概率統(tǒng)計(jì)解題思維與學(xué)生能力培養(yǎng)

謝菲

摘要：本文通過(guò)高校教育如何培養(yǎng)大學(xué)生，進(jìn)而滿足社會(huì)需要這一難題，針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程解題方法和應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)，提出了課程教學(xué)改革與學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力培養(yǎng)相結(jié)合，從而加強(qiáng)大學(xué)生的綜合能力.

關(guān)鍵詞：一題多解;對(duì)立事件;積事件概率;統(tǒng)計(jì)軟件;分析能力

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）18-0179-02

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是高等教育中的一門基礎(chǔ)學(xué)科，同時(shí)也是一門應(yīng)用性非常廣泛的學(xué)科.大學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，不僅僅因?yàn)閿?shù)學(xué)是進(jìn)行科學(xué)和工程問(wèn)題研究的工具和基石，更重要的是數(shù)學(xué)學(xué)科是人類理性思維的高度結(jié)晶，是用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維方式，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的一個(gè)重要手段.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一些分析問(wèn)題的角度、解決問(wèn)題的思想方法對(duì)提高學(xué)生的分析、解決問(wèn)題能力有著重要的作用.本文分別從一題多解和對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用、積事件概率的求法及其統(tǒng)計(jì)軟件的介紹和應(yīng)用這三方面介紹如何在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)和提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

一、一題多解和對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用

例1 設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生.

解：由和事件的含義知，事件A∪B∪C表示A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生;也可以這樣考慮：事件“A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生”是事件“A，B，C都不發(fā)生”的對(duì)立事件，因此也可以表示成 ;還可以這樣考慮：事件“A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生”表示三個(gè)事件中恰有一個(gè)發(fā)生或恰有兩個(gè)發(fā)生或三個(gè)事件都發(fā)生，因此還可以表示成A ?∪ B ∪ ?C∪AB ∪A C∪ BC∪ABC.

這道例題的表示方法是多種的，如同現(xiàn)實(shí)中遇到的問(wèn)題可以從多個(gè)不同的角度來(lái)描述一樣，通過(guò)不同角度的分析，可以找到求解問(wèn)題的不同方法，所以在講這道習(xí)題時(shí)，更側(cè)重教授學(xué)生的是分析問(wèn)題的角度的多樣性，而非一道習(xí)題的答案.

有一些事件的概率問(wèn)題，如果直接從事件包含的情況入手分析，可能會(huì)因?yàn)榘那闆r多而變的復(fù)雜，此時(shí)可以求這個(gè)事件的對(duì)立事件的概率，再利用逆事件的概率公式求解，會(huì)更為簡(jiǎn)單些.在現(xiàn)實(shí)生活中，用反向思維來(lái)分析、解決問(wèn)題也是很重要的方式，通過(guò)一些例題習(xí)題的講解，可以培養(yǎng)學(xué)生反向思維，提高他們解決問(wèn)題的能力.

二、積事件的概率求法

例2 天氣預(yù)報(bào)說(shuō)某日某省甲乙兩地至少有一地下雨的概率是0.9，甲地下雨的概率為0.7，乙地下雨的概率為0.8，問(wèn)甲乙兩地同時(shí)下雨的概率是多少？

解：設(shè)事件A為“甲地下雨”，事件B為“乙地下雨”.由題意，

P（A∪B）=0.9，P（A）=0.7，P（B）=0.8.

∵P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

∴P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.7+0.8-0.9=0.6.

這道例題求的是P（AB），根據(jù)已有條件，可以用到加法公式的等價(jià)變形來(lái)求解.值得注意的是，題目的描述中并無(wú)甲地下雨與乙地下雨兩個(gè)事件是否獨(dú)立，不能就此認(rèn)為這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的.

例3 某人忘記了會(huì)員卡卡號(hào)的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地選號(hào)，求他選號(hào)不超過(guò)三次而找會(huì)自己會(huì)員卡號(hào)的概率.

