利用行列式的幾何意義解釋Cramer法則

王嬌

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

利用行列式的幾何意義解釋Cramer法則

王嬌

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

文章引入了體積函數(shù)的概念，給出了三階行列式的幾何意義，并利用該幾何意義解釋三元線性方程組的Cramer法則。

體積函數(shù)；行列式；Cramer法則

1 引言

首先給出體積函數(shù)的定義如下：

定義1設(shè)A=（α1，α2，α3）?R3×3，V（A）表示以α1,α2,α3為鄰邊的平行六面體的體積，稱V（A）為關(guān)于矩陣A的體積函數(shù)。

顯然，若α1，α2，α3線性相關(guān)，記V（A）=0，而det（A）=0，有det（A）=V（A）。若α1，α2，α3線性無關(guān)，特別地，當(dāng)A為單位矩陣時，V（A）表示以

為鄰邊的正方體（如圖1）的體積，即V（A）=1，而det（A）=1，有det（A）=V（A）。

但det（A）可正可負，而V（A）≥0，故考慮在一般情況下，對于?A?R3×3，是否都有V（A）＝det（A）的問題。

2 行列式的幾何意義

2.1 體積函數(shù)的性質(zhì)

下面三階行列式的列的性質(zhì)可以推廣到體積函數(shù)中來。

（1）交換行列式兩列，行列式改變符號；

（2）把行列式某一列的倍數(shù)加到另一列，行列式的值不變；

（3）用一個數(shù)乘行列式某一列的所有元素就等于用這個數(shù)乘此行列式。

對A=（α1，α2，α3）?R3×3，則相應(yīng)的體積函數(shù)的性質(zhì)如下：

（1）交換A的任意兩列，V（A）保持不變；

2.2 行列式的幾何意義

在一般情況下，設(shè)

3 Cramer法則的幾何解釋

設(shè)有三元線性方程組

將它寫成向量的形式：

為了幾何解釋的方便起見，設(shè)x1，x2，x3＞0?？紤]分別由向量x1α1，x2α2，x3α3和向量b，x2α2，x3α3生成的兩個平行六面體（如圖2）

這兩個平行六面體有相同的由x2α2，x3α3生成的底面，它們也有相同的高h（這是因為由(2)式可知，它們的頂面含于同一個平面內(nèi)），所以它們有相同的體積，即

由行列式的幾何意義可知

從而可得

實際上，由(2)式可知

從而有

同樣可以求出x2，x3。這樣，利用體積函數(shù)解釋了三元線性方程組的Cramer法則。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［2］邱森，朱林生.高等代數(shù)探究性課題精編［M］.武漢大學(xué)出版社，2012.

［3］趙振華.廣義行列式與Cramer法則［J］.數(shù)學(xué)通

報，1993(9)：41-43.

［4］陳永林.約束線性方程組通解的顯式表示及Cramer法則［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1993，8(1)：61-70.

［5］王嬌，張凱院，李書連.多矩陣變量線性矩陣方程的廣義自反解的迭代算法［J］.數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，2013,34(1):9-19.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

0151.22

A

1673-2015（2015）05-0038-02

2015—06—17

王嬌（1988—）女，山東濟南人，碩士研究生，主要從事計算數(shù)學(xué)研究。