抓準(zhǔn)教學(xué)時(shí)機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想

查達(dá)彬

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，所以教師在教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)思想的滲透。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)思想滲透的時(shí)機(jī)，有意識(shí)、有目的、有選擇地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，全面提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想 教學(xué)時(shí)機(jī) 滲透 感悟 化歸思想 對(duì)應(yīng)思想 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)建模

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）32-025

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類(lèi)、模型、數(shù)形結(jié)合等?！币虼耍跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，抓住其中的有利因素，有意識(shí)、有目的、有選擇地滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在潛移默化中感悟基本的數(shù)學(xué)思想，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，以“植樹(shù)問(wèn)題”一課教學(xué)為例，談?wù)勛约旱淖龇ê退伎肌?/p>

一、在解決問(wèn)題中滲透化歸的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷1：

出示問(wèn)題：在全長(zhǎng)100米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要栽多少棵樹(shù)？

師：如果這條路的一邊用一條線(xiàn)段來(lái)表示，請(qǐng)你猜一猜，一共需要栽多少棵樹(shù)呢？

生1：20棵。

生2：21棵。

師：你們都是怎么想的？

生1：100除以5得20。

生2（邊說(shuō)邊用手中的筆比劃）：這里是兩端都要栽，100除以5得20，是20個(gè)間隔，所以還要加1，應(yīng)該是21棵。

師：聽(tīng)起來(lái)好像都挺有道理的，有的說(shuō)20棵，有的說(shuō)21棵，到底哪個(gè)答案是對(duì)的呢？（生思考）

師：大家能用更加直觀(guān)的方法來(lái)驗(yàn)證自己的答案嗎？

生3：畫(huà)圖。

師：畫(huà)圖驗(yàn)證是一個(gè)好方法。

師（課件演示）：請(qǐng)看，“兩端要栽”指先在開(kāi)頭栽上一棵，然后每隔5米栽一棵。大家看，現(xiàn)在（鼠標(biāo)指向25米處）栽了多少米？

生4：現(xiàn)在栽了25米。

師：一共要栽多少米？

生5：100米。

師：照這樣一棵一棵畫(huà)，一直畫(huà)到100米，這要多長(zhǎng)時(shí)間呀？大家有什么想法嗎？

生6：太浪費(fèi)時(shí)間了，也太累、太麻煩了。

師：這樣一棵一棵畫(huà)下去，方法是可以的，但由于棵數(shù)太多，顯得非常麻煩。那有什么更簡(jiǎn)單的方法嗎？

生7：取20米畫(huà)圖。

師：說(shuō)說(shuō)看。

生7：先畫(huà)出在全長(zhǎng)20米道路一旁栽樹(shù)的線(xiàn)段圖（兩端要栽），再根據(jù)其結(jié)果來(lái)推想在全長(zhǎng)100米道路一旁栽樹(shù)的線(xiàn)段圖（兩端要栽）。

師：說(shuō)得好！這樣一來(lái)，畫(huà)的棵數(shù)就少多了，問(wèn)題也就變得簡(jiǎn)單多了。大家可要注意了，以后在遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，我們可以先從比較簡(jiǎn)單的例子想起。

……

思考：當(dāng)大家都認(rèn)為畫(huà)圖是個(gè)好方法但很麻煩、很浪費(fèi)時(shí)間時(shí)，教師及時(shí)提醒并引導(dǎo)學(xué)生找出簡(jiǎn)單的畫(huà)圖方法，使學(xué)生體會(huì)到研究比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)可以從簡(jiǎn)單問(wèn)題或簡(jiǎn)單事例入手。這樣教學(xué)，不僅符合學(xué)生的年齡特征、思維方式及認(rèn)知規(guī)律，較好地完成教學(xué)任務(wù)，而且能把抽象的化歸思想滲透其中，讓學(xué)生在“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