解：以A 表示事件“第i次選號(hào)找回自己的會(huì)員卡號(hào)”，i=1，2，3.以A表示事件“選號(hào)不超過(guò)3次找回自己的會(huì)員卡號(hào)”，知

P（A）=1-P（選號(hào)3次都找不到自己會(huì)員卡號(hào)）=1-P（ ? ? ? ）

=1-P（ ? ? ?）P（ ? ?）P（ =1- × × =

這道例題從正面分析，會(huì)含有多種情況而顯得復(fù)雜了些.如果反向考慮，只會(huì)包含一種情況.問(wèn)題的對(duì)立事件是三個(gè)事件的積事件，仔細(xì)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn) ?， ?， ?三個(gè)事件間存在的先后依次發(fā)生這樣一個(gè)順序.乘法定理的含義：兩個(gè)隨機(jī)事件A、B的積事件的概率，等于其中一個(gè)事件的概率與另一事件在前一事件已發(fā)生的條件下的條件概率的乘積，即：P（AB）=P（BA）P（A）.這樣就可以用乘法定理來(lái)求解此積事件的概率問(wèn)題了.

例4 某人拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，求甲幣、乙?guī)哦汲霈F(xiàn)正面的概率.

解：設(shè)事件A為“甲幣出現(xiàn)正面”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)正面”.由題意，顯然甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面是互不影響的，故

P（AB）=P（A）P（B）= × =

題目描述中含有兩個(gè)事件相互獨(dú)立的意思，可以按照事件獨(dú)立性的定義求解.

上面3道例題，都是求解積事件的概率問(wèn)題，但因給出的條件不同，選擇了3種不同的公式來(lái)計(jì)算.在現(xiàn)實(shí)中，也會(huì)遇到有多種方法看似可以解決同一問(wèn)題，但是所需要的條件卻是不同的，這要根據(jù)問(wèn)題中已有的條件來(lái)選擇方法，這要求對(duì)方法在什么條件下可以使用要清楚明白.這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)分處不同的小節(jié)，但是可以在做練習(xí)時(shí)放在一起講解，讓學(xué)生體會(huì)到方法和條件匹配的重要性，這也有助于培養(yǎng)他們解決問(wèn)題時(shí)要關(guān)注方法的條件.

三、統(tǒng)計(jì)軟件的介紹和應(yīng)用

現(xiàn)在高校開設(shè)的很多課程都是實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，但由于教學(xué)時(shí)間有限，教育側(cè)重知識(shí)的傳授而非動(dòng)手能力的培養(yǎng)，因此造成了學(xué)生對(duì)課程應(yīng)用的陌生和迷茫，從而不能利用所學(xué)知識(shí)提高自己的應(yīng)用能力，不能滿足社會(huì)對(duì)大學(xué)生的要求，進(jìn)一步造成了就業(yè)難的局面.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》就是一門應(yīng)用性、實(shí)踐性很強(qiáng)的課程.但是目前在高校，主要是側(cè)重基本方法的介紹，忽視了統(tǒng)計(jì)軟件的介紹和應(yīng)用.這樣既不利于學(xué)生將所學(xué)知識(shí)有效地進(jìn)行實(shí)踐和應(yīng)用，不能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用、實(shí)踐能力，也使得這門課程的教學(xué)顯得枯燥無(wú)味，不利于改變填鴨式教學(xué)現(xiàn)狀.為此，高校教師應(yīng)在正常的教學(xué)環(huán)節(jié)中適當(dāng)?shù)亟榻B一些常用的統(tǒng)計(jì)軟件，以使學(xué)生對(duì)功能強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)軟件有初步的認(rèn)識(shí)，并通過(guò)布置一些小型的調(diào)查分析作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)統(tǒng)計(jì)軟件的應(yīng)用和分析，更好地理解相關(guān)方法的應(yīng)用，為以后應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題奠定初步的基礎(chǔ).

