對(duì)一道概率統(tǒng)計(jì)例題的研究性學(xué)習(xí)

楊斯瀚 侯宇陽(yáng) 代慧玲 左倩 魏代俊

摘要：研究性學(xué)習(xí)是創(chuàng)新知識(shí)的重要途徑，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新能力的重要舉措。本文以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中一個(gè)例題為例證，通過教師的引導(dǎo)、學(xué)生自主探索，逐步深入研究，展現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的過程，體現(xiàn)出研究性學(xué)習(xí)的樂趣和重要意義。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；研究性學(xué)習(xí)；教育教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）30-0170-02

一、引言

古語(yǔ)有云：讀書不知味，不如束高閣。蠹魚爾何如，終日食糟粕[1]。所謂學(xué)習(xí)，不是一味地去囫圇吞棗，而是在讀書中發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、思考問題，從而推陳出新，創(chuàng)造新的方法和知識(shí)。另一方面，創(chuàng)新教育是高等教育的核心，研究性學(xué)習(xí)則是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要途徑，大學(xué)生已具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)和自學(xué)能力，因此，高等教育是最適宜而且最需要開展研究性學(xué)習(xí)的場(chǎng)所[2-4]。高等教育所提倡的研究性學(xué)習(xí)，是從自身的學(xué)習(xí)生活、社會(huì)生活中選擇和確定研究專題或者遇到的疑難問題，以類似科學(xué)研究的方式主動(dòng)獲取知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，解決問題的過程。研究性學(xué)習(xí)的過程是一次次不斷更新知識(shí)、追求真理的過程，同時(shí)，與現(xiàn)代課堂教學(xué)理念所倡導(dǎo)的師生平等、教學(xué)相長(zhǎng)如出一轍。

研究性學(xué)習(xí)中，老師和學(xué)生各自要定位好自己的角色，教學(xué)要以學(xué)生為主體，老師要做好引導(dǎo)者，在引導(dǎo)中既不缺失也不越位，對(duì)有些問題“點(diǎn)到即止”，對(duì)總結(jié)性分析又要講解透徹。學(xué)生要做好行動(dòng)者，不僅要以參與者的身份對(duì)問題進(jìn)行研究學(xué)習(xí)，更重要的是要學(xué)會(huì)提出問題、探究問題的外延知識(shí)。許多學(xué)者對(duì)研究性學(xué)習(xí)的理論體系做了詳盡的研究，相比較而言，研究性學(xué)習(xí)的具體案例能更加感性、直觀地展現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的魅力，但這類研究還相對(duì)缺乏，本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)踐中一道《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材例題的學(xué)習(xí)為例，在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)疑問，由老師逐步引導(dǎo)，學(xué)生們展開探究性學(xué)習(xí)，以學(xué)生為主體從發(fā)現(xiàn)問題到提出質(zhì)疑并深入探索，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，展現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生們體會(huì)到研究性學(xué)習(xí)的樂趣和意義。

二、一道例題的研究性學(xué)習(xí)

1.提出問題。問題的發(fā)現(xiàn)或者課題的選定是研究性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是問題的發(fā)現(xiàn)需要老師和學(xué)生都保持一種好奇心和質(zhì)疑精神，特別是老師對(duì)于學(xué)生有些看似“奇怪”的問題應(yīng)該鼓勵(lì)和提倡，要以認(rèn)真的態(tài)度幫助學(xué)習(xí)分析問題，更重要的是老師要在教學(xué)中給予學(xué)生質(zhì)疑的權(quán)利和潛移默化的影響。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)實(shí)踐中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為工科、管理等學(xué)科的基礎(chǔ)課程，在各項(xiàng)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中都起到了十分重要的作用。在學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量及分布的內(nèi)容時(shí)，機(jī)械工業(yè)出版社的教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（范玉妹等編，第二版）第78頁(yè)，有這樣一道習(xí)題：某射手參加射擊比賽，共有4發(fā)子彈，設(shè)該射手的命中率為p，各次射擊是相互獨(dú)立的。試求：該射手直至命中目標(biāo)為止時(shí)的射擊次數(shù)的分布律。學(xué)生在做這道習(xí)題的時(shí)候給出了各種形式的解答，教材對(duì)應(yīng)的全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)（范玉妹等，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)》機(jī)械工業(yè)出版社（第二版）第42頁(yè)）則給出了這樣的解答：

解：以X表示射手的設(shè)計(jì)次數(shù)：X的可能取值為：1，2，3，4.

P（X=1）=p；P（X=2）=p（1-p）；

P（X=3）=p（1-p）■；P（X=2）=p（1-p）■

則X的分布律為：

課堂上，有部分同學(xué)認(rèn)為這樣的解答有問題，與他們思考解答的不一致，但基于對(duì)教材參考答案的權(quán)威性的認(rèn)同，只有極個(gè)別的學(xué)生向老師提出了質(zhì)疑，教師首先從敢于質(zhì)疑“權(quán)威”這樣的精神層面對(duì)提出質(zhì)疑的同學(xué)進(jìn)行了肯定，并希望這種精神能被其他同學(xué)所學(xué)習(xí)，這種精神能夠帶到今后的學(xué)習(xí)生活中去，然后教師針對(duì)這個(gè)具體問題提出了兩個(gè)問題讓全體同學(xué)思考：

