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    基于最小二乘法的測定金屬電阻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

    2015-12-10 17:08:16王鵬張季謙丁中俊
    物理教學(xué)探討 2015年11期
    關(guān)鍵詞:最小二乘法

    王鵬 張季謙 丁中俊

    摘 要:本文以測定金屬鋁的電阻率實(shí)驗(yàn)為例,對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換處理,運(yùn)用Origin8.0軟件建立數(shù)學(xué)模型和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn), 采用最小二乘法計算金屬鋁的電阻率。計算結(jié)果表明,利用最小二乘法計算金屬鋁的電阻率準(zhǔn)確可靠,誤差僅為0.424%。上述方法也可以很好地應(yīng)用于基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中,其他線性關(guān)系變量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析與處理過程。

    關(guān)鍵詞:最小二乘法;金屬電阻率;實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理;線性擬合

    中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-6148(2015)11-0059-3

    1 引言

    測定金屬的電阻率是物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中一個重要的實(shí)驗(yàn)[1-4]。近年來,科研工作者對此實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了一系列的研究,包括測定金屬電阻率的難點(diǎn)與考點(diǎn)[5],實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式的分析[6]、設(shè)計[7]與改進(jìn)[8],實(shí)驗(yàn)方案的優(yōu)化與創(chuàng)新[9-12],以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性處理與圖像處理等。然而,應(yīng)用最小二乘法處理“測定金屬電阻率”實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的研究目前未見報道。

    本文基于DISLab 測量與采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),運(yùn)用Origin8.0軟件建立其數(shù)學(xué)線性模型,得到其散點(diǎn)圖,從而可以直觀地觀察到散點(diǎn)圖呈直線型或曲線型。根據(jù)最小二乘法原理,對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性處理并進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),擬合計算出金屬鋁的電阻率。實(shí)驗(yàn)計算結(jié)果表明,利用最小二乘法求解金屬鋁的電阻率準(zhǔn)確可靠,相對誤差較小。

    2 實(shí)驗(yàn)?zāi)P团c基本原理

    2.1 測定金屬電阻率的實(shí)驗(yàn)?zāi)P?/p>

    本實(shí)驗(yàn)的依據(jù)是部分電路的歐姆定律和電阻定律:R=與ρ=。其中,U為金屬兩端電壓,I為通過其電流,S和L分別為其橫截面積與長度。將一定長度的金屬鋁絲Rx接入如圖1所示的電路圖中,采用伏安法測出其電阻R=。同時,測量出金屬的長度L及直徑D,從而計算出金屬絲的電阻率ρ=。

    圖1 測定金屬電阻率ρ電路圖

    閉合開關(guān),調(diào)節(jié)變阻器,使電表有明顯示數(shù)變化,數(shù)據(jù)采集器即可獲得n組電壓表和電流表相應(yīng)的數(shù)據(jù)(Ui,Ii)。

    2.2 最小二乘法原理

    已知兩變量為線性關(guān)系y=kx+b,實(shí)驗(yàn)獲得其n組含有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi)。若將這n組數(shù)據(jù)代入方程求解,則k、b之值無確定解。最小二乘法提供了一個求解的方法,其基本思想是擬合出一條“最接近”這n個點(diǎn)的直線。在這條擬合的直線上,各點(diǎn)相應(yīng)的y 值與測量值對應(yīng)縱坐標(biāo)值之偏差的平方和最小。根據(jù)統(tǒng)計理論,參數(shù)k和b計算公式是:

    k=(1)

    b=(2)

    2.3 相關(guān)系數(shù)γ

    相關(guān)系數(shù)γ表示數(shù)據(jù)(xi,yi)相互聯(lián)系的密切程度,以及擬合所得的線性方程的可靠程度。γ的計算公式如下:

    γ=(3)

    其中,γ的值在- 1~ + 1 之間。γ的絕對值越接近1,表明(xi,yi)相互聯(lián)系越密切, 線性方程的可靠程度越高,線性越好。

    3 最小二乘法擬合測定電阻率實(shí)測數(shù)據(jù)

    當(dāng)電壓表的數(shù)值U從20 mV以ΔU=10 mV為步長增加到100 mV時,分別測量出對應(yīng)電流表的數(shù)值I,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。其中,金屬絲的長度L和直徑d分別為0.35 mm與1.25 m。