二、在尋求規(guī)律中滲透對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷2：

師（課件演示）：同學(xué)們仔細(xì)看一看，線(xiàn)段圖中有幾個(gè)間隔？能栽幾棵樹(shù)？

生1：有4個(gè)間隔，能栽5棵樹(shù)。

師：從這個(gè)線(xiàn)段圖中，我們能看出什么？

生2：能看出栽樹(shù)的棵樹(shù)比間隔數(shù)多1。

師：這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法是不是正確呢？通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題畫(huà)出的線(xiàn)段圖是不是就有代表性呢？

生3：我們還可以多選幾個(gè)數(shù)據(jù)畫(huà)一畫(huà)。

師：好！我們多選幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)畫(huà)線(xiàn)段圖，看看間隔數(shù)和棵數(shù)之間到底有什么關(guān)系。

課件出示表格：

（生先畫(huà)圖自主探究，再展示匯報(bào)）

師：通過(guò)畫(huà)圖我們找出了間隔數(shù)和棵數(shù)，現(xiàn)在請(qǐng)大家認(rèn)真觀(guān)察表格，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

生4：這里一個(gè)點(diǎn)就是一棵樹(shù)，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)著一棵樹(shù)。每隔5米栽一棵樹(shù)，20米有4個(gè)間隔，能栽5棵樹(shù)；15米有3個(gè)間隔，能栽4棵樹(shù)；10米有2個(gè)間隔，能栽3棵樹(shù)；5米只有一個(gè)間隔，能栽2棵樹(shù)，這說(shuō)明棵數(shù)都比間隔數(shù)多1。（師再請(qǐng)幾位學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的想法）

師：你們同意他們的說(shuō)法嗎？（生齊聲回答“同意”）

……

思考：事實(shí)上，“植樹(shù)問(wèn)題”的本質(zhì)就是對(duì)應(yīng)問(wèn)題，學(xué)生只要明確了“間隔”與“樹(shù)”這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。因此，教師教學(xué)時(shí)可從“間隔”與“樹(shù)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手，先讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)出四個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)（如20米、15米、10米、5米）的線(xiàn)段圖，計(jì)算出間隔長(zhǎng)，再找出間隔數(shù)與栽樹(shù)棵數(shù)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“在一段路的一旁栽樹(shù)（兩端要栽），栽樹(shù)棵數(shù)比間隔數(shù)多1”，即“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”這一規(guī)律。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，而且較好地處理了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與感悟數(shù)學(xué)思想之間的關(guān)系，可謂匠心獨(dú)具，一舉多得。

三、在深入探究中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷3：

出示問(wèn)題：16米長(zhǎng)的一條路，如果在它的一邊每隔4米栽一棵樹(shù)，需要栽幾棵樹(shù)？

（題目一出，全班學(xué)生異口同聲地回答“5棵”）

師：真的是5棵嗎？請(qǐng)把題目再仔細(xì)讀一讀。

生1：不一定是5棵，這里沒(méi)有說(shuō)明“兩端要栽”。

師：你們?cè)陬}目里看到“兩端要栽”這四個(gè)字了嗎？（大部分學(xué)生都很無(wú)力地回答“沒(méi)有”）

師：那么，到底需要栽幾棵樹(shù)呢？（學(xué)生很茫然）

師：剛才我們遇到問(wèn)題時(shí)是用什么辦法解決的？

生2：畫(huà)圖。

師：對(duì)，我們還可以通過(guò)畫(huà)圖解決問(wèn)題。（生畫(huà)圖）

師：通過(guò)畫(huà)圖，你們發(fā)現(xiàn)可以栽幾棵樹(shù)？

生3：我發(fā)現(xiàn)可以栽5棵樹(shù)。

生4：我發(fā)現(xiàn)可以栽4棵樹(shù)。

生5：我發(fā)現(xiàn)可以栽3棵樹(shù)。

師：誰(shuí)的答案是對(duì)的呢？我們來(lái)比較一下。（課件演示）

生6：我明白了，5棵是指兩端都栽，棵數(shù)是間隔數(shù)加1；4棵是指只栽一端，棵數(shù)等于間隔數(shù)；3棵是指兩端都不栽，棵數(shù)是間隔數(shù)減1。這里沒(méi)有說(shuō)明怎么栽樹(shù)，所以三種答案都對(duì)。

