縱彎轉(zhuǎn)換球面超聲振動聚焦系統(tǒng)諧振特性研究

第一作者李華男，博士，教授，1961年生

縱彎轉(zhuǎn)換球面超聲振動聚焦系統(tǒng)諧振特性研究

李華1，任坤2，殷振1，趙江江2，謝鷗1，呂自強(qiáng)2

(1.蘇州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇蘇州215001； 2.河南工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,鄭州450007)

摘要：對由縱向振動換能器與薄球殼組成的縱彎轉(zhuǎn)換超聲振動球面聚焦系統(tǒng)進(jìn)行理論、實(shí)驗(yàn)研究，揭示系統(tǒng)的振動特性。研究表明，系統(tǒng)具有完全與不完全兩種諧振模式。 在不完全諧振模式下系統(tǒng)具有整體諧振及局部共振兩種狀態(tài)，在兩種狀態(tài)下系統(tǒng)均可實(shí)現(xiàn)諧振。 基于研究結(jié)果，提出系統(tǒng)在不同諧振狀態(tài)下的設(shè)計(jì)方法。對新型聚焦系統(tǒng)設(shè)計(jì)、應(yīng)用具有重要實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：超聲；振動；聚焦；縱彎轉(zhuǎn)換；球殼

收稿日期：2014-02-19修改稿收到日期：2014-04-10

中圖分類號:TB532文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51206063,51476070)

Resonance features of a new ultrasonic vibration focusing system based on longitudinal-flexural vibration conversion

LIHua1,RENKun2,YINZhen1,ZHAOJiang-jiang2,XIEOu1,LüZi-qiang2(1. College of Mechanical Engineering， Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215001, China；2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Henan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)

Abstract:Here, a new ultrasonic vibration focusing system composed of a longitudinal vibration transducer and a thin spherical shell was proposed based on the principle of longitudinal-flexural vibration conversion. The resonance property of the new system was analyzed by means of the plate-shell theory, FEM method and tests. It was shown that the new system has two resonance patterns named complete resonance and incomplete resonance; under the incomplete resonance pattern, the system has two states of whole resonance and local resonance. The system design method was proposed for different resonance states based on the study results, it was of importance for the design and application of the new focusing system.

Key words:ultrasonic; vibration; focusing; longitudinal-flexural vibration conversion; spherical shell

超聲聚焦作為超聲振動技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域在工程、醫(yī)學(xué)等均有應(yīng)用[1-4]。實(shí)現(xiàn)超聲聚焦的方法主要有透鏡聚焦、反射聚焦及球面自聚焦三類。其中球面自聚焦方法因能實(shí)現(xiàn)大功率聚焦，應(yīng)用更廣。所用球面自振動聚焦系統(tǒng)為用壓電材料制成特定的球殼形狀，并沿厚度方向極化。在超聲電源驅(qū)動下沿厚度產(chǎn)生縱向振動，球面輻射振動能量經(jīng)介質(zhì)后在焦區(qū)實(shí)現(xiàn)聚焦[5]。由于球殼材料限制，輻射面振動幅值不能過大，由單一球殼難以實(shí)現(xiàn)大功率聚焦。另外，由于球殼縱振動與空氣聲阻抗差距較大，縱振動在空氣介質(zhì)中存在輻射效率低的問題。

圖1　縱彎轉(zhuǎn)換球面彎曲 振動聚焦系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意 Fig.1 The schematic of the longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

李華等[6]提出采用縱向振動換能器與球殼組成縱彎轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，見圖1。其中1為壓電陶瓷換能器，2為縱振動變幅桿，3為彎曲振動球殼。將縱向振動換能器的超聲振動轉(zhuǎn)換成球殼的彎曲振動，球殼將彎曲振動輻射出去并實(shí)現(xiàn)聚焦。在此系統(tǒng)中換能器與球殼可用聲學(xué)特性好的金屬材料制造，實(shí)現(xiàn)大功率超聲振動，增大球面輻射聲功率能力。由于彎曲振動波與氣體介質(zhì)聲阻抗匹配較好，系統(tǒng)可有更高的輻射效率。從應(yīng)用需要出發(fā)，縱振動變幅桿及球殼中心有孔，形成中心帶孔的縱彎轉(zhuǎn)換球殼聚焦系統(tǒng)。本文主要研究該系統(tǒng)諧振特性與設(shè)計(jì)方法。

