分離壓對(duì)不同基底上含活性劑液滴鋪展特征的影響

楊保才，葉學(xué)民，李春曦

(華北電力大學(xué)能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北保定071003)

0 引言

薄液膜在基底表面上流動(dòng)展現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特征，如表面波形態(tài)、去濕結(jié)構(gòu)、接觸線等，其在汽車涂膜，數(shù)字儲(chǔ)存設(shè)備制造，傳熱傳質(zhì)等方面具有廣泛的應(yīng)用［1－2］。不同外力驅(qū)動(dòng)下液膜的流動(dòng)行為一直是流體力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。驅(qū)動(dòng)力可以是熱毛細(xì)力、重力、離心力、電場(chǎng)力等，當(dāng)液膜或液滴中含有表面活性劑時(shí)，驅(qū)動(dòng)力也可以是由濃度梯度引起的Marangoni 效應(yīng)，其在生物、航空航天及化工等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用［3－4］。

對(duì)于非平整壁面上液膜的流動(dòng)現(xiàn)象，近年來得到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［5］研究了流經(jīng)連續(xù)矩形基底的液膜形態(tài)，分析了重力、慣性力及基底高度對(duì)液膜流動(dòng)的影響。文獻(xiàn)［6］模擬了底部均勻加熱的波狀基底上液膜的流動(dòng)行為，研究表明處于基底波峰處的液體逐漸向波谷處流動(dòng)，最終液膜發(fā)生破斷，而加入分離壓可有效阻止液膜破斷現(xiàn)象。文獻(xiàn)［7］建立了溝槽表面液滴在剪切氣流下脫落的力學(xué)模型，表明液滴脫落所需要的風(fēng)速隨溝槽尺寸增大而提高。文獻(xiàn)［8］對(duì)波狀基底上的液滴鋪展加入活性劑影響，發(fā)現(xiàn)液膜在基底凹處形成明顯的去潤濕現(xiàn)象。

分離壓是影響液膜流動(dòng)行為的重要因素之一，當(dāng)液膜厚度處于微納級(jí)時(shí)，其流動(dòng)特性會(huì)受到包括周圍液體分子和固液分子間的范德華引力、雙電層斥力和短程結(jié)構(gòu)斥力等作用力的影響［9－10］，文獻(xiàn)［11］在研究超薄液膜的去潤濕現(xiàn)象時(shí)，引入分離壓模型，發(fā)現(xiàn)分離壓中的范德華引力是導(dǎo)致液膜失穩(wěn)，形成破斷或去潤濕結(jié)構(gòu)的直接誘因。文獻(xiàn)［12］研究了帶有電荷的活性劑液滴的鋪展行為，并分析了雙電層斥力對(duì)鋪展過程的影響。文獻(xiàn)［10、13］建立了包含范德華力、Born 斥力和靜電斥力的分離壓模型，并采用非模態(tài)理論對(duì)含活性劑液膜去潤濕現(xiàn)象進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。

實(shí)際應(yīng)用中，液滴多為在非平整壁面上鋪展，且壁面結(jié)構(gòu)的多樣性和復(fù)雜程度將在不同程度上影響液滴的鋪展過程;而且，當(dāng)鋪展液膜厚度處于分離壓作用范圍時(shí)，分離壓作用不容忽視，基底作用與分離壓作用結(jié)合勢(shì)必對(duì)液滴產(chǎn)生獨(dú)特的鋪展特征。而同時(shí)考慮表面活性劑、分離壓及不同基底結(jié)構(gòu)對(duì)液滴的鋪展影響，目前尚未有報(bào)道。本文根據(jù)潤滑理論［14－15］，通過引入受活性劑影響的分離壓模型，借助數(shù)值模擬研究表面活性劑、分離壓及基底結(jié)構(gòu)耦合作用下液滴獨(dú)特的鋪展行為。

