淺談數(shù)學(xué)思想在線性代數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用

李俊華 陳艷菊

摘要：線性代數(shù)中的概念是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文主要介紹了在線性代數(shù)的概念教學(xué)中如何滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、建模思想、幾何思想和類比思想等數(shù)學(xué)思想。通過數(shù)學(xué)思想的滲透，學(xué)生更深入地理解了概念，提升了數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）10-0181-02

線性代數(shù)是高等院校經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)的數(shù)學(xué)主干課程之一，也是全國碩士研究生考試的必考課程，而概念教學(xué)是線性代數(shù)教學(xué)的重要組成部分，許多概念既是線性代數(shù)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，由于這些概念多且都具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定的難度。雖然部分學(xué)生機(jī)械地記住了某些概念，但因?yàn)闆]有真正理解概念的本質(zhì)，學(xué)生或者容易忘記或者學(xué)完之后只會(huì)套用解題，不知道如何應(yīng)用。因此在教學(xué)中為了讓學(xué)生真正地理解概念，就不能忽略數(shù)學(xué)思想的滲透。在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用概念中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，不僅能幫助學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而且對教師教學(xué)水平的提高也會(huì)起到事半功倍的效果。本文結(jié)合轉(zhuǎn)化與化歸思想、建模思想和幾何思想等數(shù)學(xué)思想，主要介紹如何在線性代數(shù)的概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決或未解決的問題，在一定條件下通過近似、等價(jià)、變換等方法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題，化難為易，化繁為簡，從而使得問題得以解決，它是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，是解決很多疑難問題的鑰匙，幾乎滲透到了數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容中。常見的轉(zhuǎn)化與化歸方法有換元法、類比法、數(shù)形結(jié)合法、正與反的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化等，轉(zhuǎn)化與化歸的關(guān)鍵有三個(gè)：明確化歸對象、尋找化歸方法、確定化歸目標(biāo)。線性代數(shù)中的很多概念都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。在行列式內(nèi)容中，行列式定義為一個(gè)特定結(jié)構(gòu)的和式，行列式的計(jì)算最終轉(zhuǎn)化為了求和問題，求元素的余子式、代數(shù)余子式的問題轉(zhuǎn)化為求行列式的問題。在向量和向量組內(nèi)容中，向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分量（數(shù)）的運(yùn)算，向量組的線性相關(guān)性轉(zhuǎn)化為是否存在一組不全為零的常數(shù)使得成立，兩個(gè)向量組是否等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量組能否互相線性表示。在矩陣內(nèi)容中，矩陣的秩轉(zhuǎn)化為向量組的秩，矩陣冪的定義則是先定義低階冪，然后通過低階冪來定義高階冪，分塊矩陣是借助了將高階矩陣降為低階矩陣的技巧來處理的，求線性空間中兩組不同基之間的過渡矩陣的問題轉(zhuǎn)化為求矩陣方程的問題，將可以相似對角化的矩陣轉(zhuǎn)化為簡單的對角矩陣，從而降低了計(jì)算難度。除此之外，線性方程組與其向量形式和矩陣形式之間的互化、基變換與過渡矩陣之間的互化、線性變換與其矩陣之間的互化、二次型與其矩陣之間的互化都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，而化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所做的可逆線性替換則是將一組變元轉(zhuǎn)化為了另一組變元，這更是轉(zhuǎn)化與化歸思想的直接體現(xiàn)。在課堂教學(xué)中要時(shí)刻滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，向?qū)W生清楚地指明哪些概念中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化與化歸思想，重點(diǎn)講解轉(zhuǎn)化的方法和轉(zhuǎn)化的目標(biāo)。這就需要教師對教材進(jìn)行深入地分析和研究，結(jié)合具體內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，在教學(xué)中突出轉(zhuǎn)化與化歸思想的教學(xué)，并通過小結(jié)和復(fù)習(xí)，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。

二、數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想是指針對實(shí)際問題，通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法加以解決的數(shù)學(xué)思想，它是溝通數(shù)學(xué)與實(shí)際問題之間的橋梁，旨在培養(yǎng)分析和解決實(shí)際問題的能力。現(xiàn)在很多高等院校都已開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，也有越來越多的人在關(guān)注數(shù)學(xué)建模競賽。把數(shù)學(xué)建模思想融入高校數(shù)學(xué)主干課程中去已是大勢所趨。線性代數(shù)的許多概念都非常抽象，如果離開了實(shí)例或應(yīng)用背景而單純地向?qū)W生傳授抽象概念的話，學(xué)生會(huì)感覺枯燥無味，學(xué)習(xí)起來也很吃力。將抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合起來，讓學(xué)生明白抽象概念背后的實(shí)際意義，既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對教學(xué)效果的提高也能起到事半功倍的效果。為此在將數(shù)學(xué)建模思想融入到線性代數(shù)的概念教學(xué)的過程中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際接受能力，盡可能選取恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用實(shí)例，將抽象問題生活化，從實(shí)際問題入手引入基本概念。例如在學(xué)習(xí)二、三階行列式時(shí)，用二、三元線性方程組的求解引入；在學(xué)習(xí)矩陣的乘法概念時(shí)，可以選取總進(jìn)貨額和總銷售額問題作為引例；學(xué)習(xí)矩陣的特征值、特征向量概念時(shí)可以選取人口流動(dòng)模型來引入。教師也可以結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，針對不同專業(yè)的學(xué)生采用不同的應(yīng)用實(shí)例，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，在引入矩陣的概念時(shí)，對經(jīng)濟(jì)類的學(xué)生，可以結(jié)合投入產(chǎn)出問題來講，對計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，可以結(jié)合通訊網(wǎng)絡(luò)問題來引入，對偏文科的學(xué)生，可以結(jié)合航空公司航班圖問題來講。同時(shí)教師還可以選擇一些日常生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試著建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識。通過課內(nèi)外針對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生體會(huì)到課本中的概念都是與實(shí)際生活緊密聯(lián)系的，加深了對基本概念的理解，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，而且讓學(xué)生體會(huì)到了學(xué)以致用的妙處和數(shù)學(xué)建模思想的強(qiáng)大威力，激發(fā)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的積極性和主動(dòng)性。這里需要注意的是，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)很復(fù)雜的過程，但由于學(xué)時(shí)的限制，在引入應(yīng)用實(shí)例時(shí)不需要詳細(xì)講解數(shù)學(xué)建模的各個(gè)步驟，重點(diǎn)在于模型的建立以及整個(gè)過程中數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