1理論分析

由圖1看出，該系統(tǒng)可分解為縱向振動換能器與彎曲振動球殼兩部分，換能器前端與球殼連接。據(jù)超聲振動系統(tǒng)等效四端網(wǎng)絡(luò)理論[1]，系統(tǒng)等效阻抗網(wǎng)絡(luò)見圖2。

圖2　縱彎振動轉(zhuǎn)換組合系統(tǒng)的等效電路 Fig.2 The equivalent circuit of the longitudinal-flexural vibration conversion composite system

Xn=j(ωnMn-Kn/ωn)

(1)

當(dāng)系統(tǒng)處于諧振狀態(tài)時(shí)，其總等效阻抗Z為

(2)

式中：

1.1完全諧振狀態(tài)下系統(tǒng)諧振與設(shè)計(jì)

振動系統(tǒng)中球殼厚度遠(yuǎn)小于口徑及曲率半徑，為方便分析可簡化為無矩球殼。據(jù)無矩球殼彎曲振動理論[7]，球殼彎曲振動振型方程為

w(φ)=C[APn(φ)+BQn(φ)]

(3)

在滿足工程應(yīng)用需要基礎(chǔ)上，得近似表達(dá)式[8]為

(4)

(5)

式中：J0，Y0分別為零階第一、第二類貝塞爾函數(shù)。

考慮球殼外圓周自由及內(nèi)孔與換能器端面連接的邊界條件，設(shè)換能器前端振幅為W，可推得球殼彎曲振動速度方程為

(6)

由邊界條件

φ=φ0,(外圓周處)

得帶孔球殼的彎曲振動頻率方程為

n(n+1)[J2(knφi)Y1(knφ0)-Y2(knφi)J1(knφ0)]+

C(1+ν)[Y1(knφ0)J0(knφi)-J1(knφ0)Y0(knφi)]-

J1(knφ0)Y1(knφi)]=0

(7)

由式(7)可求出給定頻率下球殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

球殼處于諧振狀態(tài)時(shí)，式(1)中Xn=0。由式(2)知A1=0，即

(8)

式(8)即為縱振動換能器的諧振頻率方程。在給定諧振頻率情況下，由式(8)即可確定縱振換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)。該設(shè)計(jì)方法建立在系統(tǒng)中各部分均具有相同頻率前提下，系統(tǒng)諧振頻率與各組成部分諧振頻率相等。由于組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，本文提出的新型系統(tǒng)用數(shù)值方法設(shè)計(jì)，據(jù)應(yīng)用要求確定球殼的口徑、厚度、諧振頻率等參數(shù)，用式(7)完成球殼曲率半徑設(shè)計(jì)；再據(jù)諧振頻率及球殼連接結(jié)構(gòu)參數(shù)，用式(8)完成換能器設(shè)計(jì)。

1.2不完全諧振狀態(tài)下系統(tǒng)諧振與設(shè)計(jì)

實(shí)際應(yīng)用中很多情況下系統(tǒng)中球殼及換能器的諧振頻率不相等，系統(tǒng)諧振頻率與各組成部分的固有諧振頻率亦不相等，雖換能器與球殼不處于諧振狀態(tài)，但系統(tǒng)仍可處于諧振狀態(tài)。此種狀態(tài)即為不完全諧振狀態(tài)。據(jù)諧振時(shí)系統(tǒng)各部分振動狀態(tài)不同，不完全諧振狀態(tài)可分為整體諧振與局部共振兩種模式。

