簡約不簡單

（浙江省寧波市第二中學(xué)315010）

簡約不簡單

李建明（浙江省寧波市第二中學(xué)315010）

在高三復(fù)習(xí)中，高考真題有著不可取代的作用，但是，如何用好高考真題，發(fā)揮真題的作用，讓真題的潛能被完全激發(fā)，一些教師采用一題多解，一些教師采用一題多變，可謂是“八仙過海，各顯神通”。但是，無論采用什么方法，找到題目背后的本源和知識生長點(diǎn)，才是利用高考真題的關(guān)鍵，“知一題而通一類”，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，構(gòu)建理性思維、形成清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，才能事半功倍。本文試以一道高考真題為例進(jìn)行剖析。

考題展示

解法一（解析法）

解：設(shè)B1（a，0），B2（0，b），P（a，b），O（x，y）

學(xué)生在嘗試解此題的時(shí)候，絕大多數(shù)能想到應(yīng)用該方法，但是真的能理清幾個模長之間關(guān)系的學(xué)生少之又少。已知三個模的坐標(biāo)形式和要求的模的坐標(biāo)形式，其實(shí)是四元關(guān)系，那么要求的模能不能用已知的模來表示呢？我們可以發(fā)現(xiàn)：這樣的關(guān)系就能得到

實(shí)踐中，也有向量功底深厚的學(xué)生給出了如下解法：

解法二（基向量法）

這兩種解法對于學(xué)生來說都可以接受，平常的教學(xué)也是根據(jù)向量垂直用坐標(biāo)系或者選擇適當(dāng)?shù)幕?。如果此題的剖析到此為止，那就只完成了一題多解，但是，我們真的找到了此題的本源嗎？我們真的找到了讓學(xué)生的知識和能力增長的生長點(diǎn)嗎？

對比兩種解法我們會發(fā)現(xiàn)其實(shí)解法一和解法二都出現(xiàn)了一個式子，分析解法，發(fā)現(xiàn)此等式是解決本題的一個關(guān)鍵，也是本題的一個大背景所在，那么，這是一個必然還是一種巧合，此結(jié)論是否具有普遍性？

定理：平面內(nèi)任意一點(diǎn)到矩形兩組相對頂點(diǎn)距離的平方和相等。

證明：設(shè)矩形ABCD的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a，b），（a，-b），（-a，-b），（-a，b）

平面上任意點(diǎn)P（x，y），則

即|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2，得證。

通過發(fā)掘，我們找到了此題的一個本源，也是此題的一個生長點(diǎn)，學(xué)生通過探究此題，思維上得到了發(fā)展，繼續(xù)引導(dǎo)，由于本題的本源是上述定理。讓知識繼續(xù)生長，在這個定理的背景下，能否將條件一般化呢？

推廣一：

至此，學(xué)生的思維活動也進(jìn)入了一個高潮，思維的活躍性被高度激發(fā)，而真題的價(jià)值也被充分地挖掘。用真題，不是為了解題，其最大的價(jià)值在于提升思維，用真題，不僅要知道真題的去脈，更要弄清來源。會一題而知一類，是解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)追求的一種境界。

（責(zé)編 趙建榮）