1 理論模型及演化方程組

1.1 液滴鋪展物理模型

如圖1所示，D*為基底高度，在函數(shù)為s*(x*)的基底上預(yù)置一層厚度為Hb

*－s*(x*)液膜，初始時(shí)刻將一滴含不溶性活性劑的液滴放置在此液膜上，則液滴在活性劑濃度、基底和分離壓的共同作用下鋪展。假設(shè)活性劑液滴為不可壓縮牛頓流體，動(dòng)力黏度μ*和密度ρ*均為常數(shù)，基底壁面無滑移、無滲透，忽略氣體黏性影響。液滴最大高度H*與流動(dòng)方向尺度L*相比非常小，即滿足∈=H*/L*《1，符合潤滑理論［14－15］。(上標(biāo)“*”代表有量綱量)

圖1 非平整壁面上含不溶性活性劑液滴的鋪展示意圖Fig.1 Schematic diagram of the spreading of liquid droplet with insoluble surfactants on uneven topography.

1.2 演化模型的建立

對(duì)于不可壓縮、粘性牛頓流體的活性劑溶液鋪展過程，其控制方程包括連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和濃度輸運(yùn)方程。邊界條件包括壁面上的無滑移、無滲透條件及接觸界面上的法向和切向應(yīng)力平衡方程。

無量綱的連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程及濃度輸運(yùn)方程為

表面張力關(guān)系式為

無量綱邊界條件為

分離壓Λ 采用與文獻(xiàn)［11］所提模型類似的形式

本文所建模型不同之處在于，χV和χB均為與活性劑濃度有關(guān)的線性函數(shù)。即χV=1 +α1Σ，χB=1 +α2Σ，其中α1、α2表征與活性劑濃度關(guān)聯(lián)系數(shù)，如無特殊說明α1=α2=1。本文采用該模型分析含活性劑液滴在不同結(jié)構(gòu)壁面上的鋪展動(dòng)力學(xué)特征。

結(jié)合式(1)～(10)，通過積分可得液膜高度h和活性劑濃度Σ的演化方程組:

式(11)～(12)即為受分離壓作用、含不溶性活性劑溶液非均勻鋪展理論模型。上式中包含ζ、η 和Λ 的項(xiàng)分別代表Marangoni 效應(yīng)、毛細(xì)力和分離壓對(duì)h 和Σ演化的貢獻(xiàn)，通過求解該方程組可獲得液滴鋪展特征。

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 初始條件及邊界條件

采用PDECOL 程序［12，18］求解演化方程式(11)和式(12)。根據(jù)演化尺度選取0 ＜x ＜15 一維區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，模擬中將其劃分為2 000 個(gè)均勻網(wǎng)格，與網(wǎng)格數(shù)3 000 相比，計(jì)算誤差僅降低0.06%，滿足計(jì)算精度要求。

初始液膜高度和活性劑濃度分布為

式中:Q(x)= 0.5［1 + tanh(100x)］為海氏階躍函數(shù)。其中，預(yù)置液膜高度Hb=0.3;初始活性劑濃度Σ0=1。

液滴鋪展過程中保證活性劑摩爾總量守恒，即

壁面函數(shù)s(x)為x 的任意函數(shù)，通過改變s(x)就可以得到不同的表面特征。本文采用凹槽狀、鋸齒狀、三角狀、梯形狀和余弦狀來討論不同基底結(jié)構(gòu)對(duì)液滴鋪展特征的影響。

凹槽狀基底函數(shù)為

式中:凹槽深度D=0.2;斜度δ=0.1;寬度w=2。鋸齒狀基底函數(shù)為

三角狀基底函數(shù)為

梯形狀基底函數(shù)為

余弦狀基底函數(shù)為

式(16)～(20)中，基底高度D =0.2，基底波數(shù)k=2。

2.2 結(jié)果分析

為比較分離壓作用的影響，首先給出不考慮分離壓時(shí)的演化特征。圖2 為Λ =0 時(shí)不同結(jié)構(gòu)基底上液膜高度和活性劑濃度的演化過程。由圖可知，總體上各基底上液膜高度演化趨勢(shì)相同，隨時(shí)間持續(xù)，液滴中心高度下降，鋪展前沿附近衍生出不規(guī)則的子波結(jié)構(gòu)。隨時(shí)間延續(xù)子波數(shù)量增加，同時(shí)受基底和活性劑影響波谷附近液膜產(chǎn)生凹陷，而基底駝峰處液膜產(chǎn)生隆起。但與文獻(xiàn)［5］不考慮活性劑影響相比，其凹陷深度與隆起高度均增大。這與文獻(xiàn)［19］得出的活性劑加劇液膜表面變形程度結(jié)論一致。

