CATIA開發(fā)環(huán)境下NURBS曲線面計(jì)算模型

陳華偉，吳祿慎，袁小翠

（南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌330031）

0 引 言

非均勻有理B樣條 （non－uniform rational B－splines，NURBS）是適用于復(fù)雜曲線面造型的建模方法，在插值計(jì)算［1，2］、創(chuàng)新設(shè)計(jì)［3］和高精度曲面造型［4］中得到廣泛應(yīng)用。在CATIA 環(huán)境中進(jìn)行曲面功能二次開發(fā)［5］，可以直接借助CATIA 成熟的顯示渲染功能，開發(fā)者只需關(guān)注功能實(shí)現(xiàn)；且CATIA 具有完善的應(yīng)用接口 （API），支持NURBS曲面的讀取、編輯和創(chuàng)建，能夠?qū)訔l曲面擬合為NURBS 曲面，并提供了自定義曲面的生成功能。

1 NURBS曲線面的參數(shù)化定義

NURBS曲線面由控制點(diǎn)、權(quán)因子和基函數(shù)共同表達(dá)的數(shù)學(xué)解析式定義，已知型值 （采樣）點(diǎn)和邊界條件，即可計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量，反求控制點(diǎn)陣，從而獲得解析解。

1.1 多項(xiàng)式定義

NURBS定義中，非均勻性 （non－uniform）指控制頂點(diǎn)的影響范圍可以改變，有理性 （rational）則說明NURBS曲面可以有理多項(xiàng)式形式定義，B 樣條 （B－spline）指曲線面的構(gòu)建是通過插值實(shí)現(xiàn)的。

u向p 階 （次）、v向q 階NURBS曲面定義［6］為

Pi，j為構(gòu)成曲面控制點(diǎn)網(wǎng)，u向、v向維數(shù)分別為 （m＋1）、（n＋1）；Wi，j為權(quán)因子；Ni，p（u）、Nj，q（v）為p 階、q階B樣條基函數(shù)。

同理，k次NURBS曲線的多項(xiàng)式定義為

1.2 幾個(gè)重要參數(shù)

為了生成NURBS曲面，CAD 軟件都會(huì)對(duì)NURBS 曲面進(jìn)行對(duì)象和參數(shù)化定義，幾個(gè)重要參數(shù)如下：

（1）自由度，階 （degree）

表示多項(xiàng)式的最高次數(shù)p，通常p＝1，2，3或5，用于表達(dá)一次 （Linear）、二次 （Quadratic）、三次 （Cubic）或五次 （Quintic）曲線面。

（2）控制點(diǎn) （control points）

控制點(diǎn)的數(shù)目記為c，每個(gè)控制點(diǎn)均可附權(quán)重（weight），記為w。如果w 值完全相同，則成為 “非有理”（non－rational）。

（3）節(jié)點(diǎn)矢量 （knot）

節(jié)點(diǎn)矢量由一列數(shù)值組成，節(jié)點(diǎn)數(shù)值可以重復(fù)，重復(fù)次數(shù)稱為重復(fù)度 （multiplicity），記為m；一般記不重復(fù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為k。節(jié)點(diǎn)必須滿足以下兩個(gè)基本條件：

1）非減性，節(jié)點(diǎn)數(shù)值按非降次序排列；

2）可重復(fù)性，重復(fù)度滿足m≤p。

例：p＝3，c＝11，Knot數(shù)值依次為：0、0、0、1、2、2、2、3、7、7、9、9、9，符合以上兩項(xiàng)原則。但是假設(shè)Knot數(shù)值為：0、0、0、1、2、2、2、2、7、7、9、9、9，則因?yàn)橛?個(gè)節(jié)點(diǎn)值為2，不符合原則2），因而是不合法節(jié)點(diǎn)矢量。