（1）該問題的解答是否滿足概率的完備性？（2）如果不滿足，存在什么問題？經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，同學(xué)們很快發(fā)現(xiàn)解答結(jié)果不滿足完備性，因?yàn)橛邢率降慕Y(jié)論：

p+p（1-p）+p（1-p）■+p（1-p）■≥1 （1）

要滿足（1）當(dāng)且僅當(dāng)p=1，這意味著射手是百分之百的命中率，雖然不排出這種情況的存在，但是p≠1這種情況也是顯然存在的，故這樣的解答是明顯不對(duì)的。那么，存在什么問題呢？課堂上教師并未給出正確解答，而是讓學(xué)生課后查閱資料，思考問題應(yīng)該的解答，并鼓勵(lì)學(xué)生研究問題所包含的其他知識(shí)。

2.問題的初步探究。問題提出以后，學(xué)生自主的學(xué)習(xí)研究是必需的一個(gè)過程，這個(gè)過程可以是學(xué)生之間的課后討論、利用網(wǎng)絡(luò)資源的查閱求證等等，無(wú)論哪種途徑，都是要讓學(xué)生經(jīng)過思考、經(jīng)過探索。在本例中，經(jīng)過課后查閱資料學(xué)習(xí)和討論，同學(xué)們不但給出了問題的正確解答，并且是從兩個(gè)不同的思維角度給予了分析：

思維一：關(guān)注最后一次的射擊情況，即考慮第四次是否擊中。

解：在考慮第四次是否擊中時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)兩種情況：

（1）當(dāng)前三次不中，第四次擊中時(shí)，則第四次此時(shí)會(huì)出現(xiàn)概率為（1-p）3p。

（2）同時(shí)也有另外一種情況，即第四次無(wú)法擊中，但由于只有四發(fā)子彈而不得不終止試驗(yàn)，則此時(shí)的概率為（1-p）4。

兩種情況都有可能，但兩種可能性在最終的結(jié)果中只可能出現(xiàn)其中一種，不可能同時(shí)發(fā)生，即兩事件是互不相容的。所以根據(jù)互不相容事件的加法原理，當(dāng)X=4時(shí)有p={X=4}=（1-p）3p+（1-p）4，其分布律為：

思維二：不考慮第四次是否擊中。

解：從另一個(gè)角度思考，也可考慮為總共只有四發(fā)子彈所以第四次射中或者不中都將停止試驗(yàn)，也就是說(shuō)第四發(fā)子彈不用考慮，發(fā)生第四次即為前三次均為擊中目標(biāo)，所以所求概率為p{X=4}=（1-p）3，其分布律為：

兩種分析過后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩者進(jìn)行比較分析，作簡(jiǎn)單運(yùn)算就可發(fā)現(xiàn)，從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)，這兩種情況在數(shù)值上是完全一樣的，因?yàn)?/p>

P■=（1-p）■p+（1-p）■=（1-p）■[p+1-p]=（1-p）■ （2）

但是由于兩者是從不同角度出發(fā)而得到的結(jié)論，教師對(duì)于兩種方法都給予了充分的肯定，并指出兩種方法在思維角度的異同，體現(xiàn)了研究學(xué)習(xí)過程中不同思維的異曲同工的效果，這也讓同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中體會(huì)到了不同思維方法所帶來(lái)的樂趣。

3.舉一反三。某一個(gè)具體問題的解答并不是研究性學(xué)習(xí)的結(jié)束，其實(shí)研究性學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)就是讓學(xué)生通過某一個(gè)問題的探討去研究這個(gè)知識(shí)的外延，從而獲得新的知識(shí)和技能，這個(gè)過程中，教師要充分發(fā)揮引導(dǎo)、啟發(fā)作用。在本例教學(xué)實(shí)踐中，得出這個(gè)例題的正確解答之后，研究性學(xué)習(xí)并未結(jié)束，而是要舉一反三，教師繼續(xù)鼓勵(lì)同學(xué)們思考：若子彈數(shù)量不限制，則分布律又會(huì)如何呢？學(xué)生們經(jīng)過思考討論、查閱資料，又總結(jié)出幾何分布的相關(guān)知識(shí)。幾何分布的定義[5]：試驗(yàn)每次成功的概率為p，在多重獨(dú)立試驗(yàn)概型中，試驗(yàn)進(jìn)行到第一次成功為止，則試驗(yàn)次數(shù)的概率分布為下式：

P（X=k）=p（1-p）■，（k=1，2，3…）？搖 （3）

然后，教師繼續(xù)引導(dǎo)，以問題的形式讓學(xué)生繼續(xù)思考：如果是試驗(yàn)到第r次成功為止呢？學(xué)生又總結(jié)出巴斯卡分布相關(guān)知識(shí)。

巴斯卡分布的定義[5]：試驗(yàn)每次成功的概率為p，在多重獨(dú)立試驗(yàn)概型中，試驗(yàn)進(jìn)行到第r次成功為止，則試驗(yàn)次數(shù)的概率分布為下式：

P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=r，r+1，…） （4）

由上兩式比較得知，當(dāng)r=1時(shí)，（4）式等于（3）式，即幾何分布是巴斯卡分布的一個(gè)特例。

三、總結(jié)

本例題從射擊問題出發(fā)，以學(xué)生質(zhì)疑教材給出的解答開始，教師鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索研究，逐步給出了不同思維方法下的正確解答，并且學(xué)生自主地總結(jié)出幾何分布和巴斯卡分布的概念。本例題的解答并不是一個(gè)很復(fù)雜的問題，但通過研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生自主地探索、討論，對(duì)比、論證等多種方式不斷深入研究，讓學(xué)生有了很大的成就感，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新研究意識(shí)；教師通過不斷設(shè)問，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，也實(shí)踐了以學(xué)生為主體的教學(xué)方法，真正做到了教學(xué)相長(zhǎng)，讓學(xué)生自主地完成了相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

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