液滴在不同結(jié)構(gòu)基底上鋪展，液膜表面形態(tài)不同之處主要表現(xiàn)在基底波峰和波谷處。圖2(a)和2(c)表明，最小液膜高度集中在基底第一波谷處，這是由于液滴鋪展半徑(此處活性劑濃度梯度最大)處于基底第一波谷處，Marangoni 效應(yīng)明顯，液體更快地向下游擴(kuò)散;同時(shí)受基底波谷影響，液體局部壓力減小，流速增大，液膜產(chǎn)生凹陷［5，8］。兩種作用疊加使第一波谷處液膜高度急劇下降，甚至緊貼壁面，加速誘發(fā)去潤濕現(xiàn)象的發(fā)生［8］。而圖2(e)、2(h)、2(g)表明，t=1 時(shí)液滴鋪展半徑處于基底第一波谷附近，此時(shí)受到波谷作用明顯，液膜高度較低;隨時(shí)間持續(xù)，液滴鋪展半徑前移且逐漸受到基底波峰作用，液膜高度增大，最小液膜高度則移動(dòng)至第二波谷處。而比較基底波峰處液膜高度可知，鋸齒狀液膜高度最大，這是因?yàn)殇忼X狀波峰處曲率較大，引起的壓力增長明顯。文獻(xiàn)［5，8］指出基底表面不平整越大，液膜變形越明顯。本文亦得出相同結(jié)論。

由活性劑濃度示意圖可知，隨鋪展范圍增大活性劑濃度不斷降低，但由于受粘性遲滯作用，液滴中心處活性劑濃度擴(kuò)散較慢，濃度剖面近似于“平臺(tái)狀”。而受基底表面曲率影響基底波谷處液膜高度較小，對(duì)應(yīng)的活性劑濃度梯度較大，而波峰處液膜高度較大，活性劑濃度梯度較小;造成鋪展前沿附近活性劑濃度剖面呈現(xiàn)波動(dòng)特征，這與平整基底上的濃度演化歷程有所不同。

圖2 Λ=0 時(shí)( a，b) 凹槽狀、( c，d) 鋸齒狀、( e，f) 三角狀、( h，i) 梯形狀、( g，k) 余弦狀表面液膜高度和活性劑濃度的演化歷程Fig.2 Evolutions of the film height and surfactant concentration on ( a，b) consecutive trench，( c，d) sawtooth，( e，f) triangular，( h，i) trapezoidal and ( g，k) cosine wave surfaces at Λ=0.

當(dāng)考慮分離壓作用(Λ ≠0)時(shí)，液滴的演化時(shí)間縮小至t=1。其演化過程如圖3所示(如無特殊說明α1=1，α2=1)。受分離壓影響，鋪展前沿附近衍生出的不規(guī)則子波結(jié)構(gòu)明顯減少，鋪展后期液膜高度整體呈類基底形狀變化。形成與Λ =0 時(shí)截然不同的演化特征。與Λ =0 時(shí)對(duì)比可知，分離壓作用下，基底波峰處液膜高度下降，波谷處液膜高度上升，尤其圖3(a)、3(b)基底第一波谷處液膜高度不再緊貼壁面，去潤濕現(xiàn)象消失。說明分離壓抑制活性劑及基底影響，使液膜變形程度減緩，鋪展更加穩(wěn)定。文獻(xiàn)［20］在分析分離壓對(duì)平整壁面上液滴鋪展影響時(shí)，指出分離壓作用下液滴半徑處并未形成明顯的去潤濕特征。液滴演化穩(wěn)定性增強(qiáng)，本文亦得出相同結(jié)論。

