如何在《概率統(tǒng)計(jì)》課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

劉桂蘭 季紅蕾 黃素珍

摘要：《概率統(tǒng)計(jì)》是高等院校理工、經(jīng)濟(jì)管理、金融類等專業(yè)本科階段的一門必修課程，它在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中占有重要的地位，也是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的工具課?！陡怕式y(tǒng)計(jì)》課程中豐富、獨(dú)特、抽象的理論和方法，并與其他數(shù)學(xué)分支互相滲透與結(jié)合，已廣泛地應(yīng)用于幾乎每一科學(xué)領(lǐng)域之中。本文著重從概率論教學(xué)中的幾個(gè)環(huán)節(jié)出發(fā)，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)為宗旨，以問(wèn)題解決為目標(biāo)，以案例研究為手段，來(lái)探究各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)建模思想，以提高學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析和解決能力。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)建模思想

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）05-0274-02

《概率統(tǒng)計(jì)》是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，其相關(guān)理論與方法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域?！陡怕式y(tǒng)計(jì)》課程在工科各專業(yè)開設(shè)時(shí)，教學(xué)內(nèi)容多，教學(xué)課時(shí)少，往往注重?cái)?shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和計(jì)算能力的訓(xùn)練，側(cè)重基本方法的講解，但忽略了該課程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想。此外，學(xué)習(xí)《概率統(tǒng)計(jì)》時(shí)，大二學(xué)生對(duì)自身所學(xué)專業(yè)和這門課程有什么關(guān)系不是很清楚，不明白這么課程有什么用途，導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，造成課題教學(xué)與實(shí)踐應(yīng)用的脫節(jié)。因此在《概率統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)中，如何發(fā)揮數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)建理論與實(shí)踐的橋梁，成為該課程教學(xué)者必須面對(duì)的重要挑戰(zhàn)。

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法，是一種訓(xùn)練學(xué)生思維和應(yīng)用能力的手段，在教學(xué)與實(shí)際生活中都具有重要的地位?！陡怕式y(tǒng)計(jì)》課程中蘊(yùn)含著豐富而獨(dú)特的數(shù)學(xué)建模思想，國(guó)外一些知名大學(xué)教學(xué)中就非常注重?cái)?shù)學(xué)思想的講解，注重案例與教學(xué)軟件的結(jié)合，注重學(xué)生的實(shí)踐性環(huán)節(jié)。因此，在《概率統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，具有非常重要的研究意義。

藉此，本文從《概率統(tǒng)計(jì)》課程中概率論部分的基本教學(xué)環(huán)節(jié)出發(fā)，從概率論中的概念形成階段、例題講解階段和習(xí)題應(yīng)用階段，通過(guò)分析現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，探索解決途徑；借助數(shù)學(xué)方法來(lái)尋求解決方案，培養(yǎng)學(xué)生的探索興趣，提高學(xué)生實(shí)際應(yīng)用的能力。無(wú)疑，建模思想間接意義上而言，也是引導(dǎo)學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí)、動(dòng)手意識(shí)的良好途徑，有利于培養(yǎng)高素質(zhì)的應(yīng)用型人才。

一、在概念形成過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

條件概率是概率論中一個(gè)重要的但難以理解的概念。一方面，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中的大多數(shù)問(wèn)題都是在一定條件下發(fā)生的，因而條件概率很重要。另一方面，條件概率的概念比較抽象，學(xué)生理解比較困難，遇到實(shí)際問(wèn)題不知如何表達(dá)構(gòu)成教學(xué)難點(diǎn)。因此，下面我們從解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)探究條件概率的定義及其計(jì)算公式。

1.問(wèn)題提出。假設(shè)甲、乙、丙三人得到一張巴西足球世界杯門票，他們商定按甲、乙、丙的順序抽簽確定這張門票的得主。已知甲沒有抽到門票，求丙抽到門票的概率是多少？

從上面的分析看到，已知甲的抽取門票的結(jié)果會(huì)影響丙抽到門票的概率。

上述問(wèn)題從兩個(gè)角度分析，引出條件概率的定義及其計(jì)算公式，突破難點(diǎn)和重點(diǎn)，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從具體到抽象的概括能力。

二、在例題講解過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

例題是教學(xué)過(guò)程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。例題的作用不僅鞏固所學(xué)知識(shí)，而且也培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。因此，在講授理論知識(shí)的同時(shí)，要選擇與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有密切關(guān)系的例題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，用所學(xué)知識(shí)去解決，這樣，學(xué)生就可進(jìn)一步理解運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想；有利于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

