高中學(xué)生數(shù)學(xué)類比思維的培養(yǎng)

賴偉英

[摘 要]

類比思維一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種學(xué)習(xí)思維。它能讓學(xué)生通過對(duì)A知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)而激發(fā)出對(duì)B知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情。培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能讓學(xué)生猜想與發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而幫助尋找解題思路。

[關(guān)鍵詞]

類比思維;聯(lián)想;雙曲線

從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)以來，筆者發(fā)現(xiàn)，教師在課堂教學(xué)中不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還要培養(yǎng)學(xué)生諸如逆向思維、歸納思維、整體思維、類比思維等?；诟咧袛?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多且抽象復(fù)雜，其定理、概念、性質(zhì)和解題方法要求學(xué)生具有一些數(shù)學(xué)思維，其中類比思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與解題中運(yùn)用較為普遍且有效的思維方式之一。類比思維能讓學(xué)生通過A知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)B知識(shí)的引路學(xué)習(xí)方式。如何培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，運(yùn)用有效的方法學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)與解題會(huì)取到很好的效果。

一、類比思維論述

類比就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比思維是從兩個(gè)對(duì)象之間在某些方面的相似關(guān)系中受到啟發(fā)，從而使問題得到解決的一種創(chuàng)造性思維。類比思維具有聯(lián)想、啟發(fā)、假設(shè)、模擬等多種功能，在創(chuàng)造性思維中居于重要的地位。

二、類比思維與高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系

類比思想由來已久，我國古代著名木匠魯班看到帶有齒輪狀的樹葉，他根據(jù)類比思想發(fā)明了一種砍樹工具——鋸;還有著名的物理學(xué)家牛頓運(yùn)用類比思維將自由落體運(yùn)動(dòng)與天體的運(yùn)動(dòng)作比較，最終發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，教師不妨培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，運(yùn)用類比思想深入分析和探討類比方法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

首先，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容編排的特點(diǎn)，在傳授新知識(shí)時(shí)，可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比思維方法得出所要講授的新知識(shí)，以此慢慢讓學(xué)生掌握類比推理的方法。其次，教師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行階段性知識(shí)總結(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，可以借助相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行類比，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比的習(xí)慣。最后，在對(duì)學(xué)生講述如何解題的教學(xué)中，教師通過類比引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推廣數(shù)學(xué)命題或者通過類比，從中尋找解題的途徑，以達(dá)到深化對(duì)題目相關(guān)考查知識(shí)的理解，從而掌握這些數(shù)學(xué)思想方法。

三、類比思維的運(yùn)用——以橢圓、雙曲線教學(xué)知識(shí)為例

高中學(xué)習(xí)中，很多知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)時(shí)可以通過對(duì)比學(xué)習(xí)，這種對(duì)比就是常說的類比思維。下面將以圓錐曲線中橢圓、雙曲線知識(shí)為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行類比思維。教師在講解橢圓和雙曲線教學(xué)內(nèi)容的時(shí)候，可以展示如下表類比對(duì)象。

通過類比二者的不同和相同處，讓學(xué)生透徹理解并掌握橢圓和雙曲線這兩個(gè)對(duì)象的表達(dá)式和圖像及性質(zhì)。為了更好的說明類比思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用，下面選取橢圓和雙曲線部分性質(zhì)給予論證。

（一）關(guān)于焦半徑公式的運(yùn)用

類比思維是創(chuàng)造性思維的一種形式，有時(shí)我們可以從一種研究對(duì)象的結(jié)論出發(fā)，往往能創(chuàng)造的喜悅不可思議。焦半徑公式在圓錐曲線學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)經(jīng)常使用到。下面用一道例題看看這兩個(gè)知識(shí)有何區(qū)別。

例1、已知P（x0，y0）是橢圓[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）上一點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0;類比思考之后，你能得出雙曲線類似的結(jié)論嗎？

其實(shí)，在雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]中，經(jīng)過論證，有|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|。為了去絕對(duì)值，還要再分兩種情況：當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，則|PF1||=-（ex0+a），|PF2|=-（ex0-a）;當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，則|PF1||=ex0+a，|PF2|=ex0-a。