圖3 Λ ≠0 ( a，b) 凹槽狀、( c，d) 鋸齒狀、( e，f) 三角狀、( h，i) 梯形狀、( g，k) 余弦狀表面液膜高度和活性劑濃度的演化歷程Fig.3 Evolutions of the film height and surfactant concentration on ( a，b) consecutive trench，( c，d) sawtooth，( e，f) triangular，( h，i) trapezoidal and ( g，k) cosine wave surfaces at Λ≠0.

由活性劑濃度示意圖可知，分離壓作用下，液滴中心活性劑濃度擴(kuò)散速率加快，進(jìn)而形成凹陷。隨時(shí)間延續(xù)，凹陷程度加劇且逐漸向下游擴(kuò)展，表明分離壓有助于緩解粘性遲滯作用，從而促進(jìn)液滴鋪展。而與Λ=0 時(shí)相比，鋪展前沿附近濃度剖面波動(dòng)特征消失，液滴鋪展更加穩(wěn)定。

為對(duì)比分離壓對(duì)液滴在不同基底上液滴鋪展的影響，圖4 給出了t=1 時(shí)，Λ=0 和Λ≠0 時(shí)鋪展前沿半徑Xf和液滴中心高度Hm隨時(shí)間的演化行為。圖4(a)表明，Λ =0 時(shí)凹槽狀基底Xf增長速率最小為t0.26，鋸齒狀基底為t0.27，梯形狀、余弦狀和三角狀基底增長速率近似相等分別為t0.28、t0.283和t0.285但均大于凹槽狀和鋸齒狀的增長率。由圖4(b)可知，Hm隨時(shí)間持續(xù)整體呈下降趨勢(shì)。其中凹槽狀下降速率較慢為t－0.08，鋸齒狀下降速率稍快為t－0.086，梯形狀、余弦狀和三角狀基底下降速率進(jìn)一步加快，Hm符合關(guān)系t－0.09、t－0.092和t－0.094。

Λ≠0 時(shí)(α1=1，α2=1)Xf變化趨勢(shì)與Λ =0時(shí)相同，但增長速率明顯加快。其中凹槽狀基底較為明顯為t0.29，快于鋸齒狀的t0.286，而梯形狀、余弦狀和三角狀增長速率相等為t0.305，均大于Λ =0時(shí)相應(yīng)的增長率。Λ≠0 時(shí)Hm變化與Λ =0 時(shí)有所不同，其中，凹槽狀變化最為明顯，其下降速率由Λ=0 時(shí)t－0.08加快為Λ≠0 時(shí)的t－0.16，梯形狀、余弦狀和三角狀Hm下降速率加快為t－0.14，快于鋸齒狀的t－0.12。說明分離壓作用下液滴鋪展速率加快。

3 結(jié)論

不計(jì)及分離壓時(shí)，隨時(shí)間延續(xù)，液滴鋪展前沿處開始衍生出不規(guī)則子波。鋪展半徑處最小液膜高度持續(xù)降低，誘發(fā)去潤濕現(xiàn)象發(fā)生。不平整度越大基底表面上液膜變形越明顯。

分離壓作用下液滴在不同結(jié)構(gòu)基底上鋪展時(shí)，液膜高度整體呈類基底形狀變化。與Λ=0 時(shí)相比，鋪展前沿處子波結(jié)構(gòu)明顯減少，而鋪展半徑處最小液膜高度顯著增加，相對(duì)Λ=0 時(shí)鋪展更加穩(wěn)定。分離壓具有抑制液膜變形和促進(jìn)液滴鋪展的作用。

分離壓作用下鋪展前沿半徑Xf增長速率提高，液滴中心高度Hm下降速率加快。分離壓對(duì)凹槽基底液滴鋪展促進(jìn)作用最為明顯。

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