上述參數(shù)數(shù)組大小之間存在數(shù)量關(guān)系：c＝k－p－1。以三次 （p＝3）NURBS曲線插值為例，設(shè)已知型值點(diǎn)數(shù)目為n＋1 （i＝0，1，2，…，n），并取節(jié)點(diǎn)參數(shù)前后端0，1的重復(fù)個(gè)數(shù)為p，則節(jié)點(diǎn)數(shù)為：k＝ （n＋1）＋2×p＝n＋7，控制點(diǎn)數(shù)為：c＝k－p－1＝n＋3。例如，當(dāng)型值點(diǎn)數(shù)n＋1＝6，即n＝5時(shí)，節(jié)點(diǎn)數(shù)k和控制點(diǎn)數(shù)c應(yīng)分別為12和8。

以下為兩個(gè)具體實(shí)例。圖1 （a）中，擬合曲線隨著其中一個(gè)控制點(diǎn)CP3位置的移動(dòng) （至CP3′）而變化，并被其“吸引”；圖1 （b）中，控制點(diǎn)CP1－CP6不變，改變權(quán)重系數(shù)：原權(quán)重為 （1，1，1，1，1，1），新權(quán)重為 （1，1，10，20，5，1），可見曲線向權(quán)重較大的控制點(diǎn)CP3和CP4靠攏［7］。它們的主要參數(shù)列見表1。

圖1 兩個(gè)實(shí)例

表1 NURBS曲線參數(shù) （p＝3）

2 CATIA中曲線面對(duì)象的定義和讀取

曲面是封閉的R2至R3空間的函數(shù)，由雙變參U、V的3個(gè)標(biāo)量函數(shù)FX、FY、FZ 所定義，標(biāo)量函數(shù)說明了曲面參數(shù) （U，V）到笛卡爾坐標(biāo) （X，Y，Z）的變換或映射關(guān)系。多面片曲面中每個(gè)面片中的點(diǎn)坐標(biāo)可由局部參數(shù)（u，v）或全局參數(shù) （U，V）定義。曲線則由單參數(shù)定義，情況類似。如圖2所示。

圖2 曲面的參數(shù)化定義

2.1 基本對(duì)象和接口

CATIA 幾何建模器 （CATIA geometric modeler，CGM）中封裝了CATCurve和CATSurface接口分別定義曲線和曲面對(duì)象，所定義曲線和曲面必須是二階可微，即C2連續(xù)的。與之相關(guān)聯(lián)的幾個(gè)重要對(duì)象和接口有：

（1）CATCrvParam／CATSurParam 對(duì)象：定義曲線／面上點(diǎn)的全局參數(shù)；

（2）CATCrvLimits／CATSurLimits對(duì)象：定義曲線／面邊界，可由包圍盒的兩個(gè)角點(diǎn)CATCrvParam／CATSur－Param 參數(shù)定義；

（3）CATKnotVector對(duì)象：定義節(jié)點(diǎn)矢量，提供了獲取節(jié)點(diǎn)值，控制點(diǎn)，分段弧數(shù)，自由度，重合度等全套接口函數(shù)；

（4）Eval接口：CATCurve／CATSurface：：Eval實(shí)現(xiàn)參數(shù)坐標(biāo)至笛卡爾坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和三階導(dǎo)數(shù)的求取；

（5）GetParam 接口：CATCurve／CATSurface：：Get－Param 實(shí)現(xiàn)笛卡爾坐標(biāo)至參數(shù)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；

（6）GetEquation 接口：獲得曲線／面方程對(duì)象CATMathFunctionX／CATMathFunctionXY；

（7）GetKnotVector／GetKnotVectorU／V 接口：獲得CATKnotVector對(duì)象。

2.2 參數(shù)讀取和計(jì)算

（1）點(diǎn)對(duì)象信息

曲線面分別利用CATCurve和CATSurface對(duì)象的接口函數(shù)求取曲線面上的點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)。如曲線中點(diǎn)及該點(diǎn)切向和法向的計(jì)算過程如下：

對(duì)如圖3 （a）所示的曲線進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果為：

中點(diǎn)坐標(biāo)：（262.734，114.157，209.558）：

一階導(dǎo)數(shù)：（0.779724，－0.558819，－0.358627）；

二階導(dǎo)數(shù)：（－0.00640612，－0.00114124，－0.00163766）；

三階導(dǎo)數(shù)： （－9.6987e－005，7.44916e－005，－2.68162e－005）。

可見，三階導(dǎo)數(shù)的取值已經(jīng)非常之小，幾何意義不大。也可以采用第二種方法，即使用接口函數(shù)CATCurve：：GetEquation獲得該曲線的MathFunctionX 數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)象，該對(duì)象也提供了Eval類接口函數(shù)，所求結(jié)果與上述結(jié)果一致。