1.2.1整體諧振模式

由式(2)得

A1+jA2Xn=0

(9)

(10)

整個(gè)球殼的動能為

(11)

(12)

同理，以中心為參考點(diǎn)時(shí)圓盤的勢能可表示為

(13)

據(jù)薄板彎曲勢能密度定義，可推得圓盤彎曲振動時(shí)的總勢能為

(14)

(15)

由式(1)、(2)、(12)、(15)即可求出不完全諧振狀態(tài)下系統(tǒng)的整體諧振頻率方程。據(jù)諧振頻率方程，用數(shù)值解法可對整體諧振狀態(tài)進(jìn)行頻率設(shè)計(jì)。在整體諧振模式下，組合系統(tǒng)呈現(xiàn)為具有復(fù)雜形狀的振動系統(tǒng)特性，連接面位置對諧振頻率不造成影響。系統(tǒng)的諧振頻率與換能器及球殼的諧振頻率不同。

1.2.2局部共振模式

由圖1知，帶孔的階梯型換能器小直徑段截面積及球殼厚度與換能器大直徑段截面積差異較大。換能器前端與球殼內(nèi)孔的連接面積及換能器兩段直徑連接處面積均較小。連接面兩邊結(jié)構(gòu)呈弱耦合狀態(tài)，此時(shí)力學(xué)連續(xù)性條件不完全成立，不能視為連續(xù)的整體系統(tǒng)。在耦合點(diǎn)兩邊，當(dāng)小截面部分(稱B系統(tǒng))與大截面部分(稱A系統(tǒng))截面積相差較大時(shí)呈現(xiàn)不同特性。A系統(tǒng)呈現(xiàn)有負(fù)載系統(tǒng)的振動特性，耦合點(diǎn)耦合阻抗即為負(fù)載阻抗；B系統(tǒng)呈現(xiàn)一端固定振動系統(tǒng)在基礎(chǔ)振動激勵(lì)下的振動特性。在A、B系統(tǒng)固有頻率不同情況下，當(dāng)電源激勵(lì)頻率接近或等于系統(tǒng)B的諧振頻率時(shí)A系統(tǒng)只產(chǎn)生微小振動，但該微小振動通過耦合連接處激勵(lì)B系統(tǒng)，可使之處于諧振狀態(tài)，產(chǎn)生大的振動輸出。由于耦合連接處振幅較小，系統(tǒng)B近似于一端固定振動系統(tǒng)的諧振狀態(tài)，即為 “局部共振”[9]表現(xiàn)。此時(shí)系統(tǒng)的諧振頻率近似為 B系統(tǒng)在固定端邊界條件下的諧振頻率。本文所提聚焦系統(tǒng)在一組結(jié)構(gòu)參數(shù)下的有限元分析結(jié)果見圖3。

圖3　聚焦系統(tǒng)兩種振動狀態(tài) Fig.3 Two kinds of vibration state

由分析看出，不完全諧振是組合振動系統(tǒng)在各組成部分的諧振頻率不相同時(shí)所特有的振動特性。系統(tǒng)工作在不完全諧振狀態(tài)時(shí)各組成部分(如換能器、球殼)不一定工作在諧振狀態(tài)，但系統(tǒng)整體工作在諧振狀態(tài)。在系統(tǒng)輸出端可得到理想的振動功率輸出。據(jù)系統(tǒng)中各組成部分間結(jié)構(gòu)耦合主參數(shù)大小不同及耦合連接處狀態(tài)不同，不完全諧振可表現(xiàn)為系統(tǒng)的整體諧振模式或局部共振模式?？v振動及扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的主參數(shù)為橫截面面積或直徑；彎曲振動系統(tǒng)主參數(shù)為極慣性矩方向的截面高度或厚度。當(dāng)相鄰兩部分間結(jié)構(gòu)耦合主參數(shù)相差不大時(shí)(比值大于1/3)系統(tǒng)呈現(xiàn)整體諧振模式；當(dāng)結(jié)構(gòu)耦合主參數(shù)相差較大時(shí)(比值小于1/3)系統(tǒng)呈現(xiàn)局部共振模式[9]。兩種模式下系統(tǒng)諧振設(shè)計(jì)均可據(jù)式(1)、(2)、(12)、(15)采用數(shù)值方法完成。對局部共振模式，由于系統(tǒng)諧振頻率與B系統(tǒng)近似，故可通過單獨(dú)求解B系統(tǒng)頻率方程得到系統(tǒng)的諧振頻率。本文所提縱彎轉(zhuǎn)換球面聚焦系統(tǒng)，僅據(jù)球殼頻率方程即可求得系統(tǒng)的諧振頻率。

