戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形模型

孫巨為，王志新，王小強

（陸航研究所，北京101121）

0 引言

分形理論是專門研究分形的幾何特征、數(shù)量表征及其規(guī)律和應用的科學，對于解決復雜系統(tǒng)問題非常有效。分維是分形理論中的最重要概念，它把分形客體的維數(shù)概念從整數(shù)擴展到了實數(shù)，實現(xiàn)了人類對維數(shù)概念認識的重大突破。戰(zhàn)斗力是一個典型的復雜系統(tǒng)，用分形理論對其加以研究，能夠在理論和實踐上解決許多懸而未決的難題，如戰(zhàn)斗中各種支離破碎的現(xiàn)象之間存在著某種有機的聯(lián)系等。

目前，運用復雜系統(tǒng)理論研究戰(zhàn)斗力已經(jīng)成為軍事理論研究的熱點。文獻［1－3］界定了戰(zhàn)斗力、戰(zhàn)斗能力、戰(zhàn)斗潛力和戰(zhàn)斗效能之間的關系，即：戰(zhàn)斗力是戰(zhàn)斗能力在戰(zhàn)時表現(xiàn)出來的結(jié)果；戰(zhàn)斗能力是部隊遂行戰(zhàn)斗任務的基本能力；戰(zhàn)斗潛力是戰(zhàn)斗能力可能表現(xiàn)出來的最大值；戰(zhàn)斗效能是部隊發(fā)揮戰(zhàn)斗能力完成戰(zhàn)斗任務的程度。文獻［4－5］描述了物質(zhì)化、能量化和信息化等戰(zhàn)斗力具體形態(tài)，構(gòu)建了數(shù)字化部隊戰(zhàn)爭系統(tǒng)模型分解圖，將戰(zhàn)斗能力分解成部隊與武器、電子信息、決策指揮和后勤保障等能力。文獻［6－9］提出了戰(zhàn)斗力系統(tǒng)演化的開放性、非平衡性、非線性等自組織特征，從內(nèi)在機制上闡釋了科學技術在戰(zhàn)斗力系統(tǒng)向有序演化過程中起第一作用（序參量）的機理，戰(zhàn)斗能力貢獻度和依賴度與戰(zhàn)斗體系結(jié)構(gòu)演化涌現(xiàn)效應的聯(lián)系，以及演化后各種戰(zhàn)斗能力指標。這些觀點分別從不同角度描述了戰(zhàn)斗力形態(tài)的演化問題，盡管其中也有分形思維和思想，但都未對戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形本質(zhì)加以研究。文獻［10－11］等論述了城市人口和城市規(guī)模演化的分形特性，對于研究與之類似的戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型具有重要的參考價值。

本文以分形理論為背景，將戰(zhàn)斗力作為一個高度自治的復雜系統(tǒng)，論證其生成、保持、變化和衰減等分形模型，同時說明蘭徹斯特方程、奧西波夫方程和戰(zhàn)斗力指數(shù)模型的實質(zhì)和來源，結(jié)合戰(zhàn)斗實例用定量方法探討戰(zhàn)斗力各要素相互作用的分形機理，進而提出戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形思想。

1 戰(zhàn)斗力相關問題描述

戰(zhàn)斗力是戰(zhàn)斗力系統(tǒng)的簡稱，是指武裝力量遂行戰(zhàn)斗任務的能力，由人、武器裝備和人與武器裝備的結(jié)合等基本要素構(gòu)成［12］，具體表現(xiàn)為各種戰(zhàn)斗力要素的綜合，包括突擊力、打擊力、保障（含信息、指揮、機動、防護、后裝保障）力等要素；戰(zhàn)斗效能是戰(zhàn)斗力量在戰(zhàn)斗進程中發(fā)揮有效作用的程度，也是反映和評價部隊戰(zhàn)斗力的尺度與標準［12］；戰(zhàn)斗力形態(tài)是指戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)、環(huán)境及其相互關系的總體；戰(zhàn)斗力形態(tài)演化是指戰(zhàn)斗力的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)、特性、行為和動能隨著戰(zhàn)斗進程的推移而發(fā)生的變化。