曲面上點(diǎn)信息的讀取過程與之類似，圖3 （b）顯示了曲面中點(diǎn)及其各向切矢和法矢的計(jì)算結(jié)果。

圖3 CATIA 中曲線的底層操作

（2）點(diǎn)的解析解

此外，還能讀取通過CATKnotVector：：GetPolynomialBasisForOneArc接口函數(shù)讀取NURBS多項(xiàng)式，并對(duì)曲線面上的點(diǎn)求解析解。以曲線為例：

解析解計(jì)算結(jié)果與對(duì)象法讀取的結(jié)果一致。

（3）NURBS參數(shù)

為了讀取NURBS參數(shù)，應(yīng)使用CATCreateCrvFitting－ToNurbsCrv全局函數(shù) （可設(shè)置擬合誤差）將一般曲線轉(zhuǎn)化為NURBS 曲線對(duì)象CATNurbsCurve，該對(duì)象由CATCurve繼承而來，增加了GetOneControlPoint函數(shù)用于讀取控制點(diǎn)信息。

下面給出NURBS節(jié)點(diǎn)和控制點(diǎn)參數(shù)的讀取過程：

對(duì)如圖3 （a）所示的曲線進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果為：

自由度：5

分段弧數(shù)：3

節(jié)點(diǎn)數(shù)：4

節(jié)點(diǎn)值：0，106.771，254.757，459.452

重復(fù)度：6，3，3，6，

控制點(diǎn)數(shù)：12

控制點(diǎn)： （100，70，300） （102.004，99.0517，287.637）（108.124，121.486，276.488）

（118.362，137.304，266.554） （152.613，159.256，245.748）（203.535，148.733，229.986）

（235.575，134.094，221.656） （299.801，92.7058，198.798）（310.217，54.9492，161.893）

（286.537，43.1674，132.534） （233.131，41.5177，95.2366）（150，50，50）

將這些控制點(diǎn)用直線連接，結(jié)果顯示于圖3 （a）；圖3（b）中也展示了NURBS曲面參數(shù)求解后獲得的部分控制點(diǎn)和兩條控制線。

3 NURBS曲線面的反求

工程應(yīng)用中，一般已知型值點(diǎn)陣Qi，j（Qi，j∈S），要求NURBS的解析表達(dá)式，因此，需要反求控制點(diǎn)陣P，設(shè)Q為型值點(diǎn)陣列，R 為基函數(shù)系數(shù)矩陣，P 為控制點(diǎn)網(wǎng)矩陣，則NURBS曲面方程定義式可表示為矩陣形式

基函數(shù)系數(shù)矩陣R 由多項(xiàng)式函數(shù)Ni，k（k 為階次）構(gòu)成，Ni，k的基函數(shù)又由節(jié)點(diǎn)矢量u＝ ［u0，…，um＋2p］，v＝［v0，…，vn＋2q］采用Cox－De Boor公式［2，8］遞推

其中

對(duì)矩陣方程進(jìn)行求解，可反求出控制點(diǎn)：

P＝R－1Q，R 為方陣；

P＝ （RTR）－1RTQ，R 不為方陣。

NURBS曲面反求以曲線反求為基礎(chǔ)，而曲線反求的核心是控制點(diǎn)的反求，其基本步驟是：

（1）讀入型值點(diǎn)Q，計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量u、v；

（2）使用De－Boor公式，計(jì)算多項(xiàng)式基函數(shù)Ni，k，構(gòu)造系數(shù)矩陣R；

（3）帶入曲線方程，構(gòu)造方程組RP＝Q；

（4）附加合適的邊界條件，得到未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)一致的可解方程組；

（5）采用合適的方法求解方程組，得到控制點(diǎn)P。

3.1 NURBS曲線的控制點(diǎn)反求

NURBS曲線反求可描述為：已知n個(gè)型值點(diǎn)Qi（i＝1，…，n），曲線自由度為k，求控制點(diǎn)Pi。

為滿足曲線端點(diǎn)就是型值點(diǎn)的要求，節(jié)點(diǎn)矢量的兩端應(yīng)取k＋1重復(fù)度，即u0＝u1＝…＝uk，un＋k＝un＋k＋1＝…＝un＋2k。