2球殼結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)諧振影響規(guī)律

2.1完全諧振情況下諧振頻率

由理論分析知，完全諧振理論上為系統(tǒng)的最佳工作狀態(tài)。在完全諧振時(shí)球殼及換能器的諧振頻率相同，只需據(jù)式(7)、(8)計(jì)算換能器、球殼結(jié)構(gòu)即可。完全諧振狀態(tài)下球殼曲率半徑對頻率影響的分析結(jié)果見圖4。分析條件為：球殼材料為鋁，口徑98 mm，內(nèi)孔直徑20 mm。圖4中F1F，F(xiàn)2F為一、二階諧振頻率的有限元分析結(jié)果；F1t，F(xiàn)2t為由式(7)理論計(jì)算的一、二階諧振頻率。在不同階次下，隨曲率半徑增大系統(tǒng)的諧振頻率變化規(guī)律亦不同，即曲率半徑增大，一階諧振頻率減小，二階諧振頻率增大，但各階諧振頻率變化均逐步趨向于各自定值。此定值即為相同口徑、厚度的平面圓盤各階彎曲振動諧振頻率。式(7)為建立在無矩球殼理論基礎(chǔ)上，球殼厚度增加時(shí)計(jì)算結(jié)果將產(chǎn)生誤差。厚度t=2 mm，t=5 mm兩種情況下諧振頻率隨曲率半徑變化有限元分析結(jié)果見圖5。由圖5看出，厚度變化對高階諧振頻率影響更大，對低階諧振頻率影響較小。

圖4　球殼曲率半徑對諧振頻率影響 Fig.4 The influence of spherical shell radius to resonance frequency

圖5　球殼厚度對諧振頻率的影響 Fig.5 The influence of spherical shell thickness to resonance frequency

與縱彎轉(zhuǎn)換圓盤彎曲振動系統(tǒng)相比，本文的縱彎轉(zhuǎn)換球面振動系統(tǒng)更具有一般意義。圓盤系統(tǒng)是球面系統(tǒng)的特殊情況。在其它結(jié)構(gòu)參數(shù)相同情況下，球面曲率半徑即為影響系統(tǒng)諧振頻率的主要因素。因此在完全諧振狀態(tài)下設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，除按前述辦法求數(shù)值解亦可利用圓盤彎曲振動方法設(shè)計(jì)，再據(jù)諧振頻率修正，近似得到球面曲率半徑。

2.2不完全諧振狀態(tài)下諧振頻率

設(shè)球殼材料為鋁，厚度2 mm，口徑98 mm。給定換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)，在60~160 mm范圍內(nèi)改變球殼曲率半徑情況下，換能器與球殼的諧振頻率不相等，系統(tǒng)大多處于不完全諧振狀態(tài)。用FEM分析可得在不同球殼曲率半徑下系統(tǒng)的諧振頻率，見圖6。其中圖6(a)為不同曲率半徑下前三階諧振頻率，圖6(b)為在各階諧振頻率下有限元分析所得球殼與換能器大端相對振幅。圖中FS，F(xiàn)K分別為系統(tǒng)及球殼的諧振頻率；FH為換能器縱振動諧振頻率；A為相對振幅；腳標(biāo)1、2、3為諧振頻率階數(shù)。

