美國(guó)高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)設(shè)置研究

美國(guó)沒(méi)有全國(guó)統(tǒng)一的中小學(xué)強(qiáng)制數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，雖然前面有2000年美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)制定的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，后面有2010年美國(guó)全國(guó)州長(zhǎng)協(xié)會(huì)（NGA）聯(lián)合全美首席學(xué)校官員理事會(huì)（CCSSO）制定了美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)《Common Core State Standards for Mathematics》（共同州核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)），但是對(duì)各州沒(méi)有強(qiáng)制約束力，各州原來(lái)都有自己的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)在有40多個(gè)州先后參照《共同州核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》制定適合本州特點(diǎn)的州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).各州的新課程標(biāo)準(zhǔn)在參照共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)（CCSS）基礎(chǔ)上結(jié)合本州原課程標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)生實(shí)際制定，隨之而來(lái)的是各州數(shù)學(xué)教材的變化，新、舊數(shù)學(xué)教材還在過(guò)度過(guò)程中，美國(guó)各州舊數(shù)學(xué)教材由教材出版商依據(jù)各州課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)出版，質(zhì)量和內(nèi)容層次不齊，高中課程設(shè)置因不同州或不同的學(xué)區(qū)甚至不同的學(xué)校而異，每門(mén)課程都分四個(gè)等級(jí)：學(xué)術(shù)課程（Academics course）， 榮譽(yù)課程（Honors course） ， 預(yù)備先修課程（Advanced placement ，Pre-AP）、 先修課程（Advanced placement ，簡(jiǎn)稱AP）難度依次增加，主要有代數(shù)1，代數(shù)2，幾何、三角函數(shù)，預(yù)備微積分等， AP課程要學(xué)習(xí)大學(xué)里的微積分，考試通過(guò)了可以折抵大學(xué)學(xué)分. 本文所研究的教材只指美國(guó)采用該教材的州學(xué)生用教科書(shū)，不包括其他教學(xué)材料，通過(guò)對(duì)AMSCO學(xué)術(shù)出版公司（AMSCO SCHOOL PUBLISHER）出版的由 Ann、 Xavier 、Gantert等人編寫(xiě)的供美國(guó)各州高中學(xué)生使用的代數(shù)（一）、幾何、代數(shù)（二）與三角的數(shù)學(xué)內(nèi)容加以列舉并分析知識(shí)點(diǎn)順序、知識(shí)結(jié)構(gòu)編寫(xiě)特點(diǎn)，管窺美國(guó)高中數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容及知識(shí)模塊之間結(jié)構(gòu)關(guān)系.美國(guó)高中根據(jù)學(xué)生的不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)開(kāi)設(shè)各類(lèi)相關(guān)數(shù)學(xué)課程供學(xué)生選修，例如還有預(yù)科代數(shù)”（pre-Algebra）、高階數(shù)學(xué)概念（Advanced maths concept）等.限于篇幅，本文只研究美國(guó)部分高中采用的三門(mén)課程所用教材.

1 AMSCO高中數(shù)學(xué)教材及課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)內(nèi)容

下表1、表2、表3分別列出美國(guó)AMSCO學(xué)術(shù)出版公司高中代數(shù)（一）、幾何、代數(shù)（二）教材內(nèi)容.

AMSCO代數(shù)（二）中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)較為系統(tǒng)和完整：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等式、三角方程、三角函數(shù)應(yīng)用等，表3中函數(shù)的代數(shù)變換主要講函數(shù)的復(fù)合變換性質(zhì)：（f+g）（x）=f（x）+g（x）， （f-g）（x）=f（x）-g（x），（fg）（x）=f（x）g（x），（f/g）（x）=f（x）/g（x）等性質(zhì)及其應(yīng)用.