對(duì)三次樣條曲線 （k＝3），取規(guī)范化節(jié)點(diǎn)矢量，則兩端重復(fù)節(jié)點(diǎn)矢量為：u0＝u1＝u2＝u3＝0，un＋3＝un＋4＝un＋5＝un＋6＝1。

首末短短重復(fù)度為m＝k＋1＝4。

其它節(jié)點(diǎn)值可采用累積弦長法進(jìn)行參數(shù)化

附加以下條件：

（1）首末端點(diǎn)應(yīng)分別與控制點(diǎn)重合，即：p0＝q0，pn＋k－1＝qn。

（2）邊界條件。一般要求邊界點(diǎn) （首末端點(diǎn)）切矢q0′和qn′連續(xù)，即有

使用基函數(shù)遞推式 （2），求系數(shù)矩陣R，帶入式 （1），整理得以下矩陣方程

其中

3.2 矩陣方程的求解

方程組 （1）為典型的三對(duì)角矩陣方程，易采用高斯消去法求解。

給定形的矩陣方程如下

經(jīng)過n－1次消元，可化為同解上三角矩陣方程

其中

回代求出未知數(shù)：xn＝gn，xi＝qi－uixi＋1（i＝n－1，n－2，…，1）。

該過程亦稱為追趕法，是三對(duì)角方程組的典型求解方法。

3.3 m×n維點(diǎn)陣擬合NURBS曲面

以均勻雙三次B樣條（k＝3）為例，典型的反求問題可描述為：已知m×n維型值點(diǎn)陣Qi，j（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m），求控制點(diǎn)陣Pi，j（i＝1，2，…，n＋1；j＝1，2，…，m＋1）。

采用兩次反求法，即分別對(duì)u 向和v 向控制點(diǎn)進(jìn)行反求，即可求取控制點(diǎn)陣：

（1）計(jì)算u向控制點(diǎn)。對(duì)u 向的m 組型值點(diǎn)，按照反算公式，并添加邊界條件，即可求解矩陣方程，獲得m 組B樣條曲線的控制頂點(diǎn)Vi，j（i＝1，2，…，n，n＋1；j＝1，2，…，m）。因?yàn)槊織l曲線都要添加兩個(gè)邊界條件才能求解，因而每條曲線上的控制點(diǎn)數(shù)為 （n＋1）；

（2）計(jì)算v向控制點(diǎn)。將Vi，j視為v 向的m 組型值點(diǎn)，再作 （n＋1）次B樣條曲線反算，所求v向控制點(diǎn)Pi，j即為整個(gè)曲面的控制點(diǎn)。

CATIA 提供了幾何對(duì)象包CATGeoFactory，開放有NURBS曲線面生成的接口函數(shù)CATCreateNurbsCurve和CATCreateNurbsSurface，它們均以節(jié)點(diǎn)向量和控制點(diǎn)陣為主要輸入?yún)?shù)，調(diào)用結(jié)果是生成CATNurbsCurve或CATNurbsSurface對(duì)象，該對(duì)象可直接在CATIA 界面中顯示。

使用CATIA 開發(fā)環(huán)境，導(dǎo)入型值點(diǎn)陣，自定義函數(shù)封裝節(jié)點(diǎn)計(jì)算、控制點(diǎn)反求及其求解算法，然后調(diào)用CATGeoFactory：： CATCreateNurbsCurve／CATCreateNurbs－Surface接口生成NURBS 曲線面對(duì)象，轉(zhuǎn)化為特征后在CATIA 界面中顯示。圖4是在CATIA 中對(duì)30×20維點(diǎn)陣進(jìn)行NURBS曲面重構(gòu)的結(jié)果。

