飛機(jī)中性速度穩(wěn)定性PIλDμ控制律設(shè)計(jì)

王海濤，董新民，周倩，程建鋒，王哲

(1.空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710038;2.中航工業(yè)南京機(jī)電液壓工程研究中心，江蘇 南京211100;3.空軍西安飛行學(xué)院 理論訓(xùn)練系，陜西 西安710300)

0 引言

現(xiàn)代高性能戰(zhàn)斗機(jī)電傳控制系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)中，中性速度穩(wěn)定性控制律［1］已成為標(biāo)準(zhǔn)化配置。采用中性速度穩(wěn)定性控制律的主要目的是為了解決用桿力作為輸入信號(hào)時(shí)，輸入到比例式控制增穩(wěn)操縱系統(tǒng)中對(duì)駕駛員造成的配平困難。其核心優(yōu)點(diǎn)是可實(shí)現(xiàn)飛機(jī)自動(dòng)配平，從而大大簡(jiǎn)化飛行員操縱程序、降低勞動(dòng)強(qiáng)度，如單獨(dú)推油門實(shí)現(xiàn)平飛加速和松桿穩(wěn)定飛行等。最常見的實(shí)現(xiàn)形式是在桿力指令與過載反饋信號(hào)綜合處的下游插入“比例+積分”環(huán)節(jié)［1］，即整數(shù)階PI控制器。然而，傳統(tǒng)PID控制器存在控制效果差、對(duì)飛行狀態(tài)過于敏感、參數(shù)整定工作繁重等缺陷，限制了控制性能的提高;另外中性速度穩(wěn)定性沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)要求，PI控制器通常只作為控制增穩(wěn)控制律的一個(gè)動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)，其參數(shù)根據(jù)控制增穩(wěn)性能準(zhǔn)則確定后僅針對(duì)外部擾動(dòng)和自動(dòng)配平性能進(jìn)行有限的驗(yàn)證與改進(jìn)。這些都大大限制了中性速度穩(wěn)定性的性能。

分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎同時(shí)起源，它將微積分階次推廣到任意實(shí)數(shù)甚至復(fù)數(shù)，因其計(jì)算復(fù)雜且無明確物理意義，長(zhǎng)期局限于數(shù)學(xué)理論研究，而未得到廣泛應(yīng)用［2］。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，為分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供了可能，其中 Podlubny［3］提出的 PIλDμ控制器是分?jǐn)?shù)階控制應(yīng)用的一個(gè)里程碑。考慮到大氣粘性、壓縮性等也具有分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)，因而文獻(xiàn)［4-6］已將分?jǐn)?shù)階控制理論引入飛行控制，并已取得一定成效。

考慮到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器更多的控制自由度和更精確的頻域調(diào)整能力，本文將設(shè)計(jì)PIλ控制器，對(duì)傳統(tǒng)PI控制器實(shí)現(xiàn)中性速度穩(wěn)定性的不足加以改進(jìn)。

1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

分?jǐn)?shù)階微積分的定義方法很多，本文介紹兩種適用于控制應(yīng)用的定義方法［7］。

(1)Caputo定義為:

式中:α =m+r，m 為整數(shù)，0 ＜ r≤1;Γ(z)為伽馬函數(shù)，是階乘n!的推廣。對(duì)式(1)進(jìn)行拉氏變換得:

若f(k)(0)=0，則式(2)中的和式部分可以忽略。Caputo定義使Laplace變換更為簡(jiǎn)潔，便于分?jǐn)?shù)階微分方程的求解。

由定義(1)可知，連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)上的分?jǐn)?shù)階微分不是求該點(diǎn)處的極限，而是與從初始時(shí)刻到該點(diǎn)的所有時(shí)刻的函數(shù)值有關(guān)，因此分?jǐn)?shù)階微積分具有較強(qiáng)的記憶性，這是分?jǐn)?shù)階微積分異于整數(shù)階微積分的最大優(yōu)點(diǎn)。

(2)Grunwald-Letnikov(G-L)定義為:

依此定義可推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階微分近似計(jì)算公式:

當(dāng)步長(zhǎng)h足夠小時(shí)，式(5)即可較為準(zhǔn)確地近似函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分。G-L定義可直接用于分?jǐn)?shù)階微積分的離散化和數(shù)值計(jì)算。

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器原理與實(shí)現(xiàn)

2.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ與整數(shù)階PID的關(guān)系

由Caputo定義可知，零初始條件下的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器［2］傳遞函數(shù)可表示為:

式中:λ，μ＞0為任意實(shí)數(shù)。與整數(shù)階PID控制器相比，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的積分與微分項(xiàng)階次可變，即將整數(shù)階PID控制器推廣為無限維“空間”，二者之間的關(guān)系如圖1［7］所示。