此外，對(duì)于焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，可相應(yīng)將x0換成y0即可得出公式。

教師需要根據(jù)把橢圓與雙曲線的知識(shí)點(diǎn)是緊密聯(lián)系的，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行合理遷移，在通過類比得出另一種研究對(duì)象的許多意想不到的結(jié)論。正如現(xiàn)代美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn)?！?/p>

（二）根據(jù)基本概念與性質(zhì)推導(dǎo)其他性質(zhì)的運(yùn)用

對(duì)于橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)，學(xué)生一定要掌握這兩大知識(shí)內(nèi)容的基本性質(zhì)。類比思維是合情推理中一種重要的思維方式，學(xué)生一定要能利用概念與性質(zhì)推導(dǎo)出其他性質(zhì)，從而在數(shù)學(xué)解題中讓題目迎刃而解。下面兩道題目對(duì)激發(fā)學(xué)生的解題興趣很有幫助。

例2、設(shè)橢圓[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) M為橢圓上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，[∠F1MF2=α]，則三角形[F1MF2]的面積[S=b2tanα2]。請(qǐng)證明這個(gè)三角形面積。類比思考之后，你能得出雙曲線有類似的結(jié)論嗎？

證明：由橢圓定義得：[MF1+MF2=2a????（1）]

在[△F1MF2]中，由余弦定理可得：

[MF12+MF22-2MF1?MF2cosα=4c2????（2）]

（1）式平方 -（2）式得，

[2MF1?MF2（1+cosα）=4a2-4c2，]

[MF1?MF2=2b21+cosα]，

S=[S=12MF1?MF2sinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2]。

同理根據(jù)上述性質(zhì)類比得到雙曲線為，點(diǎn)M為雙曲線上除定點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，

設(shè)[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) M為橢圓上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，[∠F1MF2=α]，則三角形[F1MF2]的面積[S=b2cotα2]。（證明過程略）

基于在這道題的結(jié)論中，橢圓與雙曲線的兩個(gè)面積公式的不同之處僅在三角形的正切與余切的區(qū)別，可以說這種形式的不單單是圓錐曲線性質(zhì)規(guī)律性的一種反映，更是在對(duì)比學(xué)習(xí)中，運(yùn)用類比方法能很好的讓題目迎刃而解。

例3、已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為[kPM]、[kPN]時(shí)，那么[kPM]與[kPN]之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線[x2a2-y2b2=1]寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。

解題分析：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、（下轉(zhuǎn)第60頁）（上接第53頁）PN的斜率都存在，并記為[kPM]、[kPN]時(shí)，那么[kPM]與[kPN]之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值。

證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為（[m ，n]）、（[x ，y]），則N（[-m ，-n]），其中[m2a2-n2b2=1]。

因?yàn)辄c(diǎn)M（[m ，n]）在已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上，所以由[kPM]=[y-nx-m]，[kPN]=[y+nx+m]，得[kPM]·[kPN]=[y-nx-m]·[y+nx+m]=[y2-n2x2-m2]，

因?yàn)辄c(diǎn)M（[m ，n]）在已知雙曲線[m2a2-n2b2=1]上，所以[n2=b2a2m2-b2]，因?yàn)辄c(diǎn)P（[x ，y]）在已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2=b2a2x2-b2]，代入得[kPM?kPN=b2a2?x2-n2x2-m2=b2a2]（定值）。

四、反思與總結(jié)

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾說過：“類比是偉大的引路人”。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能合理地運(yùn)用“類比”方法，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有益的。本文選取圓錐曲線中橢圓與雙曲線的類比教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容有許多相似之處，案例中運(yùn)用類比方法可以引導(dǎo)學(xué)生提出問題、進(jìn)行探究，在學(xué)生思考中慢慢培養(yǎng)其類比思維。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]鄧益陽.探究一類新型題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004（2）.

[2]徐永忠.解析深化理性思維考查的數(shù)學(xué)高考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（11）.

[3]王忠維.橢圓與雙曲線——奇妙的類比[J].數(shù)學(xué)大世界（教師適用），2011（12）.