分數(shù)階Timoshenko梁格點系統(tǒng)解的存在唯一性

王 靜，魏毅強

（太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原030024）

格點系統(tǒng)［1］是一類很重要的無窮維動力系統(tǒng)，是含有離散變量的時空系統(tǒng)，也是由無窮多個常微分方程或差分方程構(gòu)成的系統(tǒng).格點系統(tǒng)在許多領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用，例如生物學(xué)［2］、電子工程［3］、激光系統(tǒng)［4］、材料科學(xué)［5］、化學(xué)反應(yīng)理論［6］、圖像處理和模式識別等［7-8］.近些年來，許多人對格點動力系統(tǒng)的非線性項做了不同假設(shè)，主要是為了研究格點動力系統(tǒng)的解的性質(zhì)，如行波解方面的研究，格點系統(tǒng)的解的混沌性質(zhì)研究等.最近，一些研究者開始密切關(guān)注格點動力系統(tǒng)的解的漸近行為，如上半連續(xù)性，吸引子的存在性，分形維數(shù)等，且已經(jīng)有很多關(guān)于格點動力系統(tǒng)的全局吸引子、一致吸引子、拉回吸引子的研究.但這些吸引子在吸引軌道的速度上有時很慢.而指數(shù)吸引子是包含全局吸引子且具有有限維數(shù)、指數(shù)吸引所有有界集的正不變集，是研究動力系統(tǒng)漸近行為的有效工具.有關(guān)格點動力系統(tǒng)的指數(shù)吸引子的研究，A.Y.Abdallah、范小明、趙才地等得到一些重要結(jié)果，可參看文獻［9-11］.可見，研究格點動力系統(tǒng)具有重要的理論和實際指導(dǎo)意義.

眾所周知，梁是大型空間結(jié)構(gòu)中的基本組件之一，所以梁的振動問題一直是科學(xué)關(guān)注的熱點.Timoshenko梁是目前較為流行的柔型結(jié)構(gòu)梁模型之一.Timoshenko梁理論是由Timoshenko在1921～1922年提出的，這個理論同時考慮了梁的剪切變形和梁的彎曲變形引起的轉(zhuǎn)動慣量，并被廣泛地運用到很多實際工程上.到目前為止，已有許多學(xué)者對Timoshenko梁做了一定的研究.如李根國、朱正佑等分析了非線性粘彈性Timoshenko梁動力學(xué)行為［12］和具有分數(shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系的粘彈性Timoshenko梁靜動力學(xué)行為［13］；裴君瑩等研究了兩端固定的Timoshenko梁［14］；劉維寧等研究了移動荷載作用下周期支承的Timoshenko梁動力響應(yīng)［15］；翁雪濤等研究了彈性支持的無限Timoshenko梁對移動振動質(zhì)量的響應(yīng)［16］.但目前還沒有關(guān)于Timoshenko梁格點系統(tǒng)的研究，鑒于Timoshenko梁應(yīng)用的廣泛性和格點系統(tǒng)的理論及實際指導(dǎo)意義.本文研究了分數(shù)階Timoshenko梁格點系統(tǒng)解的存在唯一性.

1 預(yù)備知識

定義1［17］函數(shù)x的α階積分定義為

定義2［17］函數(shù)x的α階Caputo型導(dǎo)數(shù)定義為

這里m＜a＜m-1且m∈N.

定理1［18］（Banach壓縮映射原理）設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點（即方程Tx=x有且只有一個解）.

定理2［19］（Arzela-Ascoli定理）設(shè)G是帶有切比雪夫范數(shù)的C［a，b］上的一個子集，那么G在C［a，b］上相對緊當且僅當G等度連續(xù)且一致有界.

注1 如果對任意的ε＞0，存在某δ＞0，使得對所有的g∈G和所有的x1，x2∈［a，b］，當|x1-x2|＜δ時，有|g（x1）-g（x2）|＜ε，那么集合G等度連續(xù).

注2 如果存在一個常數(shù)M＞0，使得對所有的g∈G都有‖g‖∞≤M，那么集合G一致有界.

定理3［20］（Schauder's不動點定理）設(shè)（E，d）是一個完備度量空間，U是E上的閉凸集，A∶U→U，若｛Au∶u∈U｝是E上的相對緊集.那么A至少有一個不動點.

下面主要考慮系統(tǒng)（1），當1＜a＜2時，在初值條件

下解的存在唯一性.

系統(tǒng)（1）可以看成系統(tǒng)（3）對空間的離散化模型

系統(tǒng)（3）是在考慮梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量情況下，彈性基礎(chǔ)上的無限Timoshenko梁的彎曲振動方程，初始條件為靜止在平衡位置.式中：y為梁的橫向位移；p為作用于單位長度梁上的力，與時間和位置有關(guān)；E為梁的楊氏模量；I為橫截面的慣性矩；ζ為梁的密度；k′為剪切系數(shù)；A為橫截面積；G為梁的剪切模量；k為地基的剛度；作用力p（x，t）包括振動質(zhì)量原有的激勵力和質(zhì)量隨梁一起振動所產(chǎn)生的慣性力.

