擺桿和擺桿座質(zhì)量對復(fù)擺實驗的影響

段益峰，秦麗霞，于建勇

(中國礦業(yè)大學(xué)，江蘇徐州 221116)

復(fù)擺又稱為物理擺，是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下作微小擺動的動力運動體系。通過對復(fù)擺物理模型的分析，可以用來測量重力加速度和轉(zhuǎn)動慣量以及驗證平行軸定理等等［1-3］。復(fù)擺的結(jié)構(gòu)形式有多種，圖1a～c圖3所示是3種常見的結(jié)構(gòu)形式不同的復(fù)擺。

圖1 復(fù)擺示意圖

如圖1(a)所示，剛體繞固定軸O在豎直平面內(nèi)作左右擺動，G是該物體的質(zhì)心，與軸O的距離為h，θ為其擺動角度。若規(guī)定右轉(zhuǎn)角為正，此時剛體所受力矩與角位移方向相反，即有

又據(jù)轉(zhuǎn)動定律，該復(fù)擺又有

其中I為該物體轉(zhuǎn)動慣量。由公式(1)和(2)可得

其中ω2=。若θ很小時(θ在5°以內(nèi))近似有

此方程說明該復(fù)擺在小角度下作簡諧振動，該復(fù)擺振動周期為

利用平行軸定理，設(shè)IG為轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心且與O軸平行時的轉(zhuǎn)動慣量，則有

因此，有

根據(jù)公式(7)可測重力加速度。

1 復(fù)擺為固定剛體時的實驗方案

對于固定的剛體而言，IG是固定的，因而測量重力加速度時，只需改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。設(shè)質(zhì)心離O軸的距離分別為h1和h2，對應(yīng)周期分別為T1和T2，為使計算簡化，取h2=2h1，則

圖2 復(fù)擺裝置

測量兩組數(shù)據(jù)，即可求出重力加速度值。如圖1a所示裝置，如果擺桿為輕質(zhì)擺桿，質(zhì)量相對擺錘可以忽略，則復(fù)擺質(zhì)心始終在擺錘質(zhì)心，只需要改變擺錘位置，就可以改變質(zhì)心到復(fù)擺轉(zhuǎn)軸的距離，則公式(8)顯然成立。如圖1b所示裝置，通過刀刃懸掛的復(fù)擺，可以通過改變刀刃的懸掛位置，改變復(fù)擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離，在改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離的過程中，復(fù)擺是一個固定剛體，其相對過質(zhì)心且平行于懸掛點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是固定值，因此公式(8)也成立［4］，可以用來測量重力加速度。

2 非固定剛體的復(fù)擺裝置的實驗方案

如圖1a，如果擺桿質(zhì)量不能忽略，復(fù)擺質(zhì)心位置由擺桿和擺錘共同決定，對擺桿和擺錘共同組成的剛體并非固定剛體，則公式(8)并不成立［5-6］。如圖2所示的復(fù)擺裝置，擺桿為鐵質(zhì)擺桿，擺桿質(zhì)量ml=620 g。轉(zhuǎn)軸處采用擺桿座固定擺桿，擺桿可在擺桿座內(nèi)滑動以調(diào)節(jié)剛體重心的高度，為防止生銹擺桿座采用鋼材制作，擺桿座質(zhì)量mo=60 g，擺桿上還可以安裝可調(diào)節(jié)位置的擺錘，通過調(diào)節(jié)擺桿座和擺錘的位置可以改變復(fù)擺的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。在本裝置中，移動擺桿座和擺錘的位置，則復(fù)擺就不是固定剛體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心且與O軸平行時復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量IG將隨著擺桿座和擺錘移動而改變，公式(8)不再成立。因此重新設(shè)計實驗方案如下:

由于擺桿質(zhì)量分布均勻，對于勻質(zhì)擺桿，其質(zhì)心位于擺桿中心。擺桿座的存在使質(zhì)心位置發(fā)生改變，若在擺桿上安裝一個擺錘，擺錘質(zhì)量mo與擺桿座質(zhì)量ma相等，均為60 g，若令擺桿座和擺錘相對擺桿中心對稱安置，如圖1c，則復(fù)擺系統(tǒng)質(zhì)心仍在擺桿中心，如此問題可以簡化。

根據(jù)平行軸定律可知，復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量

其中IG為包括擺桿座、擺桿和擺錘三者相對過各自質(zhì)心且與O軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，ml為擺桿質(zhì)量，ma為擺錘質(zhì)量，h為擺桿中心到擺桿座中心的距離。

將公式(9)代入(5)得復(fù)擺振動周期為

其中M=m0+ml+ma為擺桿座、擺桿和擺錘的總質(zhì)量，即復(fù)擺的總質(zhì)量。

使擺桿做微小擺動(擺角θ在5°以內(nèi))，用多功能微秒計測出10個周期的時間Δt10(s)，然后，保持?jǐn)[桿座和擺錘相對擺桿中心對稱，移動擺桿座和擺錘改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離h，并測出擺桿擺動10個周期的時間，測量多組數(shù)據(jù)，然后計算出周期，利用公式(10)即可求出重力加速度的值，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示［7-8］。

表1 測復(fù)擺的振動周期

由公式10變換得線性關(guān)系式

h2=，經(jīng)過線性擬合得

h2=0.2136T2h － 0.0287 則 g=0.2136=9.800037027 m/s2，實驗結(jié)果合理。

3 結(jié) 論

復(fù)擺實驗裝置結(jié)構(gòu)不同，所依據(jù)的原理就不同，要充分考慮到復(fù)擺各部分在剛體定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量對測量的影響。本文中，針對擺桿座和擺桿質(zhì)量都較大的情況，分析了擺桿座和擺桿對實驗的影響，提出了利用現(xiàn)有實驗裝置測量重力加速度的優(yōu)化方案，并利用該方案進(jìn)行了測量，實驗結(jié)果合理。

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