鋪層結構三維等效彈性常數(shù)研究

鋪層結構三維等效彈性常數(shù)研究

張青雷1,2唐玉良1

1.上海理工大學，上海，200093

2.上海電氣集團股份有限公司，上海，200070

摘要：從鋪層結構的三維宏觀彈性特性出發(fā)，利用三維層壓結構理論，獲得了復合層板的三維彈性常數(shù)的等效公式。以MATLAB為平臺，編寫模塊化程序，將層壓結構理論運用于某大型回轉機械平行鋪層和環(huán)狀鋪層結構的三維彈性常數(shù)等效中，輸入每個單層結構的彈性參數(shù)，該程序可自動生成部件等效剛度矩陣、柔度矩陣和等效彈性常數(shù)；結合APDL參數(shù)化語言建立有限元模型，對等效前后的結構進行模態(tài)分析比較。結果表明，等效前后部件前三階固有頻率的變化率都小于5%，說明該方法對此類復合鋪層結構的三維彈性常數(shù)等效是可行的。

關鍵詞：鋪層結構；三維等效彈性常數(shù)；有限元；模態(tài)分析

中圖分類號：TB302.3

收稿日期：2015-06-02

作者簡介：張青雷，男，1973年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生導師，上海電氣集團股份有限公司中央研究院數(shù)字化設計研究室主任、教授級高級工程師。研究方向為數(shù)字化設計與制造。取得發(fā)明專利、實用新型專利、軟件著作權23項。發(fā)表論文60余篇。唐玉良，男，1989年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生。

Research on Three Dimensional Equivalent Elastic Constant of Layer Structure

Zhang Qinglei1,2Tang Yuliang1

1.University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

2.Shanghai Electric Group Co., Ltd.,Shanghai,200070

Abstract:An equivalent formula of 3D elastic constants of composite laminates was presented herein according to three-dimensional macroscopic elastic properties of the laminated structure and the three-dimensional laminated structure theory. A modular program was also established on a MATLAB platform, this theory was applied in the equivalent of the plane ply and ring ply part of a large rotating mechanism. Inputting the elastic parameters of each single layer structure, the stiffness matrix, flexibility matrix and equivalent elastic constants can be automatically generated in the equivalent model. Then, the finite element model was built in ANSYS parametric language, the modal analysis result of the structure before and after equivalent was compared. The results show that the relative error is within 5%, which proves that the equivalent method used in this kind of layer structure is feasible.

Key words：layer structure; three dimensional equivalent elastic constant; finite element; modal analysis

0引言

層壓復合材料主要是指在電氣工業(yè)、航空及機械制造等領域中廣泛應用的一類纖維增強復合材料層壓結構[1-2]，包括由相同組分鋪層疊合而成的層壓桿、板、殼結構，或由不同組分鋪層疊合而成的層間混雜層壓結構[3]，目前，這類結構有限元分析中材料屬性的等效計算研究十分匱乏。隨著復合材料結構的日益復雜和有限元分析水平的不斷提高，復合材料的仿真分析逐漸由二維應力向三維應力分析過渡[4]。得到準確的材料性能參數(shù)是進行仿真分析的前提，但目前國內外復合材料力學性能表征體系一般只有單層板的材料性能數(shù)據，所以，研究復合材料的三維彈性參數(shù)對深入研究復合材料結構的力學特性和進行復合材料結構優(yōu)化設計具有重要意義。

在大型回轉機構的研究分析中，一些部件由多種材料層壓復合而成，結構十分復雜，對其進行有限元建模及材料屬性賦值時比較困難，關于這方面的理論研究也相對較少。文獻[5]采用超聲技術對電機鋪層結構彈性參數(shù)進行測定，但空氣會對測試結果帶來一系列偏差。文獻[6]采用Halpain-Tsai修正混合率公式對定子線棒結構的材料屬性進行等效，等效前后3階固有頻率最大超過10%。文獻[7]在對電機繞組的等效中確定了彈性模量，但無法計算出合適的泊松比，只給出了假設值。本文對三維層合板復合材料彈性常數(shù)等效方法進一步改進，通過編寫MATLAB程序，將其應用于某大型回轉機械平行鋪層和曲面鋪層部件的材料等效中，計算等效后的彈性常數(shù)，并分析比較等效前后結構的模態(tài)計算結果。

1三維彈性常數(shù)等效的理論分析

在工程實際中應用的復合材料層板，常采用多鋪層結構相同的子層板疊層。假設一個三維厚層壓板由M個交疊合的子層板組成；子層板又包含了N個正交各向異性的纖維增強復合材料單層，每個單層的鋪層方向可以是任意的，如圖1所示。

圖1　三維層板的結構

典型單元的宏觀有效力與應變的定義如下：

(1)

式中，σij為每一單層的應力；εij為每一單層的應變；V為典型單元整個厚度內的體積。

假定面內尺度是微小的，因此每一單層內的應力與應變在單元面內方向可以看成均勻分布的，即為常數(shù)。于是由式(1)可得

(2)

其中，φk表示第k單層的體積分數(shù)，由下式確定：

(3)

式中，tk、h分別為第k單層和子層的厚度。

根據應力和位移在單層界面上的連續(xù)條件，可以假定：

(4)

