(shù);Mδ(x-xm,y-ym,t)為源項(xiàng),其中M為瞬時(shí)源排放的污染物數(shù)量,xm,ym為點(diǎn)源在二維空間上的坐標(biāo),δ(·)為狄拉克函數(shù);C0為瞬時(shí)源初始濃度。

式(1)構(gòu)成了寬淺河道瞬時(shí)源二維水質(zhì)模擬分析的數(shù)學(xué)模型,即正問題,其理論解為

(2)

2源項(xiàng)反問題的構(gòu)造及數(shù)學(xué)求解方法

2.1寬淺河道瞬時(shí)源數(shù)學(xué)反問題構(gòu)造

在突發(fā)性水污染事故中,往往很難及時(shí)監(jiān)測(cè)到污染源的源強(qiáng)大小和污染源的位置,即此時(shí)式(1)中的M和(xm,ym)未知,因此無(wú)法采用水質(zhì)模型對(duì)事故引發(fā)的水質(zhì)影響進(jìn)行及時(shí)預(yù)警預(yù)報(bào)。為確定源項(xiàng),可在事故下游設(shè)置若干監(jiān)測(cè)點(diǎn),從而獲得一組污染物濃度的監(jiān)測(cè)資料,其數(shù)學(xué)描述為

(3)

式中:Cobs(xi,yi,tj)為第i個(gè)測(cè)點(diǎn)、第j個(gè)時(shí)序的污染物濃度監(jiān)測(cè)值;k為測(cè)點(diǎn)總數(shù);ni為第i個(gè)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)頻次總數(shù)。

通過上述污染物濃度的監(jiān)測(cè)值確定源強(qiáng)大小M和污染源位置(xm,ym),可構(gòu)成寬淺河道瞬時(shí)源源項(xiàng)識(shí)別反問題。假定S為由M和(xm,ym)構(gòu)成的待定向量函數(shù),將定解問題(1)對(duì)應(yīng)于S的解記為C(S,x,y,t),則上述反問題可轉(zhuǎn)換為如下優(yōu)化問題:

(4)

即以各監(jiān)測(cè)點(diǎn)不同監(jiān)測(cè)時(shí)間的監(jiān)測(cè)值與計(jì)算值之差的平方和最小為目標(biāo)函數(shù),計(jì)算滿足條件的最優(yōu)解S。

2.2源項(xiàng)反問題的求解方法——微分進(jìn)化算法

微分進(jìn)化算法應(yīng)用了“優(yōu)勝劣汰,適者生存”的自然進(jìn)化法則,屬于演化算法。微分進(jìn)化算法可以求解間斷系數(shù)的識(shí)別問題,包括偏微分方程反問題中的源項(xiàng)識(shí)別反問題、參數(shù)識(shí)別反問題和初始條件反問題等。微分進(jìn)化算法在求解偏微分方程反問題時(shí),基本上不依賴搜索空間的知識(shí)或其他輔助信息,而僅用特定的適應(yīng)性函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)個(gè)體,并在此基礎(chǔ)上驅(qū)動(dòng)演化,且對(duì)適應(yīng)性函數(shù)本身并沒有特別嚴(yán)格要求,因此它的應(yīng)用非常廣泛,尤其適合處理傳統(tǒng)優(yōu)化方法難以解決的高度復(fù)雜的非線性問題,具有智能型、多解性、全局優(yōu)化性、隨機(jī)性和穩(wěn)健性的特點(diǎn)。

與傳統(tǒng)演化算法相比,實(shí)現(xiàn)了種群的進(jìn)化,保留了結(jié)果的最優(yōu)性。

3污染源反問題算例及求解方法驗(yàn)證

如圖1所示,不妨假定寬淺河道研究區(qū)域長(zhǎng)3000m,寬150m,平均水深h=1.0m,平均流速u=0.65m/s,分散系數(shù)Dx=4.0m2/s,Dy=0.5m2/s。污染事故發(fā)生在xm=500m,ym=50m處,在t=0時(shí)刻瞬時(shí)事故排放污染物量M=2000kg,降解系數(shù)K=0.0001d-1。

圖1　寬淺河道污染源反演算例示意圖

監(jiān)測(cè)方案設(shè)定:不妨假定,在事故發(fā)生后第1200～3700s時(shí)間段進(jìn)行監(jiān)測(cè),監(jiān)測(cè)位置為A1(2000,40)、A2(2000,80)、A3(2000,120),監(jiān)測(cè)頻次為每隔500s監(jiān)測(cè)1次,每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均監(jiān)測(cè)6次。

(5)

參數(shù)取值:微分進(jìn)化算法種群規(guī)模20,交叉概率0.1;交叉因子0.5,最大進(jìn)化代數(shù)為500。用微分進(jìn)化算法程序進(jìn)行計(jì)算,反演結(jié)果見表1。

