基于矩思想的Gamma分布形狀參數(shù)估計(jì)

陳　超， 孟昭為， 陳　群

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博 255049；

2.山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

基于矩思想的Gamma分布形狀參數(shù)估計(jì)

陳超1， 孟昭為1， 陳群2

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博 255049；

2.山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：Gamma分布的參數(shù)估計(jì)問題在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位.通過(guò)運(yùn)用矩思想成功地對(duì)Gamma分布的形狀參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并對(duì)所構(gòu)建的估計(jì)量的性質(zhì)進(jìn)行了理論分析.

關(guān)鍵詞：伽馬分布; 矩思想; 參數(shù)估計(jì)量

參數(shù)估計(jì)作為Gamma分布研究的核心問題,是長(zhǎng)期以來(lái)制約它們實(shí)際應(yīng)用的主要技術(shù)瓶頸,倍受各國(guó)學(xué)者關(guān)注.Frery等人在提出Gamma分布的同時(shí)也指出該分布的參數(shù)估計(jì)存在困難. 為了尋找一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，多年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的探索和研究.1924年，美國(guó)學(xué)者福斯特采用傳統(tǒng)的矩法估計(jì)參數(shù)，但此后他認(rèn)識(shí)到矩法估計(jì)誤差太大.1946年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家克里茨基，閔凱里采用最小模比公式進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，但由于總體最小模比系數(shù)無(wú)法確定，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了嚴(yán)重偏差. 1960年，前蘇聯(lián)學(xué)者阿列克謝夫推薦用三點(diǎn)法估計(jì)Gamma分布參數(shù)，但該法同樣受到個(gè)別觀測(cè)誤差的巨大影響，缺乏平差功能.2001年，臺(tái)灣清華大學(xué)教授TEA-YUAN HWANG利用樣本變異系數(shù)的獨(dú)立性對(duì)參數(shù)進(jìn)行了矩法估計(jì)，使估計(jì)精度進(jìn)一步提高.本文通過(guò)運(yùn)用矩思想，把參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為求解方程的形式，以期方便地解決原問題.

1參數(shù)估計(jì)的基本原理

設(shè)X1,…,Xn為Gamma分布密度函數(shù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為

其中，α>0是形狀參數(shù)，λ>0是尺度參數(shù)，且α和λ是未知的.

隨機(jī)變量X的k階矩為

則

可以得到

利用矩估計(jì)的思想[1]，很容易得到如下方程：

(1)

2一致性和漸近正態(tài)性

其中C為常數(shù).

證明把(1)式改寫為

(2)

令

θ1(t)=EXt

θ2(t)=EXt+2

令

g(x,y,z)=xy-z

g(t)=g(θ1(t)，θ2(t),θ3(t))

則

g(t)|t=α=g(θ1(α),θ2(α),θ3(α))=0

由文獻(xiàn)[3]可得

所以

同樣，可以得到

因此

(3)

由于g′(t)是連續(xù)的，那么存在一個(gè)正數(shù)δ使得

g′(t)>0,t∈[α-δ,α+δ]

由于g(α)=0,g(α-δ)<0,g(α+δ)>0,可以得到

根據(jù)g(x,y,z)的連續(xù)性，當(dāng)n足夠大時(shí)，可得

定理1證畢.

通過(guò)文獻(xiàn)[5]以及定理1的證明可知，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到

注意到:

由文獻(xiàn)[6]可知

因此，當(dāng)n→∞時(shí),

定理2證畢.

其中

3結(jié)束語(yǔ)

本文利用矩思想提出了求解Gamma分布參數(shù)估計(jì)的新方法.首先通過(guò)樣本矩估計(jì)總體矩得到了形狀參數(shù)α的估計(jì)量，并證明了其存在的唯一性.同時(shí)證明了所構(gòu)建的估計(jì)量的一致性和漸近正態(tài)性，進(jìn)一步驗(yàn)證了此種方法的合理性.利用這種方法可以將此類問題簡(jiǎn)單化.

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[5]BanardGA.Pivotalmodelsandthebayesiancontrovery[J].BulletinoftheInternationalStatisticalInstitute,1997,47, 543-551.

[6]WeerahandiS.Exactstatisticalmethodsfordataanalysis[J]BiometricalJournal, 2006,48, 149-156.

(編輯：郝秀清)

收稿日期：2014-05-22

作者簡(jiǎn)介：陳超，男，chenchao881014@126.com； 通信作者：孟昭為，男，mengzw@sdut.edu.cn

文章編號(hào)：1672-6197(2015)01-0032-03

中圖分類號(hào)：O213

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Estimating the shape parameter of
gamma distribution based on the moment thought

CHEN Chao1, MENG Zhao-wei1， CHEN Qun2

(1.School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;

2.School of Electrical and Electronic Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:The problem of parameter estimation with gamma distribution occupied a very important position in mathematics.In this paper, a new method to estimate the shape parameterwas given by using Gamma distribution moment nature. Moreover,the properties of the proposed estimator here werediscussed theoretically.

Key words:Gamma distribution; moment thought; parameter estimator