如何準(zhǔn)確理解與表述泊松定理

翟明娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

如何準(zhǔn)確理解與表述泊松定理

翟明娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文章明確了對(duì)泊松定理?xiàng)l件中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”的準(zhǔn)確理解；指出產(chǎn)生誤解的原因，因而對(duì)泊松定理的重述很有必要。最后，給出泊松定理的準(zhǔn)確表述，并進(jìn)一步說明現(xiàn)有部分教材中的泊松定理是重述的泊松定理的一種特殊情形。

伯努利試驗(yàn)的特征；泊松定理；特例

1 引言

泊松定理是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要定理，在二項(xiàng)分布的近似計(jì)算中應(yīng)用廣泛。但現(xiàn)有教材對(duì)該定理的敘述不準(zhǔn)確，不利于學(xué)生對(duì)其正確理解。如茆詩(shī)松等編著的普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）》中的泊松定理的表述為：在n重伯努利試驗(yàn)中，記事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn（與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng)時(shí)n→∞，有npn→λ，則

該定理中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn（與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)）”的這一敘述不僅不準(zhǔn)確，而且很容易誤導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生對(duì)二項(xiàng)分布中的參數(shù)p產(chǎn)生錯(cuò)誤理解：認(rèn)為二項(xiàng)分布中事件A的概率p是變化的，即隨著試驗(yàn)次數(shù)n的變化而變化。

教材[2]中的泊松定理的表述與教材[1]中的表述完全相同。另外，普通高等教育“十一五”規(guī)劃教材[3]-[5]中對(duì)泊松定理的表述與上述表述略有不同，雖然沒有明確說明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，但仍隱含“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與n有關(guān)”。學(xué)生對(duì)這些教材中所表述的泊松定理不僅難以理解，而且容易與二項(xiàng)分布的正確理解發(fā)生沖突，形成學(xué)習(xí)過程中不應(yīng)該有的一個(gè)障礙。

泊松定理講述的是二項(xiàng)分布與泊松分布具有如下關(guān)系：當(dāng)二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n較大同時(shí)p較小時(shí)二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。泊松定理的這一結(jié)論完全正確，但學(xué)生對(duì)定理的條件中的部分表述難以理解：記事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn，括號(hào)中特別注明事件A的概率與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)。學(xué)生在學(xué)完二項(xiàng)分布之后，認(rèn)為在某個(gè)n重伯努利試驗(yàn)下產(chǎn)生的二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)n和p是不變的；即只要n重伯努利試驗(yàn)做完，n和p就確定了，就是不變的兩個(gè)常數(shù)。尤其是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p是不變的，即不管做了幾重的伯努利試驗(yàn)，也不管A事件在第幾次試驗(yàn)中，其發(fā)生的概率都是同一個(gè)數(shù)p，是不變的，即p不會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)n的變化而變化。而從現(xiàn)有教材對(duì)泊松定理的表述中很自然地認(rèn)為：事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，隨試驗(yàn)次數(shù)n變化而變化，不再具有不變性。這樣不就矛盾了嗎？到底哪一種理解對(duì)？哪一種理解錯(cuò)？如果錯(cuò)，錯(cuò)在什么地方？應(yīng)如何糾正？

要正確回答以上幾個(gè)問題，需要從二項(xiàng)分布的定義和產(chǎn)生二項(xiàng)分布的伯努利試驗(yàn)的特性等方面來入手。

2 n重伯努利試驗(yàn)中的二項(xiàng)分布

教材[1]對(duì)二項(xiàng)分布的定義為：如果設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中A事件出現(xiàn)的次數(shù)，則X的分布列為：P（X=k）=Cnkpk（1-p）n-k，k=0,1,…，n；稱此分布為參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作B(n,p)。從該定義可得二項(xiàng)分布的應(yīng)用場(chǎng)合為：n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。既然二項(xiàng)分布的應(yīng)用場(chǎng)合為n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，那對(duì)伯努利試驗(yàn)的判別就很關(guān)鍵，因?yàn)橹挥性诓囼?yàn)中才能產(chǎn)生服從二項(xiàng)分布的變量。

