減速器直齒圓柱齒輪有限元模態(tài)分析?

王彥軍，魏 煒

（寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，福建 福安 355000）

0 引言

據(jù)統(tǒng)計(jì)，在減速器故障中，齒輪失效占整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)失效的60%以上，其中齒面損壞是齒輪失效的主要原因之一［1］。減速器在工作過(guò)程中，傳動(dòng)齒輪受到外部周期性載荷作用，在額定轉(zhuǎn)速內(nèi)有可能發(fā)生強(qiáng)烈的共振，動(dòng)應(yīng)力急劇增加，致使齒輪過(guò)早出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)疲勞和彎曲疲勞，最終引起輪齒折斷。在齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和計(jì)算中，靜力學(xué)計(jì)算不能完全滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，因此要對(duì)其做必要的模態(tài)分析，確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，獲得其固有頻率、振型等參數(shù)。通過(guò)模態(tài)分析找出結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的薄弱環(huán)節(jié)，避免齒輪在外部載荷作用下產(chǎn)生共振。本文應(yīng)用有限元軟件ANSYS Workbench對(duì)減速器標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪進(jìn)行模態(tài)分析。

1 齒輪模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析可以確定一個(gè)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，而固有頻率和振型是承受動(dòng)態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)。根據(jù)模態(tài)分析理論［2］，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中：M、C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；、和X分別為齒輪振動(dòng)加速度、速度和位移向量；f（t）為齒輪所受外界激勵(lì)列陣。在求齒輪自由振動(dòng)的模態(tài)參數(shù)時(shí)，阻尼對(duì)它們影響不大，因此，可以作為無(wú)阻尼振動(dòng)問(wèn)題來(lái)處理［3］，則具有n個(gè)自由度的無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為：

假設(shè)沒(méi)有外力作用，即f（t）＝0，則得：

設(shè)特解X＝φejωt（φ為自由響應(yīng)的幅值列陣，ω為固有頻率），代入式（3）得：

式（4）有非零解的充要條件是：

將式（5）展開(kāi)，可得到關(guān)于ω2的n次代數(shù)方程，該方程為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程，設(shè)該方程無(wú)重根，通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法解此方程可得n個(gè)無(wú)異正根，即為特征值，而ω1，ω2，…，ωn即為振動(dòng)頻率。將各階振動(dòng)頻率ωi（i＝1，2，…，n）分別代入式（4），得到關(guān)于φi的齊次線(xiàn)性方程組，解此方程組得n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的非零矢量φi的比例解，經(jīng)歸一化后對(duì)應(yīng)的矢量為：

φi即為對(duì)應(yīng)振動(dòng)頻率ωi下的模態(tài)，即為固有振型（也稱(chēng)主振型）。

2 直齒圓柱齒輪有限元模型的建立

根據(jù)減速器齒輪工作要求，確定齒輪的相關(guān)參數(shù)如下：齒頂圓直徑為Φ261mm、齒根圓直徑為Φ245 mm、齒數(shù)為87、齒厚為60mm，中間輻板厚度為22mm，齒輪材料為45鋼。

2.1 齒輪實(shí)體模型的建立

ANSYS Workbench軟件可以實(shí)現(xiàn)與外部CAD軟件的無(wú)縫對(duì)接，可以直接從外部CAD軟件讀取文件，而且具有雙向關(guān)聯(lián)性，即同時(shí)打開(kāi)其他外部CAD類(lèi)建模工具和ANSYS Workbench中的Design Modeler模塊，當(dāng)外部CAD中的模型發(fā)生變化時(shí)，Design Modeler中的模型只要刷新便可同步更新，同樣當(dāng)Design Modeler中的模型發(fā)生變化時(shí)也只要通過(guò)刷新，則CAD中的模型也可同步更新［4］。因此，在建模過(guò)程中，為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，降低誤差，可以直接在外部CAD軟件中建模，通過(guò)無(wú)縫對(duì)接導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中進(jìn)行有限元分析。本文應(yīng)用Pro/E軟件進(jìn)行直齒圓柱齒輪建模，導(dǎo)入ANSYS Workbench后進(jìn)行有限元模態(tài)分析，以充分發(fā)揮兩個(gè)軟件的長(zhǎng)處，更好滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

根據(jù)減速器齒輪參數(shù)及設(shè)計(jì)要求，在Pro/E軟件中對(duì)齒輪進(jìn)行全參數(shù)化建模，其具體過(guò)程為：①設(shè)置齒輪基本參數(shù)和關(guān)系式；②繪制基本圓（即根據(jù)齒輪關(guān)系式繪制基圓、齒根圓、齒頂圓和分度圓）；③創(chuàng)建漸開(kāi)線(xiàn)；④拉伸形成實(shí)體（包括齒根圓實(shí)體和齒輪的一個(gè)齒形實(shí)體）；⑤陣列輪齒；⑥繪制其他特征（包括齒輪的中間孔、鍵槽和小孔等）。完成后的齒輪三維參數(shù)化模型如圖1所示。將建好的參數(shù)化模型保存后，通過(guò)Pro/E與ANSYS Workbench無(wú)縫接口將模型導(dǎo)入，然后定義材料屬性、劃分網(wǎng)格、定義邊界條件并進(jìn)行求解。

