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    基于L-BFGS與NSGA-Ⅱ混合算法的IMRT逆向計(jì)劃優(yōu)化研究

    2015-12-02 07:02:36桂志國(guó)
    關(guān)鍵詞:靶區(qū)逆向器官

    楊 婕,桂志國(guó)

    (1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原030051;2.山西中醫(yī)學(xué)院 醫(yī)藥管理學(xué)院,山西 太原030619)

    0 引 言

    調(diào)強(qiáng)放射治療(Intensity Modulation Radia-tion Therapy,IMRT)被譽(yù)為21世紀(jì)放射治療發(fā)展的方向,是目前治療惡性腫瘤的主要手段之一.它通過(guò)調(diào)節(jié)照射腫瘤靶區(qū)(Planning Target Vol-ume,PTV)射線束的強(qiáng)度,使得靶區(qū)接受的劑量最大,靶區(qū)周圍危及器官(Organ At Risk,OAR)和正常組織(Normal Tissues,NT)接受的劑量最小,從而提高治療增益比,改善病人生存質(zhì)量.逆向計(jì)劃是IMRT的關(guān)鍵環(huán)節(jié),其主要過(guò)程是依據(jù)醫(yī)生給出PTV處方劑量和OAR耐受劑量,綜合考慮各種因素確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),再由計(jì)算機(jī)通過(guò)各種優(yōu)化算法計(jì)算每個(gè)射野的最佳射束強(qiáng)度分布,最終得到較優(yōu)的治療計(jì)劃.逆向計(jì)劃的質(zhì)量直接影響到治療的精度和療效.

    IMRT逆向計(jì)劃中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)分為物理目標(biāo)函數(shù)和生物目標(biāo)函數(shù).物理目標(biāo)函數(shù)描述的是處方劑量與所計(jì)算劑量分布之間的差值,如平均劑量函數(shù)、最小劑量函數(shù)、最大劑量函數(shù)和劑量-體積(Dose-Volume,DV)準(zhǔn)則等[1].生物目標(biāo)函數(shù)描述的是方案治療效果,是腫瘤或正常組織內(nèi)的非線性放射生物效應(yīng),如等效均一劑量(Equivalent Uniform Dose,EUD)、腫瘤控制率(Tumor Control Probability,TCP)和正常組織并發(fā)癥發(fā)生概率(Normal Tissue Complication Probability,NTCP).物理目標(biāo)函數(shù)的具有定義簡(jiǎn)單,便于應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn),但具有一定的局限性,不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)腫瘤或正常組織內(nèi)的非線性放射生物效應(yīng),生物目標(biāo)函數(shù)已成為一種替代物理目標(biāo)函數(shù)的選擇[2].有文獻(xiàn)[3-5]表明,生物目標(biāo)函數(shù)可以得到更好的劑量分布.

    IMRT逆向計(jì)劃優(yōu)化方法分為單目標(biāo)法和多目標(biāo)法.單目標(biāo)法是將多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)通過(guò)加權(quán)求和化為單一函數(shù)再使用成熟算法優(yōu)化,如L-BFGS(Limited Memory BFGS)算法.該方法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度較快,優(yōu)化時(shí)間短;缺點(diǎn)是對(duì)于非凸函數(shù)得到的可能是局部極值,各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重賦值是個(gè)反復(fù)試誤(Trial and Error)的過(guò)程[6],每次計(jì)算只能得到一個(gè)優(yōu)化解.多目標(biāo)法是采用進(jìn)化算法直接進(jìn)行優(yōu)化,如NSGA-Ⅱ(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ)算法.其優(yōu)點(diǎn)是一次計(jì)算就可以得到Pareto最優(yōu)解集合,具有更好的靈活性,缺點(diǎn)是響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng),收斂速度慢等.

    針對(duì)上述情況,本文將物理-生物混合目標(biāo)函數(shù)引入到IMRT逆向計(jì)劃中,利用L-BFGS算法對(duì)NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行加速,并對(duì)NSGA-Ⅱ算法的快速非支配排序策略進(jìn)行了修改.將本文算法與單一物理目標(biāo)和其他優(yōu)化方法在10名前列腺腫瘤患者中進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,利用新算法所得放射治療計(jì)劃質(zhì)量更高,所需計(jì)算時(shí)間更短.