2.1 n重伯努利試驗(yàn)及其特征

如果n個(gè)試驗(yàn)E1的任一結(jié)果、E2的任一結(jié)果、……、En的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的事件，則稱此n個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立。如果這n個(gè)獨(dú)立試驗(yàn)還是相同的，則稱其為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。如果在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的可能結(jié)果為兩個(gè)：A或Aˉ，則稱這種試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn)[1]。比如一個(gè)班級(jí)有N個(gè)同學(xué)，某次統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試有M個(gè)同學(xué)及格。從該班級(jí)中有放回觀測(cè)n個(gè)同學(xué)的成績(jī)，每次抽取一位同學(xué)并觀測(cè)其成績(jī)是否及格，共觀測(cè)n次，則該試驗(yàn)就可以看作是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。因?yàn)閷?duì)于每次抽中的學(xué)生，均觀測(cè)其成績(jī)是否及格，則此次試驗(yàn)為重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)；又因?yàn)槊看卧囼?yàn)的可能結(jié)果為兩個(gè)：不是及格就是不及格；因此觀測(cè)每個(gè)同學(xué)的成績(jī)是否及格就是做一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。

通過上例，伯努利試驗(yàn)的特性可概括為：結(jié)果具有對(duì)立性、概率具有不變性、試驗(yàn)具有獨(dú)立性[6]。對(duì)立性是指每次觀測(cè)結(jié)果僅有兩個(gè)A與Aˉ，如在上例中則為：每次抽中同學(xué)的成績(jī)要么及格（A），要么不及格（Aˉ）。不變性是指事件A在每一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率都是相等的，是指每次抽中的同學(xué)及格的概率都是若A表示“第i次抽中同學(xué)的成i績(jī)及格”，i=1,2,…，n,則有P(A1)=P(A2)=…=P(An)= P(A)=p。獨(dú)立性[2]是指各次觀測(cè)的結(jié)果互不影響，即n次觀測(cè)中的任意某一次或某幾次的觀測(cè)結(jié)果不影響其它任意某一次或某幾次的觀測(cè)結(jié)果，比如上例中不管第i次抽中的同學(xué)是否及格都不影響第j次抽中的同學(xué)是否及格；即有：等。

具體問題中可利用上述三個(gè)特性來判斷n次觀測(cè)是否是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。例如：某生產(chǎn)車間有n臺(tái)獨(dú)立工作的同類型機(jī)床（該類型機(jī)床的故障率為p），每臺(tái)機(jī)床均生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品?，F(xiàn)對(duì)該車間進(jìn)行檢修就是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。因?yàn)閷?duì)每臺(tái)機(jī)床來說要么出故障，要么沒故障（對(duì)立性）、每臺(tái)機(jī)床出故障的概率都為p（不變性）、第i臺(tái)機(jī)床是否出故障不影響第j臺(tái)機(jī)床是否出故障（獨(dú)立性）。因?yàn)楣矙z查n次，所以此次檢修中該車間出故障的機(jī)床數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布B（n,p）。

2.2 二項(xiàng)分布中參數(shù)的性質(zhì)

由上所述可知事件A發(fā)生的概率p具有不變性，這個(gè)不變性具體體現(xiàn)在三方面：一是不管這個(gè)伯努利試驗(yàn)做了多少重，是10重還是20重；二是不管在第幾次試驗(yàn)中，在第1次試驗(yàn)中還是在第5次試驗(yàn)中；第三，不管A事件在某次試驗(yàn)中是否發(fā)生，其概率p均是不變的。概率p的不變性正是伯努利試驗(yàn)所具有的獨(dú)立重復(fù)特性的外在表現(xiàn)。教材中雖然沒有給出參數(shù)的這種性質(zhì)的明確表述，但在給出重伯努利試驗(yàn)的概念和二項(xiàng)分布的定義之后所舉的例子中均體現(xiàn)了這一點(diǎn)，學(xué)生的潛意識(shí)里均認(rèn)為p是不變的。

3 泊松定理的準(zhǔn)確表述

3.1 對(duì)泊松定理的誤解及產(chǎn)生誤解的原因分析

再返回看泊松定理有關(guān)事件A的概率的敘述：記事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn，與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)。表面看來，這與二項(xiàng)分布中事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率具有的不變性是相互矛盾的，學(xué)生也常常針對(duì)教材中這兩處“自相矛盾”的地方提出異議。究其原因，是由于學(xué)生對(duì)二項(xiàng)分布的應(yīng)用場(chǎng)合不清楚，即對(duì)n重伯努利試驗(yàn)的特征認(rèn)識(shí)不清以及泊松定理本身的表述不準(zhǔn)確而造成的，尤其是泊松定理本身對(duì)“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”這一表述不準(zhǔn)確極易誤導(dǎo)學(xué)生造成的。