師小結(jié)并板書(shū)：

兩端都栽 棵樹(shù)=間隔數(shù)+1

只栽一端 棵樹(shù)=間隔數(shù)

兩端都不栽 棵樹(shù)=間隔數(shù)-1

師：在剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程中，大家有什么感想？或者說(shuō)，要注意些什么？

生7：我覺(jué)得，剛才的問(wèn)題只要一畫(huà)圖，就會(huì)想到有三種不同的情況。

生8：以后在動(dòng)腦思考問(wèn)題時(shí)，要注意動(dòng)手畫(huà)圖，因?yàn)槭帜X并用有助于問(wèn)題的解決。

師：這兩位同學(xué)都說(shuō)得非常好。思考問(wèn)題尤其是數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一定要注意邊思考邊畫(huà)圖，因?yàn)楫?huà)圖能促進(jìn)大腦的思考。

……

思考：著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！薄皵?shù)形結(jié)合可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)?！庇纱丝梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想對(duì)幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能起到關(guān)鍵的作用。如在“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生由于受前面“兩端要栽”這一思維定式的影響，得出模棱兩可的答案時(shí)，教師適時(shí)自然、巧妙地引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出線(xiàn)段圖。這樣不僅能較好地幫助學(xué)生找到解決“植樹(shù)問(wèn)題”的三種規(guī)律，而且使學(xué)生在這一過(guò)程中體會(huì)到畫(huà)線(xiàn)段圖有利于找到問(wèn)題的解決辦法，從而將“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想埋藏心底并逐漸內(nèi)化成為自己解決問(wèn)題的一種習(xí)慣。

四、在拓展延伸中滲透數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷4：

師：在我們的生活中，有沒(méi)有類(lèi)似“植樹(shù)問(wèn)題”的情況呢？（生答略）

師（小結(jié)）：其實(shí)，“植樹(shù)問(wèn)題”不只和樹(shù)有關(guān)，在生活中還有許多與“植樹(shù)問(wèn)題”相似的情況，如安裝路燈、站隊(duì)中的方陣、鋸木頭、花壇擺花、敲鐘……它們中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題?！爸矘?shù)”的路線(xiàn)可以是一條線(xiàn)段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線(xiàn)，如正方形、長(zhǎng)方形、圓形……

思考：“植樹(shù)問(wèn)題”的模型源于生活，又高于生活，所以在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。如上述教學(xué)中，在學(xué)生已經(jīng)自主尋找到解決“植樹(shù)問(wèn)題”的三種規(guī)律后，教師適時(shí)指出“在生活中還有許多與‘植樹(shù)問(wèn)題相似的情況”，并讓學(xué)生相互舉例說(shuō)明。學(xué)生在舉例交流中進(jìn)一步體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活中的許多不同問(wèn)題都含有與“植樹(shù)問(wèn)題”相同的數(shù)量關(guān)系，這些問(wèn)題都可以利用“植樹(shù)問(wèn)題”的模型或者說(shuō)利用解決“植樹(shù)問(wèn)題”的方法來(lái)解決，從而感悟到數(shù)學(xué)建模的重要意義。

小學(xué)數(shù)學(xué)中提到的數(shù)學(xué)思想還有很多，如數(shù)學(xué)符號(hào)思想、分類(lèi)思想、類(lèi)比思想、集合思想、統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等，這些數(shù)學(xué)思想的滲透除要把握好教學(xué)時(shí)機(jī)外，還要注意與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，防止生搬硬套、和盤(pán)托出、脫離實(shí)際等適得其反的做法。

總之，只要我們?cè)诮虒W(xué)中把握契機(jī)，注意方法并持之以恒，學(xué)生就能真正感悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，從而全面提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 杜 華）