2 AMSCO教材整體知識(shí)結(jié)構(gòu)比較分析

2.1 AMSCO數(shù)學(xué)教材內(nèi)容相對(duì)比較簡(jiǎn)單

從表1可以看出，美國(guó)高中教材中很多內(nèi)容比中國(guó)大陸現(xiàn)行教材中的內(nèi)容簡(jiǎn)單很多，例如：代數(shù)（一）中分式的近似值、有效數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)后小數(shù)保留位數(shù)、無(wú)理數(shù)、乘法和除法、代數(shù)式的加減、解一次方程和一次不等式等，幾何中的直線、線段、角和三角形全等等內(nèi)容，上述內(nèi)容都是中國(guó)新課程教材中初中就需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，還有比例和比率這樣的內(nèi)容在中國(guó)都屬于小學(xué)和初中的必修內(nèi)容.

2.2 AMSCO教材的代數(shù)、幾何和概率之間總體上體現(xiàn)出各模塊分割編寫(xiě)

從表1、表2、表3 內(nèi)容可以看到，代數(shù)（一）和代數(shù)（二）的內(nèi)容總體上按照數(shù)與代數(shù)→函數(shù)→三角→概率統(tǒng)計(jì)這樣的順序編排知識(shí)點(diǎn)，幾何部分按照幾何概念→平面幾何→解析幾何→立體幾何這樣的順序編排，也有少量的不同模塊知識(shí)混合編寫(xiě)的情況，例如代數(shù)（一）教材中也有幾何內(nèi)容出現(xiàn)：幾何圖形、面積和體積、直角三角形等，而幾何教材中有三角運(yùn)算內(nèi)容.

2.3 超越方程仍然是美國(guó)高中代數(shù)教材的重點(diǎn)內(nèi)容

從美國(guó)代數(shù)（二）教材內(nèi)容看，中國(guó)上世紀(jì)80—90年代使用的全國(guó)通用高中數(shù)學(xué)教材中的指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角函數(shù)、三角方程等內(nèi)容仍然是美國(guó)高中教材中的主要內(nèi)容，上述內(nèi)容是在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及簡(jiǎn)單代數(shù)方程基礎(chǔ)上的升華內(nèi)容，也是對(duì)線性方程等簡(jiǎn)單代數(shù)知識(shí)的拓廣和加深.

2.4 三角函數(shù)的知識(shí)脈絡(luò)結(jié)構(gòu)和中國(guó)大陸舊教材風(fēng)格相似

美國(guó)教材中對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)也通過(guò)比例→直角三角形中的三角比→一般三角形中的三角函數(shù)→廣泛意義上的角的三角函數(shù)這樣的順序來(lái)學(xué)習(xí)，這種風(fēng)格和中國(guó)上世紀(jì)80—90年代使用的全國(guó)通用高中數(shù)學(xué)教材中三角函數(shù)的知識(shí)脈絡(luò)安排相似，這種風(fēng)格從形象到抽象、從數(shù)到代數(shù)形式，逐漸過(guò)渡，應(yīng)該是符合學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律的，而且，美國(guó)教材沿襲西歐傳統(tǒng)風(fēng)格，這種知識(shí)結(jié)構(gòu)安排方式應(yīng)該是久經(jīng)實(shí)驗(yàn)、比較有效的范式.

2.5 歐式幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)仍然是美國(guó)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

從上述表1、表2、表3內(nèi)容看，歐式幾何的基本內(nèi)容仍然是美國(guó)高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，并且基本上還是按照《幾何原本》的公理體系結(jié)構(gòu)模式來(lái)安排知識(shí)順序，先是幾個(gè)公設(shè)作為基礎(chǔ)，在公設(shè)基礎(chǔ)上推理出定理和性質(zhì)，《幾何原本》的公里體系模式以及嚴(yán)格的推理證明方法是訓(xùn)練邏輯思維的基本而有效的方法.雖然對(duì)歐式幾何的爭(zhēng)議一直未斷，但是現(xiàn)在看來(lái)歐幾里得并沒(méi)有從西方數(shù)學(xué)教材中“滾蛋”.

2.6 知識(shí)呈現(xiàn)方式細(xì)膩而精致

AMSCO教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)詳細(xì)而細(xì)膩，例題先分析再解題，步驟完整而精致，整本書(shū)知識(shí)呈現(xiàn)“如烹小鮮”，娓娓道來(lái)，步步為營(yíng)，節(jié)奏有序而平穩(wěn)，練習(xí)題按照難度分層設(shè)計(jì)：PART Ⅰ、PARTⅡ、PART Ⅲ；幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)也是預(yù)先學(xué)習(xí)證明方法：歸納推理，充要條件（difinition as biconditionals），演繹推理，直接和間接證明，假設(shè)、定理和證明，條件（筆者：或題設(shè)）的加和減，等量代換、等量乘等量，等量除等量，等量的平方和開(kāi)方，再學(xué)習(xí)具體幾何知識(shí)的證明：平面幾何、解析幾何、立體幾何.