因?yàn)閷?duì)泊松定理“在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)”中的“n重伯努利試驗(yàn)”存在如下三種理解：第一，n重伯努利試驗(yàn)為相同重?cái)?shù)的不同的伯努利試驗(yàn)序列。此時(shí)，事件A不同，則事件A的概率也就不同。比如一次拋擲一枚骰子，共拋n次的第一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A表示“每次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)”，則在一次拋擲一枚硬幣，共拋n次的第二個(gè)n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A表示“每次拋擲后正面朝上”這一隨機(jī)事件，則在這兩個(gè)相同重?cái)?shù)的不同伯努利試驗(yàn)中，由于事件A是不同的事件，導(dǎo)致了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是不同的，表面看來不再具有不變性，但這種情況下事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率的不同與二項(xiàng)分布中事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率的不變性并不矛盾。也就是說，按照這種理解，泊松定理中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)”與二項(xiàng)分布中事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率的不變性本質(zhì)上是不矛盾的；但此時(shí)導(dǎo)致p變化的原因并不是像教材[1、2]中所述的“與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”，導(dǎo)致變化的原因是由于伯努利試驗(yàn)本身是不同的，與試驗(yàn)次數(shù)n毫無(wú)關(guān)系。

第二，n重伯努利試驗(yàn)為不同重?cái)?shù)的不同的伯努利試驗(yàn)序列。此時(shí)，同樣由于事件A本身不同，則事件A的概率p也就不同。比如一次拋擲一枚骰子，共拋n1次的第一個(gè)n1重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A表示“每次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)”這一隨機(jī)事件，則在一次拋擲一枚硬幣，共拋n次的

2第二個(gè)n1重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A表示“每次拋擲后正面朝上”這一隨機(jī)事件，則在這兩個(gè)具有不同重?cái)?shù)的不同伯努利試驗(yàn)中，同樣由于不同的伯努利試驗(yàn)中事件A是不同的事件導(dǎo)致了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是不同的，表面看來不再具有不變性。巧合的是，在這種情況下，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率表面看來確實(shí)與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，即與伯努利試驗(yàn)的重?cái)?shù)有關(guān)。但實(shí)質(zhì)上這和第一種情況下事件A在一次試驗(yàn)中概率的不同是由于相同的原因造成的，都是由于伯努利試驗(yàn)是不同的試驗(yàn)才表現(xiàn)為事件A發(fā)生的概率不同。即在這種理解下，泊松定理中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)”與二項(xiàng)分布中事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率的不變性本質(zhì)上不矛盾，但教材中泊松定理對(duì)伯努利試驗(yàn)的表述應(yīng)該為一系列不同的伯努利試驗(yàn)序列（該序列中每個(gè)試驗(yàn)的重?cái)?shù)可以相同，也可以不同），而不是一個(gè)伯努利試驗(yàn)。

第三，n重伯努利試驗(yàn)為不同重?cái)?shù)的相同的伯努利試驗(yàn)序列。事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p是不變的，這與泊松定理中的“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)”就是一個(gè)矛盾。比如一次拋擲一枚骰子，共拋10次的第一個(gè)伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A仍表示“每次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)”這一隨機(jī)事件，則在一次拋擲一枚骰子，共拋20次的第二個(gè)伯努利試驗(yàn)中，則事件A的概率是不變的，與伯努利試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)n沒有一點(diǎn)關(guān)系。因此，在這個(gè)不同重?cái)?shù)相同伯努利試驗(yàn)所產(chǎn)生的不同的伯努利試驗(yàn)序列中，由于事件A是同樣的事件，其在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率具有不變性，在這種情形下，泊松定理中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)”與二項(xiàng)分布中事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率的不變性就是矛盾的。

3.2 泊松定理的準(zhǔn)確表述

由上所述，對(duì)泊松定理中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”的三種理解中，只有第二種理解是完全正確的，第一種理解雖然避開了本質(zhì)矛盾，但和第三種理解一樣都難以逾越“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”這一理解障礙。另外，從教材內(nèi)容銜接角度上看，盡管教材中的“自相矛盾”只是表面現(xiàn)象，非本質(zhì)問題，不能因此判定教材中泊松定理的表述是錯(cuò)誤的，但至少是不準(zhǔn)確的，容易產(chǎn)生像如上所述的第一和第三種情況的誤解，故對(duì)泊松定理的重述很有必要。那又應(yīng)該怎樣重述?

