ARIMA模型在基坑變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

王沈力，賁柯

（甘肅中建市政工程勘察設(shè)計(jì)研究院，甘肅 蘭州 730000）

1 概 述

為了檢測(cè)巖土基坑的穩(wěn)定性，變形監(jiān)測(cè)是必不可少的。變形監(jiān)測(cè)是為工程建設(shè)的可行性評(píng)估以及后期運(yùn)營(yíng)提供數(shù)據(jù)資料。時(shí)間序列分析是一種動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)處理方法，其特點(diǎn)在于各個(gè)觀測(cè)值之間通常是不獨(dú)立的，未來(lái)數(shù)據(jù)可以由當(dāng)前以及過(guò)去數(shù)值來(lái)預(yù)測(cè)，可以利用觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述客觀現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)特征。本文針對(duì)蘭州某基坑變形監(jiān)測(cè)資料進(jìn)行分析,采用時(shí)間序列分析建模，主要采用ARIMA模型，再利用Eviews6.0實(shí)現(xiàn)建模過(guò)程，最終得出該方法處理的模型。

ARIMA模型的基本思想是：將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)近似描述這個(gè)序列。這個(gè)模型一旦被識(shí)別后就可以從時(shí)間序列的過(guò)去值及現(xiàn)在值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值。

對(duì)于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列Xt｛｝(t=1,2,···n)，若Xt不僅與前n 步的各個(gè)取值xt-1,xt-2,xt-n有關(guān)，還與前m 步的干擾at-1,at-2,at-m有關(guān)，因此可得到最一般的ARMA模型：

其中φ1(i=1,2,···n)稱(chēng)為自回歸參數(shù)，稱(chēng)為滑動(dòng)平均參數(shù)，為白噪聲序列。式（1）稱(chēng)為自回歸滑動(dòng)平均模型，記為ARMA（n，m）模型。而ARIMA（p，d，q）模型實(shí)質(zhì)上先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行d次差分處理，然后再擬合ARMA（p，q）模型。

2 ARIMA模型建模的步驟

2.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖以及ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢(shì)及其季節(jié)性變化規(guī)律，對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。一般來(lái)講，大部分時(shí)間序列都不是平穩(wěn)序列。

2.2 平穩(wěn)化處理

對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，我們通常用差分法進(jìn)行處理，以達(dá)到平穩(wěn)化。一般來(lái)講，一階差分可以消除線性趨勢(shì)，二階差分可以消除二次曲線趨勢(shì)。重復(fù)進(jìn)行差分，直至成為平穩(wěn)序列。此時(shí)，差分的次數(shù)即為ARIMA（p，d，q）模型中的階數(shù)d。從理論上講足夠多次的差分運(yùn)算可以充分提取序列中的非平穩(wěn)確定性信息，但也應(yīng)當(dāng)避免過(guò)度差分，防止消除原序列的長(zhǎng)期特征，丟失某些信息。實(shí)際的時(shí)間序列差分階數(shù)d一般不超過(guò)2。

2.3 模型定階

根據(jù)時(shí)間序列模型的識(shí)別規(guī)則，建立相應(yīng)的模型。若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，可斷定序列適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。

2.4 參數(shù)估計(jì)

Eviews6.0中常用的估計(jì)方法有矩估計(jì)、極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)，以此來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窬哂薪y(tǒng)計(jì)意義。

2.5 模型檢驗(yàn)

對(duì)所建立模型的殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，得到殘差的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，診斷殘差序列是否為白噪聲。

2.6 預(yù)測(cè)