    1 本文方法

    逆向計(jì)劃優(yōu)化的目的是得到最佳的放療方案,在對(duì)靶區(qū)產(chǎn)生不可恢復(fù)性摧毀的同時(shí)保護(hù)周圍關(guān)鍵組織和正常組織.為了得到更好的放療方案,本文對(duì)常見優(yōu)化算法[7-11]進(jìn)行了深入研究,在此基礎(chǔ)提出一種新算法.首先確定物理-生物的混合目標(biāo)函數(shù),以物理函數(shù)最小-最大劑量函數(shù)控制靶區(qū)的劑量分布,以物理函數(shù)DV準(zhǔn)則和生物函數(shù)廣義EUD(generalized EUD,gEUD)[12]控制危及器官的劑量分布.然后僅選擇靶區(qū)和危及器官的平均劑量函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)簡(jiǎn)化混合優(yōu)化目標(biāo),利用L-BFGS對(duì)其優(yōu)化.將L-BFGS優(yōu)化所得到的解與隨機(jī)生成的值合并作為NSGA-Ⅱ的第一代種群.最后利用NSGA-Ⅱ優(yōu)化混合目標(biāo)函數(shù),得到多個(gè)劑量分布方案供臨床使用.

    1.1 混合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

    通常逆向計(jì)劃優(yōu)化采用的是物理函數(shù)目標(biāo),計(jì)算每個(gè)體素劑量值與處方劑量差的平方,但其不能準(zhǔn)確反映器官組織受到不均勻劑量照射時(shí)的生物效應(yīng).因此為了保證放射治療計(jì)劃的質(zhì)量,本文在逆向計(jì)劃中提出一種帶約束的物理-生物混合目標(biāo)函數(shù):使用最小-最大劑量函數(shù)fmin-max(D)作為約束條件控制PTV的劑量,確保靶區(qū)的高劑量分布;利用DV準(zhǔn)則函數(shù)fDV(V50)作為約束條件控制危及器官內(nèi)劑量達(dá)到50 Gy的體積;利用gEUD函數(shù)fgEUD(D)和DV準(zhǔn)則函數(shù)fDV(V75)作為目標(biāo)函數(shù),盡量降低危及器官內(nèi)平均劑量和高劑量的分布.其數(shù)學(xué)模型如下

    式中:Di為第i個(gè)體素的劑量值;N為器官組織內(nèi)的所有體素點(diǎn);α(-∞≤α≤+∞)為劑量體積效應(yīng)因子,靶區(qū)組織的α≤1,正常組織的α>1;TD5/5是危及器官最小耐受劑量;V75指器官組織內(nèi)接收到劑量75 Gy的體積;Dmean為靶區(qū)處方劑量或正常組織的平均耐受劑量;Cd是適當(dāng)放寬靶區(qū)劑量的指數(shù);V50指器官組織內(nèi)接收到劑量50 Gy的體積;Vmax%指DV約束中對(duì)應(yīng)的體積上限.

    由于DV準(zhǔn)則函數(shù)和gEUD函數(shù)不是凸函數(shù),求導(dǎo)過(guò)程較復(fù)雜,為了便于后期使用L-BFGS算法優(yōu)化,本文將上述混合模型簡(jiǎn)化,將其改為只含有平均劑量函數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).數(shù)學(xué)模型如下

    1.2 混合優(yōu)化算法

    逆向計(jì)劃優(yōu)化常見算法分為確定型和概率型,其中具有代表性的是L-BFGS算法和NSGA-Ⅱ算法.L-BFGS算法是BFGS算法的改進(jìn),是擬牛頓法優(yōu)化算法的一種,屬于確定型算法.其采用目標(biāo)函數(shù)的一階梯度信息構(gòu)造一系列的正定矩陣逼近大規(guī)模的Hessian矩陣,從而在計(jì)算復(fù)雜度和存儲(chǔ)空間都有明顯降低,適合求解大規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題.NSGA-Ⅱ算法是NSGA的改進(jìn),屬于進(jìn)化算法的一種,屬于概率型算法.其通過(guò)增加精英保留策略、密度估計(jì)策略和快速非支配排序策略,改善了NSGA算法的缺點(diǎn).它以在解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的優(yōu)良性得到人們的廣泛關(guān)注.

