兩個元的集合的自同構(gòu)

白阿拉坦高娃

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 基本概念

文中所提到的集合G是非空的有限集合.

定義1 元素的個數(shù)是有限整數(shù)的集合叫做有限集合.

定義2 集合G×G到G的映射叫做集合G的一個代數(shù)運算.

定義3 集合G到G的一一映射叫做G的一個一一變換.

定義4 一個有限集合的一個一一變換叫做一個置換.

定義5 集合G的一一變換覬是一個對于叫做乘法的代數(shù)運算來說的G的自同構(gòu)，假如對于坌a,b∈G來說，有

定義5有限集合G對于它的乘法來說作成群，假如

I.G對于乘法來說是閉的.

II.乘法適合結(jié)合律：坌a,b,c來說，有

命題3 恒等變換（1）對于G的任何代數(shù)運算莓來說都是G的自同構(gòu).

III'.乘法適合消去律：

若 ax=ax'，那么 x=x'

若ya=y'a，那么y=y'

2 兩個元的集合的自同構(gòu)

設(shè)集合G={a,b}

命題 1 集合G有兩個置換：（1），（12）即

(1):a→a,b→b（稱作恒等變換）

(12):a→b,b→a

下面看一下G的代數(shù)運算：

G×G={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}的每一個元選定對象有2種可能,a或b，所以G的代數(shù)運算共42=16個.

命題2 集合G有42=16個代數(shù)運算,具體如下：

證 對于坌x,y∈G來(1):x→x,y→y，

那么 x莓y→x莓y

即命題成立.

下面討論置換覬2=(12)對于哪個代數(shù)運算來說是自同構(gòu)：

對于莓1來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(x莓1y)=覬2(a)=b，但 覬2(x)莓1覬2(y)=a

對于莓2來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓2b)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓2覬2(b)=b莓2a=a

對于莓3來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓3a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓3覬2(a)=b莓3b=a

對于莓4來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓4a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓4覬2(a)=b莓4b=a

對于莓5來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓5b)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓5覬2(b)=b莓5a=a

對于莓6來說是自同構(gòu)，因為

對于莓7來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(b莓7a)=覬2(a)=b，但 覬2(b)莓7覬2(a)=a莓7b=a

對于莓8來說是自同構(gòu)，因為

對于莓9來說是自同構(gòu)，因為

對于莓10來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓10a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓10覬2(a)=b莓10b=a

對于莓11來說是自同構(gòu)，因為

對于莓12來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓12b)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓12覬2(b)=b莓10a=b

對于莓13來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓13a)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓13覬2(a)=b莓13b=b

對于莓14來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓14a)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓14覬2(a)=b莓14b=b

對于莓15來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(a莓10b)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓15覬2(b)=b莓15a=b

對于莓16來說不是自同構(gòu)，因為 覬2(b莓16b)=覬2(b)=a，但 覬2(b)莓16覬2(b)=a莓16a=b

所以有以下結(jié)論：

命題 4 G的一一變換 覬2=(12)對于代數(shù)運算莓6，莓8，莓9，莓11來說都是自同構(gòu).

下面討論G對于哪些代數(shù)運算做成群：

由消去律的定義可知代數(shù)運算莓1，莓2，莓3，莓4，莓5，莓12，莓13，莓14，莓15，莓16，不適合消去律，所以對于它們來說，G不是群；對于代數(shù)運算莓6，莓8，莓9，莓11來說 G沒有單位元，所以 G不是群.

代數(shù)運算莓7適合結(jié)合律，因為

代數(shù)運算莓10，適合結(jié)合律，因為

總結(jié)以上得此結(jié)論：

命題5 對于代數(shù)運算莓7，莓10來說，G都能做成群.

證明 I.G對于莓7和莓10來說都是閉的；II.莓7和莓10都適合結(jié)合律；

IV.對莓7和莓10來說G的單位元分別是b和a；V.對于莓7和莓10來說都有：a-1=a，b-1=b

若把兩個元的集合、群、群的同構(gòu)等徹底研究透了以后，利用這些群或集合可以討論其他的集合與群的性質(zhì).比較方法就是兩個集合（或群）之間建立一個同構(gòu)映射（或同態(tài)滿射），由已知群的性質(zhì)可以推出同構(gòu)（或同態(tài)）群的性質(zhì)，所以它是一個很好的工具.

〔1〕張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂本)[M].北京：高等教育出版社，1978.

〔2〕楊子胥.近世代數(shù)（2版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔3〕胡冠章.應(yīng)用近世代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999.