由圖6分析結(jié)果知，在不完全諧振狀態(tài)下系統(tǒng)的諧振頻率接近球殼的諧振頻率。前2階諧振頻率遠(yuǎn)離換能器諧振頻率，換能器大端僅有極微小振動，但球殼處于諧振狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的諧振頻率主要由球殼諧振頻率決定，即系統(tǒng)的局部共振諧振狀態(tài)；在第3階諧振頻率下系統(tǒng)諧振頻率與換能器諧振頻率相近，故此時(shí)系統(tǒng)諧振阻抗較前兩階小，系統(tǒng)輸出功率大。由于換能器大端振幅增大，球殼相對振幅減小?！熬植抗舱瘛睜顟B(tài)時(shí)，由于換能器大端振幅小，故球殼的相對振幅明顯大于整體諧振狀態(tài)。球殼曲率半徑較小時(shí)，兩者差距更明顯。隨球殼曲率半徑增大各階頻率下相對振幅趨近相同。

圖6　不完全諧振狀態(tài)下曲率半徑對諧振特性的影響 Fig.6 The frequency characteristic of incomplete resonance

3實(shí)驗(yàn)研究

本文按新結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)制做的縱彎轉(zhuǎn)換球面彎曲振動聚焦系統(tǒng)見圖7。其中球殼厚度2 mm, 曲率半徑90 mm，口徑75 mm、76 mm、77 mm三種。換能器大端直徑50 mm,小端直徑20 mm，長度為Lh，LX三種，見表1。

圖7　縱彎轉(zhuǎn)換球面聚焦系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu) Fig.7 The experiment structure of the longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

換能器編號后蓋板長度Lh/mm前端長度LX/mm118172203132233

圖8　縱彎轉(zhuǎn)換球面聚焦 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)測試方案 Fig.8 The test scheme of longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

對三種結(jié)構(gòu)換能器與三種口徑的球殼組成的振動系統(tǒng)分別通過阻抗分析儀、光纖振動位移測量儀測試振動頻率及振幅，獲得各種結(jié)構(gòu)的諧振頻率、諧振阻抗及球面彎曲振動振幅分布曲線，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見圖8，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)構(gòu)諧振頻率的有限元分析結(jié)果見表2。其中因連接螺紋損壞，3號換能器與口徑77 mm球殼組合系統(tǒng)未能完成測試。由表2看出,對不同的結(jié)構(gòu)組合，系統(tǒng)雖處于不完全諧振狀態(tài)，但均可較好實(shí)現(xiàn)縱彎轉(zhuǎn)換諧振。在頻率34 kHz附近諧振點(diǎn)，系統(tǒng)的諧振頻率接近球殼諧振頻率點(diǎn)，處于球殼局部共振狀態(tài)；諧振頻率為26 kHz時(shí)系統(tǒng)處于整體諧振狀態(tài)。兩種情況下系統(tǒng)均可較好實(shí)現(xiàn)諧振，但諧振阻抗有所不同。

表2　系統(tǒng)兩種諧振狀態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖9　球殼內(nèi)表面振動位移實(shí)驗(yàn)結(jié)果 Fig.9 The test result of the spherical shell inner surface vibration