    優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時(shí),如果單一使用L-BFGS算法首要需要解決的問(wèn)題就是對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo),而逆向計(jì)劃優(yōu)化中大部分函數(shù)都是非凸的,其求導(dǎo)過(guò)程較復(fù)雜;如果單一使用NSGA-Ⅱ算法直接優(yōu)化,又存在由于變量維數(shù)過(guò)高得不到滿意解和響應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題.因此,本文將兩種算法進(jìn)行混合,先以L-BFGS算法對(duì)簡(jiǎn)化的凸函數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,再以NSGA-Ⅱ算法對(duì)全部目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.主要流程如下

    Stepl:輸入CT數(shù)據(jù);

    Step2:判斷是否運(yùn)行L-BFGS算法5次,滿足則跳轉(zhuǎn)到Step5,否則執(zhí)行Step3;

    Step3:確定優(yōu)化函數(shù);

    Step4:運(yùn)行L-BFGS算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f,得到優(yōu)化解,并保存至數(shù)組X;

    Step5:確 定 多 目 標(biāo) 優(yōu) 化 函 數(shù),fgEUD(DOAR)和fDV(VOAR75),約束條件為fmin-max(DPTV)和fDV(VOAR50);

    Step6:隨機(jī)產(chǎn)生NSGA-Ⅱ算法295個(gè)初始解,并與X合并;

    Step7:運(yùn)行NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化目標(biāo);

    Step8:得到Pareto解集,結(jié)束.

    本文需采用L-BFGS算法優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)只有平均劑量函數(shù),給出其一階導(dǎo)數(shù).

    本文采用NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化的混合目標(biāo),將fmin-max(DPTV和fDV(VOAR50)作為約束條件.

    逆向計(jì)劃優(yōu)化過(guò)程屬于帶約束的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.NSGA-Ⅱ算法在處理約束條件時(shí)是將約束條件改成目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,得到優(yōu)化解后再通過(guò)決策挑選出適用解,這樣無(wú)疑加大了優(yōu)化的工作量.因此本文對(duì)NSGA-Ⅱ算法的快速非支配排序策略進(jìn)行了改動(dòng),假設(shè)a和b是兩個(gè)解,在判斷其是否為非劣解時(shí)首先要求滿足約束條件,再判斷目標(biāo)函數(shù)最小值.具體改動(dòng)為

    2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

    為了驗(yàn)證算法有效性,本文對(duì)10例前列腺腫瘤病人的實(shí)際數(shù)據(jù),分別使用混合目標(biāo)混合優(yōu)化法(M-M)、物理目標(biāo)混合優(yōu)化法(S-M)、混合目標(biāo)單一NSGA-Ⅱ法(M-S)和混合目標(biāo)無(wú)約束混合法(M-NM)進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn),并利用DVH圖、TCP[13]、NTCP[13]和HI[14]指數(shù)對(duì)不同方案優(yōu)化算法的結(jié)果進(jìn)行了評(píng)價(jià).

    器官組織CT(見圖1)由患者仰臥位采取.PTV為前列腺,OAR1是直腸(Rectum),OAR2是膀胱(Bladder).

    圖1 盆腔器官組織CT Fig.1 CT of pelvic organs

    CERR開源軟件采用5個(gè)6 MeV共弧面照射靶目標(biāo),機(jī)架角度依次為:36°,100°,180°,260°,324°,勾畫PTV和OAR得到劑量效應(yīng)矩陣.

    L-BFGS優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為f(D)=ζ1·fmean(DOAR2)+ζ2fmean(DOAR1+ζ3fmean(DPTV),靶區(qū)的均勻處方劑量為78 Gy,危及器官膀胱和直腸的耐受劑量設(shè)定為最小耐受劑量TD5/5:60 Gy,60 Gy.ζi是服從[0,1]的隨機(jī)數(shù),并做歸一化處理.