圖4 由點(diǎn)陣生成NURBS曲面

4 結(jié)束語

特征在界面上以對(duì)象形式存在，在底層則是通過幾何拓?fù)浠蚪馕鲇?jì)算生成。文中NURBS曲線面信息的讀取以及曲線面的反向生成，均借助CATIA 的NURBS對(duì)象接口實(shí)現(xiàn)，并交由顯示渲染接口生成，因而具有流程簡單，代碼清晰，可維護(hù)性和封裝性強(qiáng)等特點(diǎn)。作為曲線面建模和逆向建模的核心算法，該模塊可在復(fù)雜曲線和型面［9，10］建模分析中直接應(yīng)用或修改后應(yīng)用。

［1］WANG Yunsen，GAI Rongli，SUN Yilan，et al.NURBS interpolation algorithm for high－quanlity machining ［J］.Journal of Computer－Aided Design ＆ Computer Graphics，2013，25（10）：1549－1556 （in Chinese）. ［王允森，蓋榮麗，孫一蘭，等.面向高質(zhì)量加工的NURBS曲線插補(bǔ)算法 ［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào)，2013，25 （10）：1549－1556.］

［2］WANG Guoxun，SHU Qilin，WANG Jun，et al.Algorithm of fast evaluation and derivation for the technique of NURBS direct interpolation ［J］.Journal of Northeastern University（Natural Science），2012，33 （7）：1021－1024 （in Chinese）.［王國勛，舒啟林，王軍，等.NURBS直接插補(bǔ)技術(shù)中快速求值求導(dǎo)算法 ［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2012，33（7）：1021－1024.］

［3］ZHOU Wei，CHENG Dewen，XU Chen，et al.Application of NURBS free－form surface in optomechanical design ［J］.Infrared and Laser Engineering，2014，43 （10）：3313－3320 （in Chinese）.［周偉，程德文，許晨，等.NURBS自由曲面在光機(jī)設(shè)計(jì)和分析中的應(yīng)用 ［J］.紅外與激光工程，2014，43（10）：3313－3320.］

［4］LI Weiguo，HUANG Fengling.Application of NURBS surface reconstruction algorithm in form modification of sheets die faces［J］.Computer Applications and Software，2014，31 （10）：281－284 （in Chinese）. ［李衛(wèi)國，黃風(fēng)玲.NURBS曲面重構(gòu)方法在板料模面修型中的應(yīng)用 ［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2014，31 （10）：281－284.］

［5］WANG Liming.Three－dimensional reconstruction and parametric design of aircraft configuration based on CATIA CAA［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2014 （in Chinese）. ［王黎明.基于CATIA CAA 的飛行器參數(shù)化三維外形設(shè)計(jì)及三維重建 ［D］.南京：南京航空航天大學(xué)，2014.］

［6］Piegl L，Tiller W.Curve and surface constructions using rational B－splines［J］.Computer－Aided Design，1987，19 （9）：485－498.

［7］CHEN Jun，CUI Hanguo.Shape modification of NURBS curves based on weight［J］.Journal of Naval University of Engineering，2012，24 （4）：108－112 （in Chinese）. ［陳軍，崔漢國.基于權(quán)值的NURBS曲線形狀修改 ［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，24 （4）：108－112.］

［8］Carl de Boor.On calculation with B－spline［J］.Journal of Approximation Theory，1972，6 （1）：50－62.

［9］CHEN Yueping，GAO Jian，DENG Haixiang，et al.On－line inspection and machining error cmpensation for complex surfaces［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48 （23）：143－151 （in Chinese）.［陳岳坪，高健，鄧海祥，等.復(fù)雜曲面零件在線檢測(cè)與誤差補(bǔ)償方法 ［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48（23）：143－151.］

［10］LI Yuan，WANG Yiwen，LIU Xianli，et al.Intelligent modeling of semi－open integral wheel based on nurbs［J］.Journal of Harbin University of Science and Technology，2014，19 （1）：12－15 （in Chinese）.［李媛，王義文，劉獻(xiàn)禮，等.基于NURBS的半開式整體葉輪智能建模 ［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，19（1）：12－15.］