自治系統(tǒng)的功效是其主動通過與所在環(huán)境相互作用，實現(xiàn)自身目標，強調(diào)服從某些人或其它要素的控制，不能完全按照各要素自身的主觀意志行事。顯然，戰(zhàn)斗力既是一種有人參與的動力系統(tǒng)，也是一種典型的自治系統(tǒng)。按照一般系統(tǒng)論的觀點［13］，對于最簡單的戰(zhàn)斗力系統(tǒng)而言，戰(zhàn)斗力要素相關作用過程可用微分方程組（1）描述，即

其中，xi（i＝1，2，…，n） 為第i個要素；fi為xi變化時所有要素x1，x2，…，xn之間的相關作用算子，與指揮、行動和協(xié)同等方式有關；xi0為第i個要素的初值（常數(shù)），可理解為經(jīng)過戰(zhàn)斗部署的戰(zhàn)斗力要素初始值，例如，遂行突擊、打擊或保障等任務的戰(zhàn)斗成員配置、狀態(tài)和數(shù)量等。

該方程組既說明了各要素之間相互關聯(lián)，互為因果，也說明了任何一個要素變化都以某種形式引起所有要素變化，從而導致戰(zhàn)斗力整體向前演化。例如，保障力增強后，可使打擊力也增強，而打擊力增強，可更好地壓制和毀傷威脅突擊行動的目標，這又使突擊力增強，打擊力和突擊力都增強后，就有利于大量殲敵，也能使保障成員和設備受到的威脅減少，進而使保障力得以保持和增強，打擊力、突擊力和保障力都增強后，整體戰(zhàn)斗力必然有一個躍升。

2 戰(zhàn)斗力生成分形模型

戰(zhàn)斗力生成是指在戰(zhàn)斗部署中各要素相互作用，使戰(zhàn)斗力從無到有、從小到大的過程。戰(zhàn)斗力生成的分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)演化性的內(nèi)在機理，描述情報搜集與分析、任務要求與區(qū)分、力量編組與配置、資源籌措與配送等對戰(zhàn)斗力生成的影響。由式（1），如果戰(zhàn)斗力只有兩個要素，則

其中，xi0和xj0分別為第i個和第j個要素的初值，均可認為趨近于0，即在戰(zhàn)斗部署前任何戰(zhàn)斗成員和武器裝備都不具備戰(zhàn)斗力，只有戰(zhàn)斗；ai和aj分別為第i個和第j個要素的生成系數(shù)，即戰(zhàn)斗部署合理性系數(shù)，戰(zhàn)斗部署越合理，該系數(shù)就越大，越容易生成戰(zhàn)斗力，反之亦然。

顯然，戰(zhàn)斗力形態(tài)具有非線性特征，對式（2）約簡，有［13］

式（3）反映了兩個要素之間的生成關系。當αij＞1時，第i個比第j個要素生成快；當αij＜1時，第i個比第j個要素生成慢；當αij＝1時，第i個與第j個要素同步生成。又由式（3），時刻t第i個和第j個要素的解為

將式（4）中時間項消元并化簡，得第i個和第j個要素的冪指數(shù)生成模型為

式（5）是一個廣義的分形模型。由于αij為第i個和第j個要素互為測度的結(jié)果，故αij具有分維性質(zhì)，這里稱之為“互維數(shù)”。

由式（5），得時刻t所有要素的冪指數(shù)生成模型為

式（6）是對非線性戰(zhàn)斗力進行半線性分解的結(jié)果，簡化了內(nèi)部關系，保持了主要的非線性特征，近似反映了第i個要素與其它要素的生成關系。

如果戰(zhàn)斗力包括n個要素xi（i＝1，2，…，n） ，則時刻t戰(zhàn)斗力的一般生成模型為

其中，g為各戰(zhàn)斗力要素的相互關系算子，該算子決定于指揮、行動和協(xié)同等方式。

對式（7）求全微分并做等價變換，得

不難看出，σi＝?E／?xi·xi／E，為第i個要素與戰(zhàn)斗力的關聯(lián)系數(shù)，具有分維性質(zhì)，分形維數(shù)為，且為常數(shù)，即認為式（8）是線性模型。對式（8）求積分得戰(zhàn)斗力的生成模型為