3 結(jié)論與啟示

3.1 按照數(shù)學(xué)知識(shí)分模塊編寫(xiě)教材仍然在美國(guó)被采用值得思考

全球各國(guó)數(shù)學(xué)教育界一度曾熱議可否打破數(shù)學(xué)知識(shí)模塊之間的籓籬，讓不同的數(shù)學(xué)分支內(nèi)容之間相互融合、相互滲透、相互支撐，還原數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的本來(lái)面目，包括中國(guó)大陸在內(nèi)的各國(guó)數(shù)學(xué)教材也做了很多嘗試，但是數(shù)學(xué)本身的發(fā)展過(guò)程漫長(zhǎng)而零碎，缺乏系統(tǒng)性，要讓學(xué)生在短短3、4年內(nèi)完成較多的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，分模塊學(xué)習(xí)也許是必要的，傳統(tǒng)知識(shí)編排模式在英國(guó)和俄羅斯教材中仍然保持，當(dāng)然，打破不同數(shù)學(xué)分支之間的籓籬，能融會(huì)貫通地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，有利于學(xué)生今后對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用以及自身的發(fā)展，但是需要編寫(xiě)教材的人有很扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和開(kāi)闊的數(shù)學(xué)視野，同時(shí)也要具備教育學(xué)、心理學(xué)知識(shí)，才能編寫(xiě)出學(xué)習(xí)效率較高的教材來(lái).

3.2 精致而細(xì)膩的知識(shí)呈現(xiàn)模式適合基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)

中國(guó)大陸上世紀(jì)80—90年代的高中教材全國(guó)通用，一綱二本，考慮到不同地區(qū)學(xué)生的基礎(chǔ)差異，編寫(xiě)了兩種版本的教材供學(xué)生選用：甲種本和乙種本，均由人民教育出版社編寫(xiě)出版，依據(jù)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱編寫(xiě)，乙種本稍微簡(jiǎn)單，但是知識(shí)呈現(xiàn)更加細(xì)致，細(xì)節(jié)性知識(shí)減少，筆者經(jīng)歷了這兩種版本教材在不同學(xué)校使用的效果，很多采用乙種本的學(xué)校，學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)反而優(yōu)于采用甲種本的學(xué)校，AMSCO教材的知識(shí)呈現(xiàn)模式細(xì)致而繁雜，表2的幾何內(nèi)容就洋洋灑灑600多頁(yè)，對(duì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生看來(lái)可能沒(méi)有必要，但是對(duì)于數(shù)學(xué)底子薄弱的學(xué)生來(lái)講卻非常有必要，所有概念都羅列出來(lái)，例題解題過(guò)程完整而仔細(xì)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納，也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)到規(guī)范的解題方法和思維模式.

參考文獻(xiàn)

[1]王奮平，喻平.英國(guó)高中數(shù)學(xué)教材只是整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究〔J〕.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（5）：32-36.

[2]王奮平.中、英高中數(shù)學(xué)教材復(fù)數(shù)內(nèi)容比較研究 〔J〕.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（6）：51-55.

[3]王奮平.中、英高中數(shù)學(xué)教材比較研究 〔J〕.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（4） ：83-86.

[4]王奮平，孔凡哲.中、英高中數(shù)學(xué)教材比較研究〔J〕.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（7）：35-37.

[5]王奮平.英國(guó)兩種高中數(shù)學(xué)教材比較研究 〔J〕.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（4）：76-80.

[6] Ann，Xavier ，et. ALGEBRA1， ALGEBRA2 AND TRIGONOMETRY， Geometry

〔M〕. AMSCO SCHOOL PUBLISHER （1998）

[7]http：//highschool.shs.k12.ny.us/IntegratedAlegbra2