圖1 PIλDμ階次取值平面Fig.1 Plane of the order value of PIλDμ

由圖可知，分?jǐn)?shù)階PIλDμ取值空間為整個(gè)平面，而整數(shù)階PID只是其特例。由于取值空間的大大擴(kuò)展，使分?jǐn)?shù)階PIλDμ調(diào)節(jié)自由度更多，為獲得更佳的控制效能帶來了可能性［2］。

從頻域特性來看，整數(shù)階PID只能使系統(tǒng)的幅頻曲線斜率以20 dB/dec(分貝/十倍頻程)的整數(shù)倍變化，而分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr的幅頻曲線斜率為20r dB/dec(r為任意實(shí)數(shù))，因此分?jǐn)?shù)階PIλDμ對(duì)系統(tǒng)幅相特性的調(diào)整更加靈活精細(xì)。

2.2 分?jǐn)?shù)階微積分算子sr的頻域近似擬合

目前現(xiàn)有計(jì)算工具無法直接進(jìn)行分?jǐn)?shù)階運(yùn)算，因此用整數(shù)階系統(tǒng)近似擬合分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)成為折中的研究思路。方法之一是利用G-L定義，直接進(jìn)行離散化，該方法適用于數(shù)值仿真，但迭代計(jì)算量與擬合精度的矛盾往往難以調(diào)和。因此本文以Caputo定義為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)Oustaloup頻域擬合算法［7］進(jìn)行研究與改進(jìn)。

Oustaloup算法［8］的實(shí)質(zhì)是用一組串聯(lián)的整數(shù)階濾波器在選定的頻段內(nèi)對(duì)分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr進(jìn)行近似擬合，其對(duì)任意時(shí)間函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)階微積分相當(dāng)于f(t)經(jīng)該組濾波器后的輸出0Dαtf(t)，算法原理如圖2所示。

圖2 Oustaloup算法功能示意圖Fig.2 Function of the Oustaloup algorithm

Oustaloup算法對(duì)分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr的頻域近似擬合原理如圖3［8］所示。

圖3 Oustaloup算法的近似擬合原理Fig.3 Principle of the approximate fitting function of the Oustaloup algorithm

由圖3可知，Oustaloup算法的基本思路是合理選取各級(jí)濾波器的交接頻率ω'i和ωi，以使整體濾波器的頻域特性近似擬合理想分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr。因而假定選定的擬合頻率段為(ωb，ωh)，則Oustaloup算法的整數(shù)階多級(jí)濾波器傳遞函數(shù)模型可表示為:

其中ωbωh=1，經(jīng)推導(dǎo)得各級(jí)濾波器交接頻率和增益值為:

式中:r為擬合分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr的階次;N為濾波器級(jí)數(shù)。這種多級(jí)濾波器串聯(lián)結(jié)構(gòu)，對(duì)擾動(dòng)具有很強(qiáng)的抑制作用。通常，N≥5時(shí)即可保證較好的擬合效果，綜合復(fù)雜度考慮，本文選取N=5。

2.3 分?jǐn)?shù)階微分算子sr的仿真實(shí)現(xiàn)

本文在Simulink環(huán)境下，對(duì)上述算法進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)了任意頻段的精確擬合，并從時(shí)域輸出響應(yīng)和頻域特性兩個(gè)方面，將所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr模塊與Simulink的積分模塊進(jìn)行了仿真對(duì)比分析，其結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 Oustaloup微積分模塊的時(shí)域輸出特性Fig.4 Time field output characteristics of the Oustaloup calculus module

圖5 Oustaloup微積分模塊的頻域輸出特性Fig.5 Frequency field output characteristics of the Oustaloup calculus module

圖4 與圖5中，擬合頻率段均為(ωb=10－5Hz，ωh=105Hz)。由此可知，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階sr模塊，當(dāng)r=－1時(shí)積分效果與Simulink積分模塊近乎完全相同;在選定的頻域段內(nèi)，頻域特性與理想分?jǐn)?shù)階Laplace算子sr基本一致。即具有較好的時(shí)域和頻域特性，進(jìn)而可方便地實(shí)現(xiàn)PIλDμ控制器。

3 飛機(jī)中性速度穩(wěn)定性PIλ控制器設(shè)計(jì)

本文將分?jǐn)?shù)階PIλ控制器替換傳統(tǒng)PI控制器應(yīng)用于飛機(jī)中性速度穩(wěn)定性控制律的設(shè)計(jì)。為便于對(duì)比分析，本文采用文獻(xiàn)［9］所述的F-16飛機(jī)及其電傳控制律仿真模型為控制對(duì)象。假定初始狀態(tài)為巡航，高度為3 000 m，空速為260 m/s。針對(duì)縱向小擾動(dòng)飛機(jī)模型，引入分?jǐn)?shù)階PIλ控制器后，升降舵偏角δe的控制律為:

