函數、方程、不等式的關系

萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

函數、方程、不等式的關系

萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

我們學習方程、函數、不等式已經有很長時間了，我們知道函數關系是指某個變化過程中兩個變量具有某種對應關系，方程是有已知量和未知量構成，不等式……。他們之間存在區(qū)別又有聯(lián)系。方程表述實際問題中數量相等關系，不等式表述數量不等關系，函數表述數量之間相等的關系。本文主要說明了一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式的關系

函數 方程 不等式 綜合運用

1.一次函數與一次方程之間的關系

函數、方程、不等式的學習是貫穿我們整個初中和高中的教學的，地位尤為重要，這三個知識點也同樣是中考、高考中的重頭戲。在很多同學學習這三個知識點的時候，把這三者當成相互獨立的知識點來學習，這是不對的。其實三者之間的關系特別密切，三者之間也是可以進行相互轉換的，若能熟練的掌握三者之間的關系，對我們提高做題的效率是大有裨益的。下面我們首先來看函數與方程的關系。

我們知道一次函數的一般形式為：y=ax+b（a≠0），函數的圖像是一條直線。根據我們以前學過的知識，我們知道，x是自變量，所表示的是橫坐標；y叫做因變量，也可以叫做函數值，對應的是圖像上任意點的縱坐標。如果令y=0，上面的解析式也就變成了ax+b=0，也就是一個一元一次方程了。我們可以從兩個方面來理解這個問題：

1.從函數值的角度出發(fā)：求ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的解就相當于求x為何值時，y=ax+b的值為0。

2.從函數圖像上來看：求ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的解就相當于函數y=ax+b與x軸的交點。

舉例說明如下：

我們先來看一個簡單的一元一次函數：y=x+1

我們舉的例子是一個典型的一次函數，圖像會是一條直線，在x軸上的截距為-1，在y軸上的截距為1，與x軸的交點為（-1，0）。則y=x+1與x軸的交點（-1，0）就是方程x+1=0的解。下面我們再來看一個實際應用的例子：

例1一個物體現(xiàn)在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再過幾秒它的速度為17m/s？（要求用兩種方法解題）

解法一：從方程的觀點來解題

設再過x秒物體的速度為17m/s。列方程

解得x=6

解法二：速度y（單位：m/s）是時間x（單位：s）的函數

由 2x+5=17

得2x-12=

由圖像看出直線y=2x？12與x軸的交點為（6，0），得x=6.

2.一次函數與一元一次不等式的關系

我們知道，所有的一次不等式全部可以變形為ax+b＞0或者ax+b＜0的形式，我們換一種想法，我們可以把解這個不等式看作是函數y=ax+b的函數值大于0或者小于0的形式，進而我們就可以從函數的圖像上，直接看出不等式的解，可能大家會覺得這樣做的意義不大。確實，在一次函數與不等式中，利用函數圖像解不等式的優(yōu)勢并不是很明顯，但是到二次不等式乃至高次不等式，這種思想就變得尤為關鍵。

舉一個簡單的例子：我們想解不等式-2x+3＞0，利用函數的思想，要先設出一個函數y=-2x+3

如果我們畫出函數圖像，可以直接觀察到，在x＞3/2函數值大于0，所以不等式-2x+3＞0的解為｛x│x＞3/2｝。

例2、某公司經營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元；每件乙種商品進價8萬元，售價lO萬元，且它們的進價和售價始終不變.現(xiàn)準備購進甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元.

（1）該公司有哪幾種進貨方案？

（2）該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3）若用（2）中所求得的利潤再次進貨，請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案.

【解】：（1）設購進甲種商品茗件，乙種商品（20-x）件.

190≤12x+8（20-x）≤200 解得7.5≤x≤10.

∵x為非負整數，∴x取8，9，lO

有三種進貨方案：購甲種商品8件，乙種商品12件

購甲種商品9件，乙種商品ll件

購甲種商品lO件，乙種商品10件

（2）購甲種商品10件，乙種商品10件時，可獲得最大利潤

最大利潤是45萬元

（3）購甲種商品l件，乙種商品4件時，可獲得最大利潤

【說明】列不等式（組）解決實際問題與列方程（組）解決實際問題的步驟、方法基本類似，可類比復習.在運用不等式（組）解決實際問題時，關鍵分析問題中的數量關系，特別注意抓住問題中的關鍵字，如“不超過”、“至少”等.找出不等關系，從而列出不等式.

3.二次函數與一元二次不等式的關系

在學習一元二次不等式的時候，許多同學感到比較費勁，老師上課講的方法只能死記硬背，不好理解。其實咱們只要換一種想法，類似一次函數與一次不等式之間的關系一樣，把二次不等式和二次函數聯(lián)系起來，那么所有的問題都會迎刃而解。

假設我們要解這樣的一個不等式：-x2+2x+3＞0-x2，我們第一步需要做的還是要設出一個函數y=-x2+2x+3

通過圖像我們可以看出，當x＜-1和x＞3時，函數值小于0。-1＜x＜3時函數值大于0。所以相對應不等式的解就應該是｛x│-1＜x＜3｝。

我們上面舉的例子只是其中的一種情況，二次函數與不等式結合的類型題主要類型題有以下幾種：

一、利用不等式的性質，轉化我們要求的未知量

例3已知函數f（x）=ax2bx+c（a，b，c∈R），當x∈［-1，1］時│f（x）│≤1，求證：

；（1）│b│≤1

（2）若g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R）則當x∈［-1，1］時，求證：│g（x）│≤2。

思路分析：我們并不能直接的求出a，b，c的值，然而，值得我們注意的是：題目要求我們做的也并不是求b或g（x）的確定值，而是讓我們算出取值范圍，正因為這樣原因，我們可以把用f（-1）、f（0）、f（1）來表示a，b，c。

證明：（1）由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，從而有

由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，a+c=1/2［f（1）+f（-1）］，c=f（0），從而a=1/2［f（1）+f（-1）］-f（0）

將以上三式代入g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R），并整理得

總結

在當前的教學中，函數與方程、不等式的結合越來越多，同樣在高考中所占的比重也越來越大，通過統(tǒng)計每年的高考試題數據，我們不難發(fā)現(xiàn)在每次的考試中，函數轉換方程、不等式的思想遍布各個題型中。但是現(xiàn)在，大部分師生對這部分的研究較少，即使研究了，也是比較片面的，沒有將三者有機的結合起來，形成連貫的知識體系。隨著數學教學改革的深入，教師應該在日常的教學中注重培養(yǎng)學生函數與方程思想這一方面的能力，以提高學生的做題效率，培養(yǎng)學生的數學思維。