圖9為2號換能器與口徑75 mm球殼組成系統(tǒng)在兩種諧振狀態(tài)下球殼內(nèi)表面沿經(jīng)線方向等距點(diǎn)測得的彎曲振動振幅分布。其中序號1為球殼內(nèi)孔邊緣，序號17為球殼外緣。兩種狀態(tài)有限元分析結(jié)果見圖10。由圖9、圖10看出，在兩種振動狀態(tài)下，系統(tǒng)均有較好的彎曲振動輸出。實(shí)驗(yàn)中用阻抗分析儀測得2號換能器固有頻率為31.44 kHz.。球殼固有頻率約在34 kHz附近。由此知，在局部共振狀態(tài)下，系統(tǒng)的諧振頻率為球殼的固有頻率。當(dāng)換能器固有頻率與該頻率接近時(shí)，系統(tǒng)有較低諧振阻抗及較大振動輸出，換能器與球殼連接處振幅較小，接近波節(jié)點(diǎn)，呈現(xiàn)局部共振特征；在系統(tǒng)整體諧振狀態(tài)下，系統(tǒng)諧振頻率與換能器及球殼固有頻率不同，換能器及球殼連接處振幅較大，處于波節(jié)、波腹間近波腹位置。由于各連接部位耦合阻尼較大，系統(tǒng)諧振阻抗較大。有限元分析及實(shí)驗(yàn)表明，與局部共振相比，整體諧振時(shí)換能器大端振動明顯增大。因?qū)嶒?yàn)所用電源與振動系統(tǒng)不匹配，在頻率高的諧振點(diǎn)未實(shí)現(xiàn)大功率驅(qū)動，故振幅偏小。對1號換能器，實(shí)驗(yàn)測出整體諧振振型、諧振頻率，但有限元分析卻未發(fā)現(xiàn)整體諧振頻率。其原因可能為換能器長度減小后整體諧振頻率升高，與局部共振的諧振頻率接近造成頻率點(diǎn)重疊所致。

圖10　球殼內(nèi)表面振動FEM分析結(jié)果 Fig.10 The FEM result of the spherical shell inner surface vibration

綜合分析知，完全、不完全諧振均為組合系統(tǒng)的諧振狀態(tài)，為不同結(jié)構(gòu)組合系統(tǒng)固有諧振特性反映。從理論上看，完全諧振狀態(tài)為最理想狀態(tài)；但實(shí)際結(jié)構(gòu)中由于種種原因影響，此狀態(tài)較不易實(shí)現(xiàn)。即使完全諧振狀態(tài)系統(tǒng)工作時(shí)由于負(fù)載作用導(dǎo)致諧振頻率偏移，系統(tǒng)亦處于不完全諧振狀態(tài)。因此不完全諧振為組合振動系統(tǒng)更普遍的諧振狀態(tài)。因兩種狀態(tài)均為系統(tǒng)諧振狀態(tài)，故完全、不完全諧振均有理想的振動能量轉(zhuǎn)換與輸出效果[9]。本文研究的聚焦系統(tǒng)采用不完全諧振結(jié)構(gòu)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明取得良好聚焦效果。組合系統(tǒng)的諧振阻抗主要受耦合連接結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與制造質(zhì)量影響，即使是完全諧振結(jié)構(gòu)，耦合連接增加時(shí)系統(tǒng)的諧振阻抗也會明顯增大。從設(shè)計(jì)角度看，完全諧振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)最成熟方便；不完全諧振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)則需用數(shù)值計(jì)算方法。在局部共振模式下系統(tǒng)設(shè)計(jì)也非常方便，且具有更強(qiáng)的使用靈活性、適用性及應(yīng)用意義。

4結(jié)論

當(dāng)球殼厚度較小時(shí)，可用無矩球殼理論分析球殼與縱向振動換能器組成的縱彎轉(zhuǎn)換聚焦系統(tǒng)諧振。該聚焦系統(tǒng)存在完全、不完全諧振兩種諧振模式。在不完全諧振模式下，本文提出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，存在整體諧振與局部共振兩種狀態(tài)。在整體諧振狀態(tài)下諧振頻率由換能器及球殼整體結(jié)構(gòu)決定；在局部共振狀態(tài)下諧振頻率主要取決于球殼固有頻率，不受換能器結(jié)構(gòu)影響；因換能器振幅較小，球殼彎曲振幅較大，相當(dāng)于僅球殼部分在諧振。 此現(xiàn)象對系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及應(yīng)用非常有用。

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