系統(tǒng)（1）～（2）中，Dα為Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，且1＜α＜2，Z是整數(shù)集，λ，ρ，β，δ，γ是正常數(shù)，f（t）=（fi（t））i∈Z∈l2是滿足某些條件的非線性函數(shù)，h是一個光滑函數(shù)，對所有的s∈R及正常數(shù)C滿足

y=（yi）i∈Z∈l2和θ=（θi）i∈Z∈l2是兩個序列，l2

表示通常的實序列空間.其定義如下l2上的內(nèi)積和范數(shù)定義如下

本文在H=l2×l2空間上討論分數(shù)階系統(tǒng)（1）～（2），令Φ=（y，θ）T∈l2×l2，定義l2×l2中的內(nèi)積和范數(shù)如下

對于任給y=（yi）i∈Z∈l2和θ=（θi）i∈Z∈l2，定義l2上的線性算子

則可推出

及

令y=（yi）i∈Z∈l2，θ=（θi）i∈Z∈l2，系統(tǒng)（1）～（2）就與下面形式的方程等價

初值條件為令Φ=（y，θ）T，G（t，Φ）=（-h（y）+f（t），0）T，Φ（0）=Φ′（0）=（0，0）T，則系統(tǒng)（4）～（5）轉(zhuǎn)化成空間H中的抽象常微分方程

其中則系統(tǒng)（1）～（2）的解的存在唯一性問題的證明轉(zhuǎn)化為證明系統(tǒng)（6）的解的存在唯一性問題.

2 主要結(jié)論

對任意的a＞0，令

并記

其中，a，b均為常數(shù)，‖Φ‖2H=‖y‖2+‖θ‖2，任給Φ=（y，θ）T∈H，而y，θ∈l2.現(xiàn)定義

其中，h是給定的滿足一定條件的正常數(shù).

引理1 對于Φ∈B及t∈J成立

其中

由此可知

取

則

又由于Φ∈B，及t∈J，故可得

證畢.

引理2 對于Φ∈B及t∈J，有

成立.

證明 由于G（t，Φ）=（-h（y）+f（t），0）T，則有

那么

又由于Φ∈B及t∈J，故可得

證畢.

引理3 對于0＜σ≤1及0＜c≤d，有

成立.

（H）假設(shè)存在某正常數(shù)β∈（0，α），使得實值函數(shù)

滿足如下條件

進一步，假設(shè)下面的三個條件也成立：

（H 1）G（t，Φ）-FΦ在J上關(guān)于t是勒貝格可測的；

（H 2）G（t，Φ），F(xiàn)Φ分別在B上關(guān)于Φ是連續(xù)的；

注 條件（H 1），（H 2）顯然成立，由引理1，引理2及（H）可知條件（H 3）也成立.

定理4 假設(shè)條件（H 1），（H 2），（H 3）均成立，那么對α∈（1，2），初值問題（6）在區(qū)間［0，h］上至少存在一個解，其中

證明 由Caputo算子的定義及性質(zhì)可知，系統(tǒng)（6）的解的存在唯一性問題等價于下面積分方程的解的存在唯一性問題

由Φ（0）=Φ′（0）=（0，0）T即得

記

在Ω上定義算子T如下

其中，Φ∈Ω，t∈［0，h］.

首先證明T是自映射的，即對任給Φ∈Ω，有TΦ∈Ω.

而

故

即T是自映射的.

其次證明算子T是全連續(xù)的（此部分分兩步給出證明）.

（i）證明算子T是連續(xù)的.

對任給Φm，Φ∈Ω，m=1，2，…，當m→∞時，

可得

因此，由條件（H 2）得

于是可知

及

另一方面，

因此

故T是連續(xù)的.

（ii）證明TΩ是相對緊的.

（a）對任給Φ∈Ω，

因此可

（b）對任給t1，t2∈［0，h］，t1≤t2，有

故

因此即得｛TΦ∶Φ∈Ω｝是等度連續(xù)的.于是由Ascoli-Arzela即可知TΦ是相對緊的.再由Schauder不動點定理可知存在Φ＊∈Ω，使得

即

故初值問題（6）在區(qū)間［0，h］上至少存在一個解.

證畢.

推論1 令（G（t，Φ）-FΦ）∈C（J×B，H），對任給α∈（1，2），初值問題（6）在區(qū)間［0，h′］上至少存在一個解.其中

注 該推論的證明過程與定理4的證明過程類似，在此省略.

定理5 假設(shè)（H1），（H2）成立，并假設(shè)

及

其中Φ，Ψ∈B，t∈J.則原初值問題在區(qū)間［0，h1］上存在唯一解.其中

證明 記

對于給定的Φ∈Ω，類似地在Ω上定義算子T如下

其中，t∈［0，h1］.類似地可以證明在［0，h1］上，T是自映射的.

接下來證明T是壓縮的.

事實上，對任給Φ，Ψ∈Ω，有

于是可知

故由Banach壓縮映射原理可知，T在［0，h1］上有唯一不動點，即原初值問題在區(qū)間［0，h1］上存在唯一解.

證畢.

推論2 令（G（t，Φ）-FΦ）∈C（J×B，H），對任給t∈J及Φ，Ψ∈B，α∈（1，2），假設(shè)存在常數(shù)L1，L2＞0，使得

那么初值問題（6）在區(qū)間［0，h1′］上存在唯一解，其中

注 該推論的證明過程與定理5的證明過程類似，在此省略.

定理6 假設(shè)（H 4）成立，如果Φ（t）是原初值問題在區(qū)間［0，h］上的解，那么Φ（t）是唯一的.其中

證明 假設(shè)Φ（t）和Ψ（t）均是初值問題（6）在區(qū)間［0，h］上的解，則對任給t∈［0，h］有

將式（7）和式（8）相減可得

又由條件（H 4）可得

因此

其中

故可知

證畢.

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