輻射狀磁場的電磁感應問題歸類分析

阮長久

電磁感應是中學物理的一個重要知識點，不少問題涉及到力和運動、動量和能量、電路和安培力等多方面的知識，綜合性強，也是高考的重點和難點，往往是以“壓軸題”形式出現.學生覺得電磁感應問題比較多且復雜，對解決這種問題沒有形成自己的核心競爭力，得分很不理想，要提高學生的電磁感應題目的得分，對電磁感應問題進行歸類就很重要，本篇文章就對輻射狀磁場的電磁感應問題進行歸納分析，希望通過這種做法，能對學生解決這類問題有幫助.

1.線圈與磁場平行

磁感線分布：磁感線呈輻射狀，線圈平面與磁場平行，且線圈所在處的磁感應強度大小相等.

命題特點 將法拉第電磁感應定律與物體平衡條件、能量守恒定律相聯系.

例題1 如圖1所示，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，產生一個中心輻射的磁場（磁場水平向外），其大小為B=K/r（其中r為輻

圖1

射半徑），設一個與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），而彎成鋁環(huán)的鋁絲其橫截面積為S，圓環(huán)通過磁場由靜止開始下落，下落過程中圓環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ0，試求：

（1）圓環(huán)下落的速度為v時的電功率；

（2）圓環(huán)下落的最終速度；

（3）當下落高度h時速度最大，從開始下落到此時圓環(huán)消耗的電能.

分析 存在困難：在計算感應電動勢時，學生往往以為因線圈平面與磁場平行，故穿過線圈的磁通量始終為零，線圈中的感應電動勢為零，從而難以找到解題的突破口.

突破方法 運用等效方法，將圓形線圈等效為長為2πr的直導線在磁感應強度為B的磁場中做切割磁感線運動，則由E=Blv可求得感應電動勢；另外也可以用E=ΔΦ/Δt進行求解，此時需將ΔΦ理解為線圈在Δt時間內掃過的面積ΔS與B的乘積，即ΔΦ=2πBrvΔt，則可解得E=ΔΦ/Δt=2πBrv

求解過程： （1）由題意知圓環(huán)所在處在磁感應強度B= k R

圓環(huán)的有效切割長度為其周長即l=2πR

圓環(huán)的電阻R電=ρ l S =ρ 2πR S

當環(huán)速度為v時，切割磁感線產生的電動勢為E=Blv=2kπv

電流I= E R電 = kvS ρR

故圓環(huán)速度為v時電功率P=I2R

聯立以上各式解得P= 2πk2v2S ρR

（2）當圓環(huán)加速度為零時，有最大速度vm

此時F安=BIl= 2πk2vmS ρR

由平衡條件mg=F安，又m=ρ0S×2πR

聯立解得vm= ρρ0R2g k2

（3）由能量守恒定律mgh= 1 2 mv2m+Q，解得Q=mgh- k R mv2m=2πρ0RS·[gh- 1 2 （ ρρ0R2 k2 ）2]

2.線圈與磁場垂直

磁感線分布：磁感線呈輻射狀，線圈平面與磁場垂直，且線圈中與磁場垂直的兩條邊所在處的磁感應強度大小相等.

命題特點：將法拉第電磁感應定律與物體平衡條件、能量守恒定律相聯系.

例題2 某同學設計了一種自行車，它能自行發(fā)電供夜晚騎自行車時照明.自行車車頭燈供電的小型發(fā)電機的結構示意圖如2甲圖所示.矩形線圈abcd固定在圓柱形鐵芯上，過ad、bc邊中點，平行于ab、cd的軸oo′固定在鐵芯上，軸的另一端有一半徑為r0摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣接觸，當車輪轉動時，因摩擦而帶動小輪轉動，從而使線框在磁極間轉動，如2乙圖所示.在磁極與圓柱狀鐵芯之間形成輻射狀的磁場，ab、cd經過處的磁感應強度均為B，方向始終與兩條邊的運動方向垂直，俯視圖如2丙圖所示.設線圈的匝數為N，ab=L1，bc=L2，自行車前后輪的半徑為R1，大齒輪的齒數為n1，小齒輪的齒數為n2.車頭燈的電阻為R，線圈總電阻為r.該同學以每秒n轉的速度踏動自行車腳踏板，自行車從靜止開始經很短的時間后就能達到穩(wěn)定速度.自行車與地面，摩擦小輪與后輪之間沒有相對滑動.該同學的質量為m，自行車連同發(fā)電裝置的質量為M，設騎自行車時所受空氣阻力和地面的阻力的總和f與人車總重力成正比，比例系數為k.不計線圈、圓柱形鐵芯、摩擦小輪的轉動動能和所有轉軸處摩擦消耗的能量.