    NSGA-Ⅱ優(yōu) 化 目 標(biāo) 函 數(shù) 為fgEUD(DOAR2),fgEUD(DOAR1),fDV(VOAR275)和fDV(VOAR175).約束條件為fmin-max(DPTV),fDV(VOAR250)和fDV(VOAR150).其中靶區(qū)處方劑量為78 Gy,危及器官受到的g EUD為60 Gy,gEUD模型中直腸和膀胱α取值分別為8和8[15-16].約束條件是VOAR150%=50%,VOAR150%=50%,Cd=2.

    本文對(duì)比實(shí)驗(yàn)所使用的方案均在MATLAB平臺(tái)上編程實(shí)現(xiàn).NSGA-Ⅱ算法種群規(guī)模為300,進(jìn)化代數(shù)為600,變異率0.1,交叉率為[0,1]上的隨機(jī)數(shù).第一代父代種群中,包括5組L-BFGS算法得到的優(yōu)化解,及295組隨機(jī)數(shù).

    2.1 與單一物理目標(biāo)的對(duì)比

    在一例前列腺腫瘤患者上測(cè)試了本文目標(biāo)與物理目標(biāo)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.物理目標(biāo)選擇為fmax(DOAR2),fmax(DOAR1),fDV(VOAR275)和fDV(VOAR175).約束條件為fmin-max(DPTV),fDV(VOAR250)和fDV(VOAR150).其中fmax(D)函數(shù)定義如下

    式中:DmaxO危及器官的耐受劑量.優(yōu)化設(shè)置靶區(qū)均勻劑量為78 Gy,危及器官接受劑量為60 Gy.其他設(shè)置同混合目標(biāo)相同.兩種目標(biāo)函數(shù)均采用本文混合算法優(yōu)化.

    優(yōu)化結(jié)果如圖2所示,圖2(a)是采用M-M法優(yōu)化得到的所有DVH曲線圖,圖2(b)是采用S-M法優(yōu)化得到的所有DVH曲線圖,不同線型分別對(duì)應(yīng)靶區(qū)、直腸和膀胱.從圖中可以看出,采用混合目標(biāo)函數(shù)得到的靶區(qū)劑量分布更加均勻,即有90%的靶區(qū)達(dá)到最小劑量74 Gy,且最大劑量不超過(guò)處方劑量的110%(85.8 Gy).但對(duì)于單一物理目標(biāo)函數(shù),劑量上限超過(guò)了85.8 Gy,存在熱點(diǎn),影響了治療效果.圖2(c)為分別選擇兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)得到結(jié)果中TCP指數(shù)最高的一組對(duì)比,可以看出在確保PTV高劑量的同時(shí),混合目標(biāo)函數(shù)明顯降低了ORA內(nèi)高劑量的分布.同時(shí)與表1危及器官的DV約束準(zhǔn)則進(jìn)行比較,混合目標(biāo)所得到的DVH曲線在高劑量區(qū)域更加符合要求.

    分別計(jì)算兩種目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化后得到數(shù)據(jù)的TCP、NTCP及HI,選擇其中TCP較高的前5項(xiàng).數(shù)據(jù)見表2.從表中可以看出由于兩種目標(biāo)函數(shù)均使用fmin-max(DPTV)作為約束條件,因此所得到的TCP和HI指數(shù)幾乎相同,但用單一的物理目標(biāo)函數(shù)與混合目標(biāo)函數(shù)相比,其對(duì)危及器官高劑量分布的控制較差,直腸和膀胱的NTCP均有增大,尤其是直腸更加明顯.可見本文提出的混合優(yōu)化函數(shù),加入了g EUD生物目標(biāo)函數(shù),在TCP相同的情況下,NTCP有了明顯降低,更好地保護(hù)了危及器官,治療效果更好.

    本文在10例前列腺腫瘤患者中測(cè)試了混合目標(biāo)與單一物理目標(biāo)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.分別計(jì)算兩種目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化后得到數(shù)據(jù)的TCP、NTCP及HI,每個(gè)病例均選擇TCP最大的一組數(shù)據(jù),結(jié)果見表3.表中結(jié)果表明混合目標(biāo)對(duì)于不同的病人在TCP沒有減少的情況下,NTCP均有略微下降.