常用的統(tǒng)計(jì)軟件如SAS，它是目前國(guó)際上最為流行的一種大型統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng).SAS系統(tǒng)提供的主要分析功能包括統(tǒng)計(jì)分析、時(shí)間序列分析、經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析、財(cái)務(wù)分析、決策分析和全面質(zhì)量管理工具等，被譽(yù)為統(tǒng)計(jì)分析的標(biāo)準(zhǔn)軟件;SPSS，作為僅次于SAS的統(tǒng)計(jì)軟件工具包，它在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用;S-plus，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)家喜歡用的軟件.不僅由于它的功能齊全，而且它還具有強(qiáng)大的編程功能，使得研究人員可以自己編制程序來(lái)實(shí)現(xiàn)自己的理論和方法.

教師可以向?qū)W生介紹這些統(tǒng)計(jì)軟件各自的操作特點(diǎn)和它們的差別之處，還可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子教授學(xué)生某些統(tǒng)計(jì)軟件的使用方法.教師還可以根據(jù)學(xué)生的專業(yè)，選擇一些具有實(shí)際背景的題來(lái)作為練習(xí)題.因?yàn)榻虒W(xué)課時(shí)有限，教師還可以向?qū)W生推薦一些有關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件應(yīng)用的參考書籍，方便學(xué)生的自學(xué)和操作中遇到困難的解決.

在真實(shí)的環(huán)境中更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用、實(shí)踐能力的培養(yǎng)和提高.教師可以利用校園或社會(huì)中的一些小問(wèn)題，采用設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷，制定調(diào)查方案，進(jìn)行調(diào)查活動(dòng)，錄入和整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行估計(jì)和分析，編寫調(diào)查報(bào)告，給出合理的解釋和結(jié)果.這些環(huán)節(jié)全部由學(xué)生們自己來(lái)完成，教師在各個(gè)環(huán)節(jié)要給予適當(dāng)?shù)奶崾竞蛥⒖家庖?，如根?jù)問(wèn)題怎樣設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷，怎樣選定調(diào)查對(duì)象，樣本的抽取及抽取方法的選擇等等.統(tǒng)計(jì)調(diào)查、統(tǒng)計(jì)整理和統(tǒng)計(jì)分析的整個(gè)過(guò)程，學(xué)生都親身參與和處理，這也為在今后工作中如何科學(xué)地分析、解決實(shí)際問(wèn)題奠定了良好的基礎(chǔ).常用的統(tǒng)計(jì)軟件多為英文版本，這要求學(xué)生應(yīng)對(duì)課本中出現(xiàn)的專用統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)的英文詞匯提前做個(gè)預(yù)習(xí)，教師在教學(xué)中也可以在演示講稿中對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件出現(xiàn)的對(duì)話框做個(gè)相應(yīng)的中文解釋.

大學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅僅是教給學(xué)生課本上的知識(shí)，更重要的是訓(xùn)練他們的理性思維，教會(huì)他們學(xué)習(xí)的方法，以及如何利用所學(xué)的知識(shí)去分析、解決實(shí)際問(wèn)題.目前很多課程的學(xué)習(xí)是“教”與“學(xué)”分開的，老師注重教，學(xué)生被動(dòng)聽，這種“填鴨式”教學(xué)方法很難適應(yīng)素質(zhì)教育的要求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程，一方面要教授學(xué)生相關(guān)的知識(shí)和方法，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的作用，另一方面，要緊跟社會(huì)發(fā)展的腳步，在教學(xué)的過(guò)程中，穿插介紹常用的統(tǒng)計(jì)軟件，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍?shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生們自己參與到解決問(wèn)題的每個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)自己在解決問(wèn)題過(guò)程中的不足，增加處理實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，這樣才能真正地有助于提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，才能真正地適應(yīng)社會(huì)的需要.

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