利用已通過(guò)檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

3 實(shí)例分析

3.1 工程概況

根據(jù)蘭州某基坑工程進(jìn)展情況，于2013年12月17日對(duì)該基坑工程進(jìn)行第一次沉降變形觀測(cè)，截至2014年03月27日第37次觀測(cè)為止。基坑沉降變形觀測(cè)點(diǎn)按國(guó)家一等水準(zhǔn)測(cè)量精度要求進(jìn)行施測(cè)，測(cè)站觀測(cè)采用光學(xué)測(cè)微法，視線長(zhǎng)度≤50m,前后視距差≤1m,視線高度≥0.2m，水準(zhǔn)觀測(cè)的限差符合基輔分劃讀數(shù)之差0.5mm,高差之差為0.7mm,往返較差及環(huán)線閉合差≤1.0mm（n為測(cè)站數(shù)）。沉降觀測(cè)每次采用固定人員司儀、記錄，設(shè)備采用徠卡DNA03電子水準(zhǔn)儀，標(biāo)尺采用3.0米條碼標(biāo)尺。每次作業(yè)前已對(duì)水準(zhǔn)儀的i角及水準(zhǔn)尺的水準(zhǔn)器進(jìn)行檢查。

3.2 時(shí)間序列分析

為了反映基坑的沉降變化趨勢(shì)，我們選取10個(gè)不同的點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。本文僅列出1號(hào)點(diǎn)位不同時(shí)期的觀測(cè)量,表1為1號(hào)點(diǎn)位不同時(shí)期觀測(cè)數(shù)據(jù)。

1號(hào)點(diǎn)位不同時(shí)期觀測(cè)數(shù)據(jù) 表1

3.2.1 平穩(wěn)性

由圖1可知該序列是不平穩(wěn)序列。

圖1 1號(hào)點(diǎn)的原始序列圖

3.2.2 平穩(wěn)化處理

由于原始序列不是平穩(wěn)序列，因此需對(duì)其進(jìn)行1階差分，得到圖所示的折線圖。從圖2可看出，該序列是寬平穩(wěn)過(guò)程，并且實(shí)現(xiàn)了零均值。

3.2.3 模型定階

圖2 1號(hào)點(diǎn)1階差分后的序列圖

1階差分后的折線圖滿足了平穩(wěn)、零均值化條件,計(jì)算該序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)如圖3所示。從圖中可看出ACF與PACF都在延遲大概二階后，基本控制在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，可認(rèn)為該序列在零軸附近波動(dòng)，具有短期相關(guān)性，同時(shí)可認(rèn)為該序列為平穩(wěn)隨機(jī)序列，故可構(gòu)造ARIMA（2,1,2）模型。

3.2.4 參數(shù)估計(jì)

這里我們采用最小二乘估計(jì)，估計(jì)參數(shù)結(jié)果如圖4所示。

圖3 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)圖

圖4 參數(shù)估計(jì)結(jié)果圖

3.2.5 模型檢驗(yàn)

對(duì)此模型的殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，得到殘差的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，可知模型的殘差基本都在置信區(qū)間范圍內(nèi)，可認(rèn)為與0無(wú)明顯差異，已基本上消除了自相關(guān)和偏自相關(guān)，表明殘差序列是獨(dú)立的。綜合上述分析可以得出結(jié)論，利用ARIMA（2,21,2）模型是合適的。

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)用Eviews6.0擬合好的模型—ARIMA（2,1,2）模型,對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表2所示。

經(jīng)過(guò)對(duì)基坑工程10個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降變形，表2列出了1號(hào)點(diǎn)從2014年2月19日到2014年3月27日共10個(gè)觀測(cè)值的實(shí)際值、預(yù)測(cè)值以及他們之間的差值,其差值的絕對(duì)值均在0.6mm之內(nèi),說(shuō)明預(yù)測(cè)值能達(dá)到較高的精度,達(dá)到了令人滿意的結(jié)果。

1號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值比較 表2

4 結(jié) 論

①在基坑沉降變形監(jiān)測(cè)中應(yīng)用時(shí)間序列分析模型進(jìn)行建模,具有良好的效果,但隨著時(shí)間的推移，預(yù)測(cè)精度會(huì)逐漸降低,因此需要根據(jù)實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模以避免預(yù)測(cè)結(jié)果失真。

②時(shí)間序列預(yù)測(cè)ARIMA模型在變形監(jiān)測(cè)中具有良好的短期預(yù)測(cè)效果,只需對(duì)觀測(cè)序列進(jìn)行動(dòng)態(tài)的建模,就可以實(shí)時(shí)掌握基坑施工過(guò)程中的變形情況,確保工程施工和運(yùn)營(yíng)的安全。

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