    圖2 不同的目標(biāo)函數(shù)在一例前列腺患者上所得結(jié)果 Fig.2 Results of patients with prostate using different objective function

    表1 危及器官的DV約束條件 Tab.1 DV constraint conditions for endanger organs

    表2 混合目標(biāo)函數(shù)和單一物理目標(biāo)函數(shù)在一例前列腺患者上所得TCP、NTCP和HI值 Tab.2 TCP,NTCP and HI values obtained from the mixed objective function and a single physical target function in the same patient with prostate

    表3 混合目標(biāo)函數(shù)和單一物理目標(biāo)函數(shù)在10例前列腺患者上所得TCP、NTCP和HI值 Tab.3 TCP,NTCP and HI values obtained from the mixed objective function and a single physical target function in 10 patients with prostate

    2.2 與單一NSGA-Ⅱ算法和無(wú)約束混合算法的對(duì)比

    在同一例前列腺腫瘤患者上,使用相同的混合目標(biāo)分別測(cè)試了M-M、M-S和M-NM.M-M參數(shù)設(shè)置與上文相同.M-S參數(shù)設(shè)置為種群300,遺傳代數(shù)600,變異率0.1,交叉率為[0,1]上的隨機(jī)數(shù).M-NM將混合目標(biāo)中的約束條件轉(zhuǎn)換為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),參數(shù)設(shè)置為種群300,遺傳代數(shù)600,變異率0.1,交叉率為[0,1]上的隨機(jī)數(shù),L-BFGS算法參數(shù)設(shè)置同M-M算法設(shè)置.優(yōu)化結(jié)果見圖3.圖3(a)是M-M優(yōu)化得到的所有DVH曲線圖,圖3(b)是M-S優(yōu)化得到的所有DVH曲線圖,圖3(c)是M-NM優(yōu)化得到的所有DVH曲線圖.圖3(d)為分別選擇三組優(yōu)化結(jié)果中TCP指數(shù)最高的一組對(duì)比.

    圖3 不同的優(yōu)化法在一例前列腺患者上所得結(jié)果 Fig.3 Results of different optimization methods used a patient with prostate

    從圖3中可以看出,相比單一NSGA-Ⅱ算法,在相同的種群和迭代次數(shù)設(shè)置下,混合算法能快速得到理想的DVH曲線,保證靶區(qū)的劑量分布,而單一NSGA-Ⅱ算法,靶區(qū)高劑量分布達(dá)不到90%的覆蓋率.而與無(wú)約束混合算法相比,相同的靶區(qū)分布下,危及器官內(nèi)高劑量的分布更少.因此,本文提出的混合算法優(yōu)化效率更高.在新算法中,雖然需要事先使用梯度算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),但優(yōu)化目標(biāo)已簡(jiǎn)化,因此計(jì)算時(shí)間并無(wú)明顯增加.

    3 結(jié) 語(yǔ)

    本文提出了一個(gè)新的逆向計(jì)劃優(yōu)化算法.先構(gòu)造了一個(gè)基于物理-生物準(zhǔn)則并帶有約束條件的混合優(yōu)化目標(biāo).再使用混合算法進(jìn)行優(yōu)化.為了驗(yàn)證新算法的有效性,本文算法在10例前列腺腫瘤患者上與基于物理準(zhǔn)則的優(yōu)化目標(biāo)、單一優(yōu)化算法和無(wú)約束優(yōu)化算法進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn).從大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中,可以看出,混合目標(biāo)混合優(yōu)化算法,可以在確保靶區(qū)劑量均勻分布的前提下,降低危及器官內(nèi)的劑量分布,提高優(yōu)化質(zhì)量.同時(shí),新算法避免了權(quán)值的選擇,并一次得到多個(gè)DVH曲線,醫(yī)生可以具體要求進(jìn)行個(gè)性化選擇,提高了臨床治療的靈活度,具有較好的可行性.但由于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和變量較多,在加速的情況下優(yōu)化時(shí)間仍較長(zhǎng).下一步將繼續(xù)嘗試為優(yōu)化算法加速.

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