1.問(wèn)題提出。罐中包含b個(gè)黑球與r個(gè)紅球。隨機(jī)地抽取一球?？戳祟伾俜呕?，并且還要加進(jìn)c個(gè)與所抽取球的顏色相同的球和d個(gè)相反顏色的球，反復(fù)地進(jìn)行，其中c和d是任意的整數(shù)。c和d可以取為負(fù)數(shù)。特別當(dāng)c=-1，d=0時(shí)，則我們的抽樣是無(wú)放回抽樣；當(dāng)c>0，d=0時(shí)，則我們得到一個(gè)描述如傳染病現(xiàn)象的模型[3]；當(dāng)c=0，d>0時(shí)，曾由弗雷德曼提出用來(lái)描述安全運(yùn)行的抽樣。現(xiàn)在我們重點(diǎn)討論當(dāng)c>0，d=0時(shí)情形下，求第n次取得黑球的概率。

2.問(wèn)題分析。本題既是個(gè)基本題，也是個(gè)典型題。此問(wèn)題是分步進(jìn)行的，且后一步的結(jié)果受上一步結(jié)果的影響，因此，對(duì)上一步的結(jié)果分類，繼續(xù)用表示、分解、轉(zhuǎn)化的方法處理即可。

此例告訴我們有放回地取球，各次取球的概率是一樣的。這個(gè)結(jié)論在實(shí)際生活中一直在應(yīng)用：如抓鬮。另外，此例還告訴我們一個(gè)如傳染病現(xiàn)象的粗略的模型。

三、在習(xí)題課中滲透數(shù)學(xué)建模思想

傳統(tǒng)習(xí)題課，只講教材中習(xí)題的解法，很少?gòu)?qiáng)調(diào)應(yīng)用方面，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力不利。為此，選一道典型的應(yīng)用性問(wèn)題為例，用所學(xué)概率知識(shí)來(lái)解決，這樣，不僅學(xué)生掌握了應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思想方法，而且鞏固了所學(xué)的知識(shí)。

1.問(wèn)題提出?！陡怕瘦喤c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第四版 沈恒范編 高等教育出版社）中習(xí)題：將3個(gè)球隨機(jī)投入4個(gè)盒子中，求任意三個(gè)盒子各有1球的概率。

2.問(wèn)題分析。上述問(wèn)題簡(jiǎn)稱球入盒問(wèn)題。假設(shè)盒中可容納任意多個(gè)球。把3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)盒子中，目的是觀測(cè)每一個(gè)球在盒子中的分配情況，因此只有把3個(gè)球都放入盒子中，才算完成一次試驗(yàn)。每個(gè)盒子可容納多少個(gè)是不限的，每一種放法對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件。由于每個(gè)球均有4中可能放入一間房中，因而根據(jù)可重復(fù)排列知，基本事件總數(shù)

3.問(wèn)題解決。解法一：任意三個(gè)盒子各有1球，等價(jià)于每盒子最多只有1個(gè)球，這是只有4×3×2種放法。每種放法都對(duì)應(yīng)于一個(gè)基本事件，這樣，由古典概型可計(jì)算概率設(shè)A={每個(gè)盒子最多有1球}，則樣本空間所含基本事件總數(shù)為43，事件A含有的基本事件數(shù)為解法二：球入盒問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的目的是觀測(cè)每一個(gè)球在房子中的分配情況，因此只有把3個(gè)球都放入盒中，才算完成一次試驗(yàn)，這樣，也可以把這一隨機(jī)試驗(yàn)看成是需要3步才能完成的復(fù)合試驗(yàn)，并且這3步試驗(yàn)是相互獨(dú)立地，由于問(wèn)題中關(guān)心的是每個(gè)球是否放入某指定房間。因此，某指定的房中恰有個(gè)人即指重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次，相應(yīng)概率為

注1：可直接寫出樣本空間進(jìn)行求解。

注2：常遇到的可轉(zhuǎn)化為球入盒問(wèn)題的情形有有著廣泛的應(yīng)用。例如：（1）m個(gè)人的生日問(wèn)題相當(dāng)于m個(gè)球放入356個(gè)盒子中的不同排列；（2）把m個(gè)人按其年齡和職業(yè)來(lái)分類，于是類就相當(dāng)于盒而人就相當(dāng)于球；（3）基因的分布；等等。

總之，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程融入數(shù)學(xué)建模思想不僅可以搭建起概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模的橋梁，而且可以使概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)得以加強(qiáng)，應(yīng)用領(lǐng)域得以拓廣，對(duì)數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用和發(fā)展發(fā)揮重要的作用。從而激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育山版社，2004.

[2]姜啟源，謝金星，等.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2004.