為對(duì)比分析PIλ控制器與PI控制器的優(yōu)劣，使kq=0.334，kα=0.5，二者完全相同，僅根據(jù)控制增穩(wěn)性能的要求對(duì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器進(jìn)行調(diào)參，其結(jié)果為:

3.1 PIλ控制器的控制增穩(wěn)性能

中性速度穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)的前提是滿足控制增穩(wěn)性能要求。對(duì)于Δnz，c=1的法向過載指令，兩種控制器下的飛機(jī)法向過載短周期響應(yīng)過程如圖6所示。

圖6 飛機(jī)法向過載響應(yīng)過程Fig.6 Response of aircraft normal load

由圖6可知，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的控制增穩(wěn)效果與原整數(shù)階PI控制器幾乎相同，完全滿足控制增穩(wěn)性能標(biāo)準(zhǔn)要求。

3.2 PIλ控制器的自動(dòng)配平性能

為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的自動(dòng)配平性能，采用作用時(shí)間為1～2 s，幅值為1°的方波信號(hào)模擬陣風(fēng)造成的迎角擾動(dòng)，擾動(dòng)前后的法向過載和迎角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖7所示。

圖7 PIλ控制器的自動(dòng)配平性能Fig.7 Automatic trimming performance of the PIλ controller

由圖7可知，兩種控制器對(duì)于陣風(fēng)造成的迎角擾動(dòng)均可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配平，但分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的自動(dòng)配平性能較整數(shù)階PI控制器有較大提高，其法向過載擾動(dòng)峰值下降了25%。因此，當(dāng)飛機(jī)受誤操縱或氣流擾動(dòng)擾動(dòng)后，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器可使飛機(jī)迅速自動(dòng)配平，大大降低飛行員的勞動(dòng)強(qiáng)度。

3.3 PIλ控制器的平飛加速性能

為驗(yàn)證單獨(dú)操縱油門時(shí)的平飛加速性能，始終保持法向過載指令為0，油門推力指令增大13%時(shí)，兩種控制器下的飛機(jī)速度、高度和法向過載的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖8所示。

圖8 飛機(jī)平飛加速性能Fig.8 Level flight acceleration performance of the aircraft

由此可知，單獨(dú)增大油門推力指令而不進(jìn)行推桿操縱時(shí)，兩種控制器均可實(shí)現(xiàn)平飛加速，但相比PI控制器，PIλ控制器使飛機(jī)高度降低更少，法向過載振蕩更小，即具有更優(yōu)的平飛加速性能。因此，PIλ控制器可大大簡(jiǎn)化飛機(jī)平飛加減速時(shí)的操縱程序，減輕飛行員的操縱負(fù)擔(dān)。

4 結(jié)束語

本文研究了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的理論基礎(chǔ)、近似擬合方法，并進(jìn)行了仿真實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而用于改進(jìn)飛機(jī)中性速度穩(wěn)定性控制律的設(shè)計(jì)，取得了較好的效果。分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的研究與應(yīng)用還處于剛剛起步階段，基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的PIλDμ控制器就已經(jīng)顯示了良好的應(yīng)用前景，并取得了較大進(jìn)展。但由于起步較晚，分?jǐn)?shù)階控制的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)、分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)建模以及分?jǐn)?shù)階控制方法等領(lǐng)域還有諸多空白，需要今后開展大量的研究與應(yīng)用探索。

［1］ 徐鑫福.飛機(jī)飛行操縱系統(tǒng)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1989:424.

［2］ 朱呈祥，鄒云.分?jǐn)?shù)階控制研究綜述［J］.控制與決策，2009，24(2):161-169.

［3］ Podlubny I.Fractional-order systems and PIλDμcontrollers［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，1999，44(1):208-214.

［4］ 王飛，雷虎民.基于分?jǐn)?shù)階微積分PDμ比例導(dǎo)引制導(dǎo)規(guī)律［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27(1):126-129.

［5］ 張邦楚，王少鋒，韓子鵬，等.飛航導(dǎo)彈分?jǐn)?shù)階PID控制及其數(shù)字實(shí)現(xiàn)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2005，26(5):653-656.

［6］ 王海濤，董新民，王建剛.分?jǐn)?shù)階控制理論及其在飛機(jī)俯仰控制中的應(yīng)用［J］.飛行力學(xué)，2011，29(5):44-48.

［7］ 薛定宇.控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)［M］.第二版.北京:清華大學(xué)出版社，2006.

［8］ Oustaloup A，Levron F，Mathieu B，et al.Frequency-band complex noninteger differentiator:characterization and synthesis［J］.IEEE Transaction on Circuit and Systems-I:Fundamental Theory and Applications，2000，47(1):25-39.

［9］ Nguyen L T，Ogburn M E，Gilbert W P，et al.Simulator study of stall/post-stall characteristics of a fighter airplane with relaxed longitudinal static stability［R］.NASA Technical Paper 1538，Washington D C:NASA，1979.