追求“自然”思路，實(shí)現(xiàn)有效解題

陶磊

[內(nèi)容摘要]高中數(shù)學(xué)對學(xué)生來說很重要，教師應(yīng)教導(dǎo)學(xué)生在解題時追求“自然”的思路，以促使解題高效化，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文主要研究如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)解題中所追求的“自然”思路，并提高解題有效性。

[關(guān)鍵詞]“自然”思路;高中數(shù)學(xué);解題

目前，教師在進(jìn)行解題教學(xué)時，常喜歡變換不同的教學(xué)方法，以突破常規(guī)教學(xué)方法的限制，促使學(xué)生產(chǎn)生更多的思考，并有效提高其求知興趣。相關(guān)教學(xué)研究表明：學(xué)生雖能進(jìn)行解題，但解題思路并不清晰，亦不“自然”;如果題目形式稍有改變，學(xué)生就難以靈活解答，從而使解題效率降低。所謂“自然”思路，即把解題規(guī)律探析置于首位，通過淡化解題技巧的使用，加之注重解題中的貫通性，追溯至題目本源，進(jìn)而促使貼近實(shí)際的新型解題方式，起到有效提高解題能力的作用。

一、返璞歸真

高中數(shù)學(xué)常使用的基本解題方法包括：代入、消元、解方程組、待定系數(shù)法等;此類方法不僅易增加學(xué)生的聯(lián)想發(fā)散性，而且能提高解題時操作的效率，促使解題思路“自然”化。比如：已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，求ab+bc+ca的最小值。多數(shù)學(xué)生看到該題時首先想到的解題思路是解基本不等式，通過求解ab+bc+ca≤a2+b2+ c2可以得出上述式子的最大值，但此結(jié)果與題意背離，無法解出答案;學(xué)生繼續(xù)思索，隨即想到三角代換方法，但此類方法較復(fù)雜，且學(xué)生無法完全掌握。實(shí)際上，就題目本身而言即為一個三元方程組，學(xué)生只需把其解出即能完成解題的要求;然而，為什么學(xué)生無法想到如此基本又簡便的方法呢？可能因為學(xué)生的解題思路已被書本中特有的模式所圈套住，從而使解題進(jìn)入盲區(qū)，無法發(fā)現(xiàn)題目中所包含的基礎(chǔ)性信息。教師應(yīng)從上述現(xiàn)象中吸取教訓(xùn)，以改變學(xué)生的思路想法為主要目的，培養(yǎng)學(xué)生積極分析基礎(chǔ)解法，使其從解題的慣有模式中逃出。歷來大型考試時，出題均圍繞基礎(chǔ)知識，只是在其基礎(chǔ)上進(jìn)行深化和改變，實(shí)則是平凡常見的題目;學(xué)生應(yīng)積極掌握“自然”思路的使用方法，從而有效減少解題時間。

二、追本溯源

高中數(shù)學(xué)解題時應(yīng)追溯題目的源頭，這有助于“自然”思路的形成;為了順利解決問題，首先應(yīng)理解題目中已知條件的作用以及問題的方向，并進(jìn)一步思考此類題目針對的是哪類知識點(diǎn)和方法，加之詳細(xì)研究所運(yùn)用知識點(diǎn)的具體特征，進(jìn)而通過充分了解問題本質(zhì)，促使解題方向回歸定義，目標(biāo)更加確切，具體執(zhí)行方法如下：

1.掌握本質(zhì)

例1.直角坐標(biāo)平面有一點(diǎn)列：P1（a1，b1），P2（a2，b2）至Pn（an，bn），且其對于任意n∈N+上的點(diǎn)均有意義，Pn（an，bn）位于y=ax（a>0，且a≠1）上，并且Pn、（n，0）與（n+2，0）三點(diǎn)能構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。在此基礎(chǔ)上求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn，并假設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和表示為Sn，試問常數(shù)t是否存在？且能使數(shù)列{Sn-t}成為等比數(shù)列。

教師可使用“自然”思路對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)，由題目可知bn=an+1，且加之bn+1/bn=a，即可得出Sn=[a2（1-an）]/1-a;問題即迎刃而解，但是仍有較多學(xué)生無法想到此類方法，促使解答復(fù)雜化，從而提高解題難度，增加解題時間。通過教師的觀察與分析，學(xué)生在解此類題時可能會使用下述方法：首先，通過對存在的常數(shù)t進(jìn)行假設(shè)，使數(shù)列{Sn-t}成為等比數(shù)列，即可發(fā)現(xiàn)Sn+1-t/Sn-t為常數(shù);其次，通過將Sn與Sn+1代入方程，進(jìn)而可以使用待定系數(shù)法予以解答，但此方法步驟較為繁瑣，多數(shù)學(xué)生無法完成。此時教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生所使用的方法積極進(jìn)行思路引導(dǎo)，解答此題時應(yīng)設(shè)目標(biāo)為源頭，為了滿足題目要求，應(yīng)先列出Sn-t=[a2/（1-a）]-[an/（1-a）]-t，再通過分析等比數(shù)列的通項形式，即a1qn-1，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列即為常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，對比上述式子可得（a2/1-a）-t應(yīng)等于0，且在q=a時才成立，隨即可解出常數(shù)t=a2/（1-a）;再進(jìn)一步進(jìn)行驗證得出當(dāng)t=[a2/（1-a）]時，Sn+1-t/Sn-t=a，即得以證實(shí)存在一個常數(shù)t使{Sn-t}為等比數(shù)列。上述所使用的方法主要是依靠題目“本質(zhì)”的掌握，進(jìn)而從本質(zhì)上得以升華，靈活使用基礎(chǔ)性知識，為解題找到新型思路。