將式（5）代入到式（9）中，得戰(zhàn)斗力的生成模型為

式（10）中，維數(shù)σi≠σj（i≠ j）為第i個要素發(fā)揮作用的程度，即靈敏度指數(shù)。該式說明戰(zhàn)斗力隨各要素的生成而生成，具有自仿射特征，并可化為任意多個xi的σi次冪的乘積形式。

3 戰(zhàn)斗力保持分形模型

戰(zhàn)斗力保持是指在戰(zhàn)斗實施中各要素逐步適應戰(zhàn)場情況，使戰(zhàn)斗力保持最大狀態(tài)的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的內(nèi)在機理，描述當前態(tài)勢與任務、力量配比與分配、戰(zhàn)法選擇與運用、時空協(xié)調(diào)與協(xié)同等對戰(zhàn)斗力保持的影響。由式（7）和式（9），在時刻t，有

式（11）說明戰(zhàn)斗力是一個k次齊次函數(shù)，即：如果所有要素都變化λ倍，則戰(zhàn)斗力同方向變化λk倍。特別是，當k＝1時，該戰(zhàn)斗力是線性齊次函數(shù)。例如，如果x1，x2，…，xn全部同時增加為λx1，λx2，…，λxn，則戰(zhàn)斗力E將增加為λkE，即：當λ＞1時，E遞增；當λ＝1時，E不變；當λ＜1時，E遞減。然而，如果要素數(shù)量n＞2且k為實數(shù)域的任意數(shù)值，則戰(zhàn)斗力與各要素之間不滿足線性關系。為此，用歐拉齊次函數(shù)定理確定式（11）中在λ＝1時的表達式，即

由式（12），當k＝1時，戰(zhàn)斗力最大值為

由式（9），如果各要素總量為X，則當k≠1且存在條件函數(shù)時，戰(zhàn)斗力最大值為

式（14）的拉格朗日函數(shù)為

其中，γ為拉格朗日參數(shù)。

由式（14）和式（15），用拉格朗日乘數(shù)法可求取戰(zhàn)斗力極值。存在極值條件的聯(lián)立方程組［14］為

求解聯(lián)立方程組得戰(zhàn)斗力有最大值的條件和解析解為

4 戰(zhàn)斗力變化分形模型

戰(zhàn)斗力變化是指在戰(zhàn)斗相持中因某個要素不能發(fā)揮作用，使戰(zhàn)斗力突然增大或減小的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)適應性的內(nèi)在機理，描述敵我博弈與對抗、策略改變與調(diào)整、戰(zhàn)機創(chuàng)造與把握、環(huán)境利用與規(guī)避等對戰(zhàn)斗力變化的影響。這種現(xiàn)象是系統(tǒng)分形特性退化，有兩種模式，即：

第一，在時刻t某個要素變化與該要素大小無關，只取決于戰(zhàn)斗力的各種限制條件。

以第1個要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（18）代入式（9）得戰(zhàn)斗力的變化模型為

比較式（10）和式（19），可判別該模式下戰(zhàn)斗力變化方向，即

式（20）顯然有“指數(shù)函數(shù)的增大‘速度’比冪函數(shù)快得多”［14］，即戰(zhàn)斗相持到一定程度后，式（20）中任何一項δ1＜1。這說明指數(shù)函數(shù)模式的戰(zhàn)斗力大于冪函數(shù)模式，即由E向上變化為，原因是式（18）中，雖然第j個要素受到限制，但仍可使第i個要素以指數(shù)函數(shù)增大，使式（19）的戰(zhàn)斗力最終向增大方向變化。如，當兵力突擊受挫時，可通過增強火力打擊或綜合保障等提高整體戰(zhàn)斗力。