根據彈性力學中等效應力與應變的關系[8]，在層板中可得如下關系式：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

等效密度為

(14)

式中，ρi為各個單層的密度。

2數(shù)值計算及驗證

2.1平行鋪層部件的等效計算及驗證

對于非均衡層板和一般形式的層間混雜層板，可使用三維有效彈性常數(shù)的一般表達式。部件主要由不銹鋼、銅、中間墊層和外包裹層疊合而成，其端面結構如圖2a所示，整體視圖見圖2b，材料屬性參數(shù)見表1。對于部件中材料為各向同性的層板，在計算其柔度矩陣時，其剪切模量可以通過彈性模量E和泊松比ν用公式G=E/2(1+ν)求得。利用等效公式(6)～式(13)在MATLAB中編寫等效程序，將各組分的材料參數(shù)輸入程序，即可計算出等效后的剛度矩陣和柔度矩陣。

(a)部件截面(b)整體視圖 圖2　部件的結構

參數(shù)不銹鋼銅中間墊層外包裹層ρ(kg/m3)7205836018002350φ(%)10.2851.832.0535.84E11(GPa)20011710044.7E22(GPa)20011710043.3E33(GPa)20011710044.7G12(GPa)76.3445.3538.465.23G23(GPa)76.3445.3538.461.29G31(GPa)76.3445.3538.465.23ν120.310.290.30.29ν230.310.290.30.31ν130.310.290.30.31

依次列出該部件各組分的柔度矩陣和剛度矩陣，再利用等效公式編程求解，可得等效后的剛度矩陣為

等效后的柔度矩陣為

有效工程常數(shù)與柔度矩陣元素的關系[11]為

(15)

求解上式即可得到等效后的彈性參數(shù)，包括彈性模量，如表2所示。

表2　等效后部件的彈性參數(shù)

為了驗證該等效結果的可靠性，在ANSYS中建立部件有限元模型，利用等效前后的彈性參數(shù)進行模態(tài)分析比較。

部件的APDL建模過程如下：首先按照幾何約束關系及相應尺寸建立完整的部件軸線平面展開線，接著將該曲線離散成一系列的節(jié)點，并將節(jié)點編號，再通過二維到三維的坐標變換把這些節(jié)點還原到三維中，形成部件端部繞組的三維軸線，最后根據截面的形狀建立多個矩形塊，生成等效前的部件有限元模型，截面如圖3a所示，同時將截面只劃分成一個矩形，生成等效后的有限元模型，截面如圖3b所示。

(a) 等效前有限元(b) 等效后有限元 模型截面 模型截面 圖3　等效截面

將等效前后的模型賦上相應的彈性參數(shù)，對整個部件進行模態(tài)分析，振型如圖4所示，固有頻率如表3所示。

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)

(c)三階模態(tài) 圖4　平行部件等效前后的振型

階次固有頻率(Hz)等效前等效后等效前后變化率(%)14.1164.2262.67212.66813.0663.14325.38324.130-4.94

由表3中比較結果可知，等效前后部件前3階固有頻率的變化率中最大的為第3階，減小了4.94%，最小為第1階，增加了2.67%，所有變化率都在5%之內，變化較小，說明部件使用該等效方法是合理的。

2.2環(huán)形鋪層部件的等效計算及驗證

該環(huán)形部件的結構如圖5所示，主要由內層、中間層和外層組成，呈周期排列，材料參數(shù)如表4所示。對于此類的各項同性層板，等效三維彈性常數(shù)可以由式(6)～式(13)進一步簡化：

(16)

圖5　環(huán)形部件的結構

參數(shù)內層中間層外層ρ(kg/m3)332045001800φ(%)423622E(GPa)109427.669ν0.340.250.33

將各個組分的材料參數(shù)輸入等效程序中進行等效計算。得到等效后的參數(shù)E=222GPa，ν=0.32，ρ=2848kg/m3，將等效前后的彈性參數(shù)分別賦給等效前后的模型進行有限元分析，結果如圖6所示。

由表5中比較結果可知，等效前后部件前3階固有頻率的變化率中最大的為第3階，增大了4.3%；最小為第1階，增大了3.2%，變化均在合理范圍內，說明該方法對環(huán)形鋪層結構等效也是可行的。

3結論

(1)對復合材料三維等效彈性參數(shù)進行了理論推導，以某大型回轉機械的平行鋪層和環(huán)狀鋪層部件為例，對其彈性常數(shù)進行了等效計算和驗證。

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)

(c)三階模態(tài) 圖6　環(huán)形部件等效前后的振型

階次固有頻率(Hz)等效前等效后等效前后變化率(%)148.8350.403.22132.53137.363.63240.11251.224.3

(2)分別建立了平行和環(huán)狀鋪層部件等效前后的有限元模型，對比分析等效前后的3階固有頻率和振型，得到比傳統(tǒng)的如Halpain-Tsai修正公式更小的誤差，說明該等效方法更加合理。

(3)針對此類多層板復合的特殊結構，提出了各向異性和各向同性兩種鋪層結構的等效算法，并以MATLAB為平臺開發(fā)了模塊化程序，為該類型結構的等效計算提供參考。

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(編輯蘇衛(wèi)國)