    表1 測定金屬電阻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    首先,分別以U和I為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),其滿足線性函數(shù)關(guān)系I=U。對上述9組數(shù)據(jù)(Ui,Ii)進(jìn)行線性回歸分析,利用Origin8.0作圖軟件建立數(shù)學(xué)線性模型, 即散點(diǎn)圖,如圖2所示。

    圖2 U-I散點(diǎn)圖

    從圖2可以看出,這些散點(diǎn)關(guān)系近似于直線。選擇一條直線來表示U與I的關(guān)系, 即y=kx。根據(jù)這條直線的斜率k=,計算出金屬鋁的電阻率ρ=。

    根據(jù)已知數(shù)據(jù),n=9,=0.1632 A,=0.06 V,由公式(3)計算得到k=0.9997≈1。

    γ的數(shù)值說明公式y(tǒng)=kx中,y與x,即I與U的相互聯(lián)系密切程度和擬合所得的線性方程的可靠程度較高,表明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(Ui,Ii)關(guān)系幾乎是一條直線。

    根據(jù)公式(1)與(2)計算得

    k=2.72983,b=-5.55556×10-6。

    則線性方程為y=2.71983x+5.55556×10-6。對應(yīng)公式I=U,金屬鋁的電阻率ρ==2.818×10-8 Ω·m。而金屬鋁電阻率的理論值ρ理論=2.83×10-8 Ω·m,則實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對誤差為:

    E==0.424%。

    本實(shí)驗(yàn)中有一點(diǎn)值得注意:U與I的關(guān)系滿足正比例函數(shù)y=kx,因此如果實(shí)驗(yàn)測量準(zhǔn)確,(Ii,Ui)圖像應(yīng)該是一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線。但最小二乘法線性擬合出的結(jié)果存在一個截距,且散點(diǎn)圖左移而不通過坐標(biāo)原點(diǎn),原因是實(shí)驗(yàn)?zāi)P筒捎玫氖请娏鞅硗饨?,測量的電流為金屬鋁絲Rx和電壓表的電流之和,即I=I+Iv。這種處理對斜率計算結(jié)果不會造成影響,由斜率求得的金屬電阻率仍可靠準(zhǔn)確。

    4 結(jié) 論

    在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理(下轉(zhuǎn)第62頁)(上接第60頁)中,直線擬合是一個極其重要的數(shù)據(jù)處理手段。采用線性回歸分析與最小二乘法,對測定金屬電阻率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合處理。通過圖像斜率,計算了金屬鋁的電阻率,相對誤差約為0.424%。利用這種方法和原理,可以有效的提高數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性,在線性關(guān)系變量的實(shí)際求解中有著極其重要的作用。

    參考文獻(xiàn):

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    [3]王鵬,張季謙. 基于逐差法的測定金屬電阻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理[J].物理通報,2015(3):81—82.

    [4]張生斌. 對“測定金屬的電阻率”實(shí)驗(yàn)的教學(xué)改進(jìn)[J]. 物理教學(xué)探討,2009,27(7):57.

    [5]邵巍. A Study of the Method of Measuring the Conductivity Metal[J].計量與測試技術(shù),2012,39(12):43—45.

    [6]鄧鋰強(qiáng). 金屬電阻及電阻率研究的實(shí)驗(yàn)設(shè)計[J]. 實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù),2012,10(4):23—26.

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    [8]張君霞. 電橋法測金屬電阻率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理分析[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2014,27(2):97—98.

    [9]王鵬. Origin8.0軟件在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用——以“測定電源的電動勢和內(nèi)阻”作研究[J].物理通報,2014(12):79—81.

    [10]王鵬.基于Origin8.0軟件在運(yùn)動學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究[J]. 物理教學(xué)探討,2015,33(9):31—32.

    [11]蘭燕娜. 基于VB語言實(shí)現(xiàn)最小二乘法直線擬合[J]. 長江大學(xué)學(xué)報, 2011, 8(6): 92—94.

    [12]王鵬.最小二乘法在測定電源的電動勢和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]. 物理通報,2014(8):64—66.

    (欄目編輯 王柏廬)

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