以第1個要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（21）代入式（9）得戰(zhàn)斗力變化模型為

比較式（22）和式（10），可判別該模式下戰(zhàn)斗力變化方向，即

式（23）顯然有“冪函數(shù)的增大‘速度’比對數(shù)函數(shù)快得多”［14］，即戰(zhàn)斗相持到一定程度后，式（23）中任何一項δ1＜1。這說明對數(shù)函數(shù)模式的戰(zhàn)斗力小于冪函數(shù)模式，即由E向下變化為，原因是式（21）中，雖然第i個要素受到限制，但第j個要素使其以對數(shù)函數(shù)減小，使式（19）的戰(zhàn)斗力最終向減小方向變化。如，當兵力突擊受挫時，未能有效組織與之協(xié)同的火力打擊或綜合保障等行動，兵力突擊效果將會進一步下降，導致整體戰(zhàn)斗力下降。

第二，時刻t兩個要素變化與這兩個要素的大小無關，只取決于戰(zhàn)斗力的各種限制條件。

其中，ζij＝αiji0／j0，為常數(shù)；Cij為積分常數(shù)。

以所有要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（24）代入（9）得戰(zhàn)斗力變化模型為

比較式（25）和式（10），可判別該模式下戰(zhàn)斗力的變化方向，即

顯然，δn的增減方向可由必達法則判定，其值與ζij，Cij，σi，βj和αij等有關。

5 戰(zhàn)斗力衰減分形模型

戰(zhàn)斗力衰減是指在戰(zhàn)斗決勝中因某些條件不再具備，使戰(zhàn)斗力不斷消耗直至殆盡的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)脆弱性的內(nèi)在機理，描述戰(zhàn)斗成員傷亡、武器彈藥消耗、指揮控制失效、戰(zhàn)場環(huán)境不利、戰(zhàn)斗精神崩潰等復雜因素對戰(zhàn)斗力衰減的影響。如果在時刻t第j個要素為（大于0的常數(shù)），第i個要素為（大于0的常數(shù)），并將之作為初值，則式（1）可表述為

由式（9），得戰(zhàn)斗力衰減模型為

6 戰(zhàn)斗力分形模型特例

長期以來，許多學者對戰(zhàn)斗力形態(tài)演化問題進行過研究，并給出了各種比較實用的演化模型［15－16］。從結(jié)構(gòu)特點上看，這些模型都是戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型的一種特例或派生形式。主要有：

2）奧西波夫戰(zhàn)斗方程。由式（29），當i＝1，σ1＝1.5，其他參數(shù)含義和取值不變時，有，該結(jié)果與奧西波夫方程中A，B方戰(zhàn)斗效能等價，即“A方損失＝K·（B方實力）p”和“B方損失＝K·（A方實力）p”。其中，K為比例系數(shù)；p為憑經(jīng)驗確定的指數(shù)。

上述特例說明，戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型不只是一種抽象的理論模型，還是一種能夠指導戰(zhàn)斗實踐的可派生模型，根據(jù)戰(zhàn)斗需要和相關數(shù)據(jù)，可以派生出不同結(jié)構(gòu)和精度的模型。

7 戰(zhàn)斗力分形模型應用

分析式（9）、（14）、（22）、（25）和（29）不難發(fā)現(xiàn)，各戰(zhàn)斗階段戰(zhàn)斗力形態(tài)具有很強的“伸縮性”，當只考慮某要素與整體的關系時，其余要素信息均“壓縮”在了系數(shù)或參數(shù)當中。