三、幾何思想

幾何思想是指在解決代數(shù)問題時(shí)，利用問題的幾何圖形，將抽象的問題形象化、直觀化，啟發(fā)思維，從而解決問題。將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀的幾何圖形，借助幾何解釋，可以幫助我們理解抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論，并且可以鍛煉空間想象能力和形象思維、抽象思維能力。幾何思想與代數(shù)思想之間相互滲透，就是常說的數(shù)形結(jié)合思想。線性代數(shù)中的幾乎所有重要概念都有其幾何意義。作為最基本的二、三階行列式都有它們的幾何意義，可以用來求定向面積和體積：以二維列向量為鄰邊的平行四邊形的面積是由它們構(gòu)成的二階行列式的絕對值；以三維列向量為相鄰棱的平面六面體的體積是由它們構(gòu)成的三階行列式的絕對值。對二元線性方程組而言，如果將方程組中的每一個(gè)方程看作是一個(gè)平面的話，則線性方程組有沒有解的問題就相當(dāng)于這兩個(gè)平面有沒有交點(diǎn)的問題：當(dāng)兩個(gè)平面重合或者不平行時(shí)一定有交點(diǎn)，此時(shí)線性方程組一定是有解的；當(dāng)兩個(gè)平面平行但不重合時(shí)沒有交點(diǎn)，此時(shí)線性方程組無解。若空間中的兩個(gè)向量共線，則這兩個(gè)向量是線性相關(guān)的，否則是線性無關(guān)的；空間中的三個(gè)向量共面，則這三個(gè)向量是線性相關(guān)的，否則是線性無關(guān)的。矩陣的特征向量是指被矩陣變換后能夠和自身共線的向量，而矩陣的特征值則說明了新向量的方向及擴(kuò)大縮小的倍數(shù)。兩個(gè)相似矩陣表示了相同的線性變換。令二元正定二次型等于任意大于零的常數(shù)，則其圖形是以原點(diǎn)為中心的橢圓。在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)概念的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，將線性代數(shù)與解析幾何結(jié)合起來，利用解析幾何形象直觀的特點(diǎn)，給出概念的幾何背景，淡化概念的抽象性，訓(xùn)練學(xué)生從幾何角度分析問題、解決問題的能力，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，同時(shí)還可以借助多媒體等教學(xué)工具幫助學(xué)生加深對知識的理解。

四、類比思想

所謂類比思想是指，通過比較兩個(gè)不同對象的某些相同或相似屬性，根據(jù)其中一個(gè)具有的其他屬性來推斷另一對象也具有相似的其他屬性。運(yùn)用類比思想解決問題的過程是：將原問題利用類比得到類比問題，通過對類比問題的求解得到原問題類似的解法。而運(yùn)用類比的關(guān)鍵是要尋找到合適的類比對象。類比是利用舊知識來認(rèn)識新知識的過程，通過類比，加強(qiáng)了不同知識之間的聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。在線性代數(shù)的概念教學(xué)中，很多概念都可以利用類比思想進(jìn)行教學(xué)。主要有兩類：一類是線性代數(shù)課程本身內(nèi)容之間的類比。例如，由二、三階行列式的定義類比得到了階行列式的定義，由二、三階行列式求解線性方程組的結(jié)論類比得到了克萊姆法則；將平面上的二維向量和空間中的三維向量的概念推廣得到了一般的維向量的概念；由線性方程組的初等變換類比給出了矩陣的初等變換的概念；通過類比，可以很好地區(qū)分余子式、子式、主子式和順序主子式等概念，能清楚地理解矩陣的等價(jià)、相似和合同等關(guān)系之間的區(qū)別和聯(lián)系；類比普通矩陣，進(jìn)行分塊矩陣的運(yùn)算。另一類是其他數(shù)學(xué)知識和線性代數(shù)知識之間的類比。例如，將矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算類比，將單位矩陣的作用與數(shù)1的作用類比，將數(shù)量矩陣與數(shù)的作用類比，類比倒數(shù)的運(yùn)算得到了逆矩陣的概念，將矩陣方程與函數(shù)方程類比，向量內(nèi)積、長度等內(nèi)容與學(xué)生已知的解析幾何知識進(jìn)行類比，將二次曲面化標(biāo)準(zhǔn)形問題與二次型化標(biāo)準(zhǔn)形問題對比。在教學(xué)過程中，如果能夠?qū)⑿轮R和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行類比，學(xué)生會(huì)更容易接受新知識，還可以達(dá)到溫故知新的效果。

五、小結(jié)

在線性代數(shù)的概念教學(xué)中，要把讓學(xué)生理解、掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想放在和傳授知識同等的位置上，要不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。同時(shí)也應(yīng)該要注意，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)必須遵循循序漸進(jìn)、由淺入深、反復(fù)滲透等原則，要有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，不能急功近利。

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