表1　源強(qiáng)大小及位置反演結(jié)果

反演結(jié)果表明,當(dāng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)直接由正問題的解析解得到,不附加誤差時(shí),反演結(jié)果與真實(shí)值相同;當(dāng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)帶有一定的誤差時(shí),反演結(jié)果存在一定誤差,但誤差很小,反演結(jié)果能正確反應(yīng)污染源排放的真實(shí)情況。由此可知,求解方法能準(zhǔn)確反演污染源的大小和位置。

4監(jiān)測(cè)方案對(duì)反演精度的影響

水污染事故發(fā)生后的污染源強(qiáng)的準(zhǔn)確反演,依賴于對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位水質(zhì)的準(zhǔn)確定量描述。因此,監(jiān)測(cè)方案(監(jiān)測(cè)點(diǎn)位數(shù)量、監(jiān)測(cè)頻次)對(duì)污染源的反演精度有重要影響。

4.1監(jiān)測(cè)點(diǎn)位數(shù)量對(duì)反演精度的影響

為獨(dú)立分析監(jiān)測(cè)點(diǎn)位布設(shè)數(shù)量對(duì)源強(qiáng)反演精度的影響,采用情景分析方法,假定在同樣的監(jiān)測(cè)起止時(shí)間(1200—3700s時(shí)間段)和監(jiān)測(cè)頻次(每隔500s監(jiān)測(cè)1次)的前提下,分別設(shè)置1個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位(A2(2000,80))、2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位(A1(2000,40)和A2(2000,80))及3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位(A1(2000,40)、A2(2000,80)、A3(2000,120))等3種工況,采用數(shù)值試驗(yàn),定量分析監(jiān)測(cè)點(diǎn)位布設(shè)數(shù)量對(duì)瞬時(shí)源的源強(qiáng)反演精度的影響。為描述問題簡(jiǎn)便計(jì),不妨不附加干擾。源強(qiáng)反演精度用相對(duì)誤差EM定量描述,源強(qiáng)位置反演精度用絕對(duì)誤差Ex,Ey描述。

不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)位布設(shè)數(shù)量對(duì)應(yīng)的源強(qiáng)反演精度如表2所示。

表2　不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)位數(shù)源強(qiáng)反演結(jié)果

由表2的反演結(jié)果可知,當(dāng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位只有1個(gè)時(shí),反演誤差很大,不能正確反映污染源的真實(shí)情況;當(dāng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位為2個(gè)或2個(gè)以上時(shí),反演結(jié)果與污染源的真實(shí)情況十分接近。

4.2監(jiān)測(cè)頻次對(duì)反演精度的影響

在同樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)位(不妨設(shè)為A1和A2)和監(jiān)測(cè)起止時(shí)間(1200～3600s)的前提下,分別假定監(jiān)測(cè)頻次為2、3、4、5、6次5種工況,不附加干擾,定量分析監(jiān)測(cè)頻次多少對(duì)反演精度的影響。結(jié)果見表3。

表3　每個(gè)測(cè)點(diǎn)不同監(jiān)測(cè)頻次的反演結(jié)果

反演結(jié)果表明,在設(shè)置2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位情況下,監(jiān)測(cè)頻次少于4時(shí),源強(qiáng)反演結(jié)果存在較大誤差,無(wú)法正確反演污染源排放污染物的真實(shí)情況;當(dāng)監(jiān)測(cè)頻次等于4時(shí),反演結(jié)果基本能反映真實(shí)情況;當(dāng)頻次大于4時(shí),反演結(jié)果較為準(zhǔn)確?？傮w而言,在監(jiān)測(cè)點(diǎn)位固定的情況下,監(jiān)測(cè)頻次越高,反演的精度越高,因此,在制定監(jiān)測(cè)方案時(shí),應(yīng)盡量提高監(jiān)測(cè)頻次,以保證反演結(jié)果的可靠性。

5結(jié)語(yǔ)

對(duì)于寬淺河道,基于平面二維水質(zhì)模型,構(gòu)造了污染源源強(qiáng)及位置的反問題,給出了反問題的數(shù)學(xué)求解方法,并對(duì)求解方法進(jìn)行了驗(yàn)證。數(shù)值試驗(yàn)研究表明,反演精度依賴于監(jiān)測(cè)點(diǎn)位的數(shù)量、監(jiān)測(cè)頻次等影響因子,基于一定觀測(cè)數(shù)據(jù)、觀測(cè)精度的污染源的數(shù)學(xué)反演,可以為瞬時(shí)源強(qiáng)發(fā)生位置的確定提供技術(shù)佐證。本文研究方法依據(jù)的正問題采用的是水質(zhì)模型的理論解析解,但同樣適用于基于水質(zhì)模型數(shù)值解法構(gòu)建的反問題。

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