7.1 戰(zhàn)斗力測度關系模型

為了將上述戰(zhàn)斗力模型解析為具體的測度關系模型，并利用其中的自仿射性質(zhì)，變量選擇應遵循可觀測、能甄別、有代表性的原則。為此，可將戰(zhàn)斗效能（用敵方傷亡戰(zhàn)斗成員數(shù)表征）作為戰(zhàn)斗力的輸出變量，將戰(zhàn)斗實力（包括突擊實力、打擊實力和保障實力，用我方相應的戰(zhàn)斗成員數(shù)表征）作為戰(zhàn)斗力的輸入變量，由此可建立如下戰(zhàn)斗力各要素實力和戰(zhàn)斗效能之間的數(shù)理關系。

突擊實力與打擊實力、打擊實力與保障實力、保障實力與突擊實力之間異速生長關系為

其中，xt，xd和xz分別為突擊實力、打擊實力和保障實力，戰(zhàn)斗實力X0＝xt＋xd＋xz。

基于戰(zhàn)斗實力、突擊實力、打擊實力和保障實力等單項的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

基于突擊實力、打擊實力和保障實力等綜合的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

其中，adt，azd，atz，bdt，bzd，btz，C0，Ct，Cd，Cz，δ0，δt，δd，δz，η，ht，hd，hz均為參數(shù)，不難得到，hd＝δd／3，hz＝δz／3。

假定相應于xt，xd，xz和Ex的廣義維數(shù)分別為Dxt，Dxd，Dxz和DEx，由幾何測度關系知

由式（33）和（34）可得

因此，只要bdt，bzd和btz不是整數(shù)或整數(shù)之比，δt，δd，δz，ht，hd和hz就具有分維性質(zhì)。

7.2 戰(zhàn)斗力測度關系實例

現(xiàn)以我軍歷史上某次陸軍戰(zhàn)役中陸軍第×師進攻戰(zhàn)斗為例，說明戰(zhàn)斗力各要素的測度關系。該師戰(zhàn)斗目的是殲滅當前守敵一個團大部，為友鄰實施戰(zhàn)役縱深戰(zhàn)斗創(chuàng)造條件。該師已完成戰(zhàn)斗部署，于19××年×月×日拂曉用火力準備的方式觸發(fā)戰(zhàn)斗，包括火力準備、前沿突擊、抗反沖擊、分割圍殲、縱深戰(zhàn)斗、追擊殘敵、清剿戰(zhàn)場等階段。根據(jù)戰(zhàn)斗日志，該師戰(zhàn)斗共進行8晝夜，每個戰(zhàn)斗日敵我戰(zhàn)斗實力變化如表1所示（注：表中假設情況供輔助分析）。

將表1中點列數(shù)據(jù) （X0（t），Ex（t） ） 、（xt（t），Ex（t） ） 、（xd（t），Ex（t） ） 和 （xz（t），Ex（t） ） 分別標繪于對數(shù)坐標圖中，其分布呈對數(shù)線性分布趨勢，如圖1～圖4所示。將表1中點列數(shù)據(jù) （X′0（t），Ex（t） ） 繪于對數(shù)坐標圖中，其分布呈對數(shù)線性分布趨勢相對較差，如圖5所示。

可根據(jù)式（30）和（31）的雙對數(shù)形式和表1數(shù)據(jù)，利用最小二乘法計算有關參數(shù)。這樣，基于戰(zhàn)斗力、突擊力、打擊力和保障力等單項的戰(zhàn)斗效能動力相似模型為

突擊力與打擊力、打擊力與保障力、保障力與突擊力的異速生長關系分別為

表1 陸軍第×師進攻戰(zhàn)斗各戰(zhàn)斗日敵我雙方戰(zhàn)斗力相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計Tab.1 The related date statistics of a attack battle of the army′s division

圖1 戰(zhàn)斗實力與戰(zhàn)斗效能對數(shù)關系（實際情況）Fig.1 Logarithmic relationship between combat power combat effectiveness（Actual situation）

圖2 突擊實力與戰(zhàn)斗效能對數(shù)關系（實際情況）Fig.2 Logarithmic relationship between assault power and combat effectivenss（Actual situation）