2.2 齒輪模態(tài)分析前處理

在ANSYS Workbench中對(duì)齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，需要在模型導(dǎo)入軟件后，進(jìn)行必要的前處理，主要包括定義材料屬性、劃分網(wǎng)格、定義邊界條件等。

2.2.1 設(shè)置材料屬性

進(jìn)行模態(tài)分析需要根據(jù)齒輪工作要求設(shè)置材料屬性，包括彈性模量、泊松比和材料密度等參數(shù)。該齒輪為二級(jí)齒輪減速器的傳動(dòng)零件，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，齒輪材料選用45鋼，其彈性模量E＝2.06×1011Pa，泊松比μ＝0.3，材料密度ρ＝7 800kg/m3。

2.2.2 網(wǎng)格劃分

在模型創(chuàng)建后和分析計(jì)算前，有一項(xiàng)重要的工作就是對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分的好壞直接關(guān)系到求解的準(zhǔn)確度及求解的速度。在ANSYS Workbench中對(duì)于齒輪實(shí)體主要采用自由網(wǎng)格劃分，在劃分過(guò)程中設(shè)置單元的最大邊長(zhǎng)為3mm，細(xì)化網(wǎng)格，最后劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)為295 913，單元數(shù)為189 394。圖2為劃分網(wǎng)格后的齒輪有限元模型。

圖1 齒輪三維參數(shù)化實(shí)體模型

圖2 齒輪有限元模型

2.2.3 定義邊界條件

對(duì)齒輪進(jìn)行模態(tài)分析的目的是計(jì)算齒輪處于自由狀態(tài)時(shí)各階固有頻率和對(duì)應(yīng)的振型，所以不施加外載荷，只需對(duì)內(nèi)孔圓柱面進(jìn)行自由度約束，ANSYS Workbench中，通過(guò)Fixed Support并選取齒輪內(nèi)孔圓柱面即可完成約束條件的施加。

3 直齒圓柱齒輪模態(tài)分析

對(duì)于模態(tài)分析，階數(shù)越低影響越大，10階以后的高階模態(tài)對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)性能影響很小，通常提取前5階～10模態(tài)即可滿(mǎn)足齒輪精度設(shè)計(jì)要求［5］，本文提取齒輪的前6階固有頻率和振型。在ANSYS Workbench軟件中，將模態(tài)分析選項(xiàng)“Max Modes to Find”設(shè)置為6階，“Deformation”選擇Total選項(xiàng)，然后單擊工具欄中的Solve按鈕開(kāi)始求解，最終得到齒輪前6階固有頻率（見(jiàn)表1）和前6階模態(tài)振型圖（如圖3所示）。

表1 直齒圓柱齒輪前6階固有頻率

通過(guò)分析齒輪各階模態(tài)振型圖可知：1階和2階模態(tài)振型基本相同，分別為繞X軸與繞Y軸的彎曲變形，為一階彎曲振型；3階和4階模態(tài)在軸向產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，為扭振型，同時(shí)徑向產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)彎曲變形；5階模態(tài)主要表現(xiàn)為齒輪沿軸向收縮呈“傘”狀，為傘型振動(dòng)；6階模態(tài)在軸向基本無(wú)振動(dòng)，端面上為比較規(guī)則的圓周方向的多邊形振型，為圓周振。

圖3 直齒圓柱齒輪的前6階模態(tài)振型圖

齒輪模態(tài)分析中，振型大小只是一個(gè)相對(duì)的量值，僅表示出該階固有振動(dòng)情況下結(jié)構(gòu)上相對(duì)振動(dòng)的大小，并不是各點(diǎn)振動(dòng)的實(shí)際值，各階振動(dòng)的詳細(xì)情況可以查看各階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型圖［6］。通過(guò)齒輪系統(tǒng)的模態(tài)分析可知：在齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)避開(kāi)系統(tǒng)的固有頻率，從而避免齒輪在工作中發(fā)生共振而使傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生故障。

4 結(jié)論

（1）應(yīng)用Pro/E軟件建立了直齒圓柱齒輪的參數(shù)化模型，通過(guò)與ANSYS Workbench的無(wú)縫接口將其導(dǎo)入并進(jìn)行模態(tài)分析，得出齒輪的固有頻率和振型圖。

（2）利用ANSYS Workbench對(duì)齒輪三維參數(shù)化模型進(jìn)行模態(tài)分析，方法簡(jiǎn)便，可以直接看出齒輪設(shè)計(jì)能否滿(mǎn)足模態(tài)分析的要求。通過(guò)對(duì)齒輪的模態(tài)分析，設(shè)計(jì)人員可以直觀地了解齒輪各階固有特性，為后續(xù)動(dòng)態(tài)分析提供了依據(jù)。

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