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    巧借東風(fēng),化難為易
    ——一個(gè)基本圖形在中考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

    2015-12-23 05:52:29王雪麗
    新課程 2015年3期
    關(guān)鍵詞:菲爾德結(jié)論中考

    王雪麗

    (浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學(xué))

    巧借東風(fēng),化難為易
    ——一個(gè)基本圖形在中考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

    王雪麗

    (浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學(xué))

    在歷年的中考題中,以加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的構(gòu)圖為基礎(chǔ)進(jìn)行演變,形成一類基本圖形,結(jié)合平行四邊形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)知識(shí)的綜合題目,它們都可由兩個(gè)三角形相似得到相應(yīng)的邊之間的關(guān)系,從而進(jìn)行解題。引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)已獲得的知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納和轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步發(fā)展解題能力,提高中考復(fù)習(xí)的有效性。

    構(gòu)造;加菲爾德圖形;相似三角形

    美·波利亞說:“求解某個(gè)數(shù)學(xué)題目所需的材料是我們以前所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)中某些與之相關(guān)的內(nèi)容,比如以前解過的某些題目或者以前證明過的某些定理?!睉?yīng)用一些基本圖形及基本結(jié)論可以提高學(xué)生相應(yīng)的解題能力。

    1876年,美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·瓊·加菲爾德(A·Garfield, 1831~1881),他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的證明,如圖1,通過構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形,利用同一圖形整體面積等于局部面積之和,從而證明了勾股定理。驚嘆于證明的巧妙構(gòu)思之余,更對(duì)于他的構(gòu)圖產(chǎn)生了一些思考。

    如圖1,已知∠B=∠D=∠ACE=90°可得∠ECD=∠CAB,所以△ABC~△ECD,若兩個(gè)三角形的相似比為1,則△ABC≌△ECD。

    圖1

    如圖1這樣的基本圖形,我們稱之為加菲爾德圖形,也叫做三垂足共線圖形。從上述的證明中我們發(fā)現(xiàn)加菲爾德圖形有個(gè)基本結(jié)論,若∠B=∠D=∠ACE=90°,則△ABC~△ECD。

    這一基本圖形的基本結(jié)論在中考題中有較廣泛的應(yīng)用,特別在求線段長度、點(diǎn)的坐標(biāo)以及函數(shù)等問題時(shí),應(yīng)用這一基本圖形,可達(dá)到事半功倍的效果。

    一、在有些數(shù)學(xué)題中直接提煉加菲爾德圖形,應(yīng)用基本圖形的結(jié)論構(gòu)造方程求解

    例1(.2014年山東省棗莊市)如圖2,將矩形ABCD沿CE向上折疊,使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處,若AE=BE,則長AD與寬AB的比值是_______。

    圖2

    二、在很多數(shù)學(xué)題中,加菲爾德圖形是隱性存在的,這就需要學(xué)生在解題過程中去構(gòu)造加菲爾德圖形

    圖3

    圖4

    圖5

    例3(.2014年江蘇省南京市)如圖5,在矩形AOBC中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4,則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ( )

    解析:求點(diǎn)的坐標(biāo)常聯(lián)想到過點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線段,從而求點(diǎn)坐標(biāo)問題可轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度問題,如圖6,過A、B、C分別作AD⊥x軸于點(diǎn)D,BE⊥x軸于點(diǎn)E,CG⊥y軸于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)F。構(gòu)造兩個(gè)加菲爾德圖形,易得△DAO~△EOB~△FBC,又由于BC=AO,則△DAO≌△FBC,結(jié)合已知條件易得,OE=,CG=。故選B。

    圖6

    分解和重組是思維的重要活動(dòng)。復(fù)雜的綜合題是由一些常見的基本題目、基本圖形組合而成的。對(duì)于這一類題目,我們可以采用庖丁解牛的手法,把復(fù)雜的問題分解成簡單的問題;應(yīng)用基本圖形及其結(jié)論可使復(fù)雜的問題迎刃而解,這種化難為易、化繁為簡的解題思想初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)很重要。

    三、遷移圖形

    當(dāng)∠B=∠C=∠AED=a時(shí),加菲爾德圖形的結(jié)論仍成立。我們把類似于圖7的基本圖形叫做M型圖形,也叫做三等角頂點(diǎn)共線圖形。它們有共同結(jié)論:△ABC~△ECD。

    圖7

    引導(dǎo)學(xué)生熟悉和掌握一系列基本圖形及其相關(guān)結(jié)論,能夠把問題從陌生熟悉化,從復(fù)雜簡單化,從困惑明朗化。引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)題目條件的分析、結(jié)論的分析,以及條件和結(jié)論之間聯(lián)系的分析。歸納出解決問題的通性、通法,既能夯實(shí)基礎(chǔ),又能達(dá)到讓學(xué)生懂一題,曉一類,通一片的效果。推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維的進(jìn)步,從而提高中考復(fù)習(xí)的有效性。

    [1]波利亞.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓,馮承天,譯.上海:上海科技教育出版社,2013.

    [2]王金戰(zhàn),王志進(jìn).中考搶分36計(jì):數(shù)學(xué)[M].吉林教育出版社,2011.

    ·編輯 張珍珍

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