2.關(guān)注目標(biāo)

例2.在三角形ABC中，角A為120度，且a+c=20，a+b=24，求a是多少？

根據(jù)詳細(xì)分析得出，題目已知三角形的三邊關(guān)系與其中一個角的度數(shù)，看似給出的信息較多，實(shí)則不是每一項均有作用，學(xué)生常因條件的多樣而無法找到主要思路，從而耽誤解題時間。教師應(yīng)有針對性地引導(dǎo)其專注于目標(biāo)分析，此題所求為a的數(shù)值，則很容易想到應(yīng)消除等式中多余的b與c;因此，根據(jù)基礎(chǔ)性三邊定理中的余弦定理即可得出a2=（24-a）2+（20-a）2-2（24-a）（20-a）cos120°，通過化簡可解得a=14。由此，可表明當(dāng)無法看清題目方向時，應(yīng)根據(jù)題目條件或結(jié)論作為依據(jù)，有效通過目標(biāo)性的分析，并實(shí)施合理的公式變形運(yùn)用，從而有效減少解題中出現(xiàn)彎路，提高解題效率。

三、緊扣特征

學(xué)生解決問題時常從正面理解角度出發(fā)，僅依舊條件所提供的信息進(jìn)行分析思考，其實(shí)，解題時應(yīng)實(shí)施變化性的解題策略，通過“自然”性思路，使常用方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而有效解答特殊化、復(fù)雜化類型的試題，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生的解題應(yīng)變能力。

1.正難則反

例3.一個三邊長分別為5、7、8的三角形，其最大與最小角之和為多少？

依據(jù)上述問題進(jìn)行詳細(xì)剖析，學(xué)生應(yīng)使用“自然”思路，從問題的正面方向出發(fā);通過假設(shè)5、7、8三邊所對應(yīng)的角為角A、B、C，即可得出cosA的值，但仍不能得出答案;隨即應(yīng)從反面進(jìn)行思考，由于角B為角A與角C之和的補(bǔ)角，則可通過求cosB而得出答案，即角B為60度，由此可推出最大與最小角之各和為120度。教師在此應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生切勿僅使用正面解題方式，而忽略反面解題的重要性，有時僅轉(zhuǎn)換一下解題角度，即可離答案更進(jìn)一步，從而提高反向思維能力。

2.特殊化法

例4.在銳角三角形ABC中，角A、B、C分別對應(yīng)邊a、b、c，且已知b/a+a/b=6cosC，求tanC/tanA+tanC/tanB的值。

對本題進(jìn)行剖析，因本題為填空題，不需使用較為復(fù)雜的解答方法，避免時間的浪費(fèi)，但學(xué)生常會被題目信息所誤導(dǎo)，不知解題時應(yīng)使用特殊三角形還是等邊三角形或是等腰三角形，從而為解題帶來較大困難。教師應(yīng)做好引導(dǎo)工作，要求學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，因此不難發(fā)現(xiàn)題目中還有一個重要條件即為b/a+a/b=6cosC，根據(jù)此條件可以得出本題所涉及的三角形為等腰三角形;且又可由條件得出a=b，即cosC=1/3，隨之可求出2cos2（C/2）-1=1/3;又因角A與角C/2互為余角，即可得出sinA=cos（C/2），隨之可得出tanC/tanA+tanC/tanB=2tanC/tanA。由上述方法可得出，教師在講解選擇或填空等分值較小的題目時，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生使用特殊性方法，從而有效分析此類題目的主要目的;能通過出題目的，有針對性地解題，以弄清題目中所含邏輯關(guān)系，再經(jīng)過一般方法的驗證，促使解題理想化，并有效加強(qiáng)學(xué)生對“自然”思路的理解和應(yīng)用，使其加快解題速度，提高解題興趣。

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生使用“自然”思路解題，并通過掌握題目本質(zhì)、關(guān)注解題目標(biāo)以及緊扣題目特征等三方面的詳細(xì)講解，促使學(xué)生提高解題效率，從而形成良好的學(xué)習(xí)氛圍。

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（責(zé)任編輯 馮 璐）