（1） 求穩(wěn)定后，摩擦小輪的角速度ω0和車燈回路的電動勢E

（2） 若線圈逆時針轉動（俯視），畫出（從圖示位置開始計時）流過車燈的電流隨時間變化的圖像，規(guī)定a→b→c→d→R→a為電流的正方向，（注意：要有必要的文字和公式說明）

（3） 經足夠長時間T，發(fā)現騎行的路程為S，人在時間T內消耗的體能轉化成機械能部分的能量如何分配，各項分別是多少？

圖2

分析 存在問題：在計算感應電動勢時，學生因沒有準確理解法拉第電磁感應定律E=ΔΦ/Δt，認為此題中磁感應強度的大小是變化的，故因該同時存在動生電動勢和感生電動勢.在求解過程中，由于字母很多，學生一不小心就把符號帶錯.

突破方法 首先要準確理解法拉第電磁感應定律E=ΔΦ/Δt，說明只有某地的磁感應強度隨時間變化時，才有感生電動勢，在具體求解時，可以從兩個角度進行分析，一是從切割角度進行，這個線圈產生的感應電動勢等于左、右兩邊切割磁感線產生的感應電動勢之和，上下兩邊切割磁感線產生的感應電動勢相互抵消；二是從法拉第感應定律E=ΔΦ/Δt角度進行，此時需要微元方法，求出在時間微元Δt的磁通量變化量ΔΦ=NBL2vΔt+NBL2vΔt=2NBL2vΔt，再運用E=ΔΦ/Δt可解得E=2NBL2v.

圖3

求解過程： （1）設大齒輪、小齒輪的角速度分別為ω1、ω2，大齒輪、小齒輪的半徑分別為r1、r2，由角速度公式ω=v/r得而ω1=2πn.

小齒輪與后輪角速度相同，后輪與摩擦小輪的線速度相同，小齒輪和摩擦小輪的角速度與半徑成反比，即

解得線圈的電動勢E= ，

因此E=

（2）電流大小為電流周期

線圈轉動過程中產生的感應電流隨時間的變化圖形如圖3所示

（3）根據能量情景分布圖可知，人在時間T內消耗的體能轉化成機械能部分的能量是三部分，一部分是人車的動能增加，一部分能量是用來克服車所受空氣阻力和地面的阻力所做的功，還有一部分能量是各個電阻產生電熱的.車到達穩(wěn)定是車速，人車動能增加為

用來克服車所受空氣阻力和地面的阻力所做的功為產生的總電熱為

3.在由線圈與輻射狀磁場相疊加的磁場中的電磁感應現象

磁感線分布：磁感線的分布呈曲線狀，明確磁感應強調在x、y方向上的變化規(guī)律，其中一個方向上的分量隨位移按線性變化，另一個方向上的分量按類似于的規(guī)律變化.

命題特點：根據題目所給信息，與物體的平衡條件相結合.

例題3 如圖，超導圓環(huán)置于永磁體上方，永磁體產生的磁感應強度矢量對Z軸呈對稱分布，在任意包含Z軸的平面內（Zp平面）有平行于Z軸的磁感應強度分量Bz和平行于p軸的分量Bp，無垂直于Z 平面的分量，B= B2p+B2z ，設Z=0平面 （永磁體的上表面）上方，BZ（p，Z）= α 1+z ， Bp（p，Z）=βp，（α，β>0，p= X2+Y2 ）

（1）半徑為b的超導圓環(huán)軸線與Z軸保持重合，在外力支持下靜止在Z=ZO處，t=0時超導圓環(huán)無電流流過，求此時超導圓環(huán)包圍磁通量φO.

（2）t>0時，超導圓環(huán)在外力支持下緩緩下移，求圓環(huán)下落到Z處時的超導電流強度IS（已知超導狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒，超導電流IS在超導圓環(huán)中產生的磁通量ΦS=LIS，L是常數）.

（3）求超導圓環(huán)在磁場中下落到Z處受到的磁懸浮力F（Z）.

（4）為了使超導圓環(huán)懸浮在Z>0處，求超導圓環(huán)質量m的最大允許值.

解析 這是一道信息題，它以復雜的磁場分布及超導性質為載體，考察學生對信息的提取能力和分析能力，解決這個問題的關鍵是：能通過題目中過給的“超導狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒”，提取出ΦO=Φ（ZO）+ΦS，這一信息，從而求出感應電流I.

求解過程： （1）據題意，Z=ZO處，BZO（p，Z）= α 1+ZO ， S=πb2

所以ΦO=BZO， πb2= παb2 1+ZO

（2）題目給出的“超導狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒”為破題關鍵，結合“超導電流IS在超導圓環(huán)中產生的磁通量ΦS=LIS”的條件

可知ΦO=Φ（ZO）+ΦS， 即 παb2 1+ZO = παb2 1+Z +LIS

IS=- παb2（ZO-Z） （1+Z）（1+ZO）L ，沿Z正方向看電流為逆時針

（3）超導圓環(huán)在磁場中下落到Z處受到的磁懸浮力F（Z）就是超導圓環(huán)受到的安培力F（Z）=ISβPI=Bb I=2πb

所以I（Z）= 2π2αβb4（ZO-Z） （1+Z）（1+ZO）L

（4）超導圓環(huán)懸浮，即重力與磁懸浮力F平衡，

最大超導圓環(huán)質量m，即當Z→0時

mg= 2π2αβb4ZO （1+ZO）L ， 即 m= 2π2αβb4ZO （1+ZO）Lg