對(duì)于泊松定理的準(zhǔn)確表述應(yīng)基于以下三點(diǎn)：一是為避免出現(xiàn)如上所述的第三種誤解，事件A應(yīng)明確是不同伯努利試驗(yàn)下的事件，事件不同其概率pn自然不同；二是為避免出現(xiàn)如上所述的第一種誤解，不同的伯努利試驗(yàn)應(yīng)該用不同重?cái)?shù)表示，這樣學(xué)生對(duì)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pn的變化原因的理解就不會(huì)產(chǎn)生分歧：是由于伯努利試驗(yàn)本身的不同造成的，與伯努利試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)；三是考慮到泊松分布當(dāng)參數(shù)λ充分大時(shí)其極限分布為正態(tài)分布這一結(jié)論，應(yīng)強(qiáng)調(diào)λ不應(yīng)太大，否則二項(xiàng)分布的極限分布為正態(tài)分布，而不是泊松分布了。

綜上所述，泊松定理應(yīng)表述為：有一系列的伯努利試驗(yàn)序列：在第i個(gè)n（ini為正整數(shù)）重的伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果Ai和表示事件Ai在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，Xi表示此ni重的伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)Ai的次數(shù)，則Xi～B（ni,pi），i=1，2，……，n，……。當(dāng)隨機(jī)變量序列｛Xi｝的參數(shù)列｛(ni,pi）｝（i=1，2，……，n，……）滿足

即泊松定理的實(shí)質(zhì)是：當(dāng)二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)滿足：第一個(gè)參數(shù)ni充分大，且此時(shí)兩個(gè)參數(shù)的乘積nipi不太大時(shí)，其極限分布為參數(shù)為nipi的泊松分布。該定理的證明和現(xiàn)有教材中的證明類似，只需將現(xiàn)有教材證明過程中的n換成ni，pn換成pi即可，不再贅述。

3.3 教材中的泊松定理是重述的泊松定理的一個(gè)特例

在3.2中所述的泊松定理中，令ni=i，則此定理為教材[1]-[5]中所述的泊松定理。進(jìn)一步，若理解了泊松定理的實(shí)質(zhì)，記二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)仍為n,p，則重述的泊松定理就是教材[7]中所述的泊松定理。因此，教材[1]-[6]中的泊松定理只是重述的泊松定理的一種特殊情形。

4 結(jié)論

泊松定理給出特定類型的二項(xiàng)分布和泊松分布的關(guān)系，在二項(xiàng)分布的近似計(jì)算中應(yīng)用廣泛。但多數(shù)教材對(duì)于泊松定理的相關(guān)表述不準(zhǔn)確，學(xué)生對(duì)此不僅難以理解，而且容易與二項(xiàng)分布的正確理解發(fā)生沖突，形成學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中不應(yīng)該有的一個(gè)障礙。鑒于此，文章首先指出多數(shù)教材對(duì)該定理的相關(guān)表述不準(zhǔn)確，容易產(chǎn)生誤解；其次借助于n重伯努利試驗(yàn)的特征及對(duì)教材中泊松定理相關(guān)表述的三種理解基礎(chǔ)之上，明確了泊松定理的條件中“事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)”的準(zhǔn)確理解；同時(shí)指出產(chǎn)生誤解是由于泊松定理的敘述不準(zhǔn)確造成的，從而對(duì)泊松定理的重述很有必要。最后，給出泊松定理的準(zhǔn)確表述，并進(jìn)一步指出現(xiàn)有教材[1]-[6]中的泊松定理是文中重述的泊松定理的一種特殊情形。

［1］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2011，93—99.

［2］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，1983，65—66

［3］盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，37—38.

［4］韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006，38—39.

［5］楊振明.概率論（第二版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2004，66.

［6］翟明娟.概率統(tǒng)計(jì)中有關(guān)超幾何分布的一個(gè)誤解［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2014（03）:26—28.

［7］沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003，47—48.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

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A

1673-2015（2015）05-0061-04

2015—08—13

翟明娟（1976—）女，山西運(yùn)城人，副教授，主要從事統(tǒng)計(jì)方法及其應(yīng)用方向研究。