圖3 打擊實力與戰(zhàn)斗效能對數(shù)關系（實際情況）Fig.3 Logarithmic relationship between force power and combat effectiveness（Actual situation）

圖4 保障實力與戰(zhàn)斗效能對數(shù)關系（實際情況）Fig.4 Logarithmic relationship between support power and combat effectiveness（Actual situation）

圖5 戰(zhàn)斗實力與戰(zhàn)斗效能對數(shù)關系（假設情況）Fig.5 Logarithmic relationship between combat power and combat effectiveness（Hypothetical situation）

由式（32）可計算得η＝4.466 5×10－69，ht＝7.390 2，hd＝7.056 7，hz＝6.863 6。這樣，基于突擊力、打擊力和保障力等綜合的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

由表1實際情況數(shù)據(jù)和理論模型知：bdt＝1.051 6，δt＝22.170 8，δd＝21.170 0，δt／δd＝1.047 3，ht／hd＝7.390 2／7.056 7＝1.047 3，滿足式（35）。將表1中xt、xd和xz數(shù)據(jù)代入式（37）、（38）和（39）中，計算結(jié)果與表1中相應的Ex值基本一致，聯(lián)系到雙對數(shù)坐標圖的點列分布狀態(tài)（圖1～4），可認為該師戰(zhàn)斗力形態(tài)演化具有自仿射的分形結(jié)構(gòu)。而且，ht，hd和hz具體數(shù)值均為非整數(shù)或整數(shù)之比，系統(tǒng)是分數(shù)維的。

根據(jù)表1假設情況數(shù)據(jù)和最小二乘法，可計算得戰(zhàn)斗實力與戰(zhàn)斗效能的動力相似模型為

顯然，由式（36）～式（44）可知，相關指數(shù)R′20?R20，說明戰(zhàn)斗力分形特性出現(xiàn)了退化，表現(xiàn)為第3～第8個戰(zhàn)斗日傷亡較大，其原因一般是情報不準、決策失誤、執(zhí)行不力、敵人善戰(zhàn)等，其本質(zhì)是戰(zhàn)斗力各要素大小及其關系發(fā)生了變化，使預期戰(zhàn)斗力分形結(jié)構(gòu)遭到破壞。又可知，變量指數(shù)或維數(shù)δ′0?δ0，說明兩種情況的戰(zhàn)斗力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不一樣。根據(jù)分形理論，維數(shù)越大，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)就越復雜，系統(tǒng)運行效率也越大，但對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠性提出了較高要求，因為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)一旦破壞就很難恢復。因此，制定戰(zhàn)斗方案時應考慮多種情況協(xié)同，強化戰(zhàn)斗預備隊和臨機決策的作用等。

8 結(jié)語

戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形特性是大自然分形特性的具體表現(xiàn)，是戰(zhàn)斗力固有的基本性質(zhì)。對于預期的戰(zhàn)斗力，戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形模型可表述成戰(zhàn)斗力各要素相關的冪指數(shù)函數(shù)形式，具有自仿射特征。只有保持生成系數(shù)比與相應戰(zhàn)斗力構(gòu)成要素的比值恒定，才能使戰(zhàn)斗力最大。如果外部和內(nèi)部條件不能滿足有關要求，則戰(zhàn)斗力形態(tài)演化將會發(fā)生重大變化，即戰(zhàn)斗力突然增大或減小，這往往意味著戰(zhàn)機將要出現(xiàn)。因此，運用分形理論研究戰(zhàn)斗力，不僅有助于揭示戰(zhàn)斗力的本質(zhì)和規(guī)律，闡釋克敵制勝的機理和方法，而且還可使戰(zhàn)斗方案和戰(zhàn)斗組織更加合理，針對破壞戰(zhàn)斗力分形結(jié)構(gòu)的因素進行分析，從而創(chuàng)造和把握戰(zhàn)機，為化解戰(zhàn)場危機、探索制勝機理提供依據(jù)。

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