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    “動(dòng)態(tài)問(wèn)題”求解探究

    2015-11-05 14:17馮永樂(lè)
    中小學(xué)教學(xué)研究 2015年9期
    關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)數(shù)形變量

    馮永樂(lè)

    [摘 要]

    動(dòng)態(tài)問(wèn)題變化形式多樣,綜合性強(qiáng),教學(xué)中教師應(yīng)抓住數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想,揭示變量與變量,變量與不變量之間的關(guān)系,讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題。

    [關(guān)鍵詞]

    動(dòng)態(tài)問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合;分類(lèi)討論

    動(dòng)態(tài)問(wèn)題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的部分,其變化形式多樣,根據(jù)不同的變化情況可歸納為動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)形三種類(lèi)型。它的綜合性強(qiáng),是對(duì)學(xué)生的綜合能力、思維能力、創(chuàng)新能力的綜合考查,在考試中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題思維跨度大,而且還需要有動(dòng)與靜的辯證思考等等,學(xué)生覺(jué)得難度大。因此要讓學(xué)生掌握,就應(yīng)教給學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法,采用“動(dòng)靜結(jié)合,以靜制動(dòng)”等思維方法,揭示變量與變量,變量與不變量之間的關(guān)系,揭示動(dòng)態(tài)問(wèn)題背后蘊(yùn)含著核心的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想,從而達(dá)到掌握解題思路及探究方法。

    一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

    (一)動(dòng)點(diǎn)形成函數(shù)問(wèn)題

    例1.如圖,點(diǎn)P是□ABCD邊上一動(dòng)點(diǎn),沿A→D→C→B的路徑移動(dòng),設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x,△BAP的面積是y,則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )。

    分析:分三段來(lái)考慮點(diǎn)P沿A→D運(yùn)動(dòng),△BAP的面積逐漸變大;點(diǎn)P沿D→C移動(dòng),△BAP的面積不變;點(diǎn)P沿C→B的路徑移動(dòng),△BAP的面積逐漸減小,據(jù)此選擇即可。

    本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象,注意分段考慮。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用畫(huà)圖,結(jié)合分類(lèi)討論思想,將問(wèn)題分解成幾個(gè)“靜態(tài)”問(wèn)題,由“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“靜”求解。

    (二)動(dòng)點(diǎn)形成最值問(wèn)題

    例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(-3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3m)(其中m>0),頂點(diǎn)為D。

    (1)求該二次函數(shù)的解析式(系數(shù)用含m的代數(shù)式表示);

    (2)如圖,當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)△APC的面積為S,試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值;

    (3)分析:①利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式;

    ②先求出S的表達(dá)式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值;

    本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。第(2)問(wèn)重點(diǎn)考查了圖形面積的計(jì)算方法;運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)及方程思想是解題的關(guān)鍵。

    (三)動(dòng)點(diǎn)形成的存在性問(wèn)題

    例3.如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C。若點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB,AC邊運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。

    (1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

    (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng),這時(shí),在x軸上是否存在點(diǎn)E,使得以A,E,Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    分析:①將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中,求得b、c,進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)。

    ②等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ。借助垂直平分線,畫(huà)圓易得E大致位置,設(shè)邊長(zhǎng)為x,表示其他邊后,利用勾股定理易得E坐標(biāo)。

    本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形等知識(shí),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵。

    二、動(dòng)線問(wèn)題

    例4.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BC=10cm,AD=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB、AC、AD于E、F、H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)。

    (1)當(dāng)t=2時(shí),連接DE、DF,求證:四邊形AEDF為菱形;

    (2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,所形成的△PEF的面積存在最大值,當(dāng)△PEF的面積最大時(shí),求線段BP的長(zhǎng);

    (3)是否存在某一時(shí)刻t,使△PEF為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    分析:①如圖1所示,可證明AE=ED=DF=FA;

    ②如圖2所示,首先求出△PEF的面積的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;

    ③如圖3所示,分三種情形,需要分類(lèi)討論,分別求解,其中第一種情況不存在。

    本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題,涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類(lèi)型。第(1)問(wèn)考查了菱形的判別方法;第(2)問(wèn)考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值;第(3)問(wèn)考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn),重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

    三、動(dòng)形問(wèn)題

    抓住變量與不變量,探索平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等幾何圖形變換的解決方法。

    (一)幾何圖形的平移變換

    例5.如圖1所示,一張三角形紙片ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.沿斜邊AB邊上的中線CD把這張紙片剪成△AC1D1和△BC2D2兩個(gè)三角形.將紙片△AC1D1沿直線D2B(AB)方向平移(點(diǎn)A、D1、D2、B始終在同一直線上),當(dāng)點(diǎn)D1與點(diǎn)B重合時(shí),停止平移。在平移過(guò)程中,C1D1與BC2交于點(diǎn)E,AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P。

    (1)當(dāng)△AC1D1平移到如圖2所示的位置時(shí),猜想圖中的D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

    (2)設(shè)平移距離D2D1為x,△AC1D1與△BC2D2重疊部分面積為y,請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;

    (3)對(duì)于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x的值,使重疊部分面積y等于原三角形ABC的面積的[14],若存在,請(qǐng)求出x的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    抓住此圖形在平移過(guò)程中的角的不變量,線段的不變量,用變量x表示D1E、BD1、D2F的長(zhǎng),利用相似三角形、方程思想和以靜制動(dòng)的思維方法是解題的關(guān)鍵。

    (二)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換

    例6.將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖①擺放,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。

    (1)求∠ADE的度數(shù);

    (2)如圖②,將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<60°),此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′,DE′交AC于點(diǎn)M,DF′交BC于點(diǎn)N,試(下轉(zhuǎn)第33頁(yè))(上接第19頁(yè))判斷[PMCN]的值是否隨著α的變化而變化?如果不變,請(qǐng)求出[PMCN]的值;反之,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    分析:①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=[12]AB,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠BDC=∠B=60°,再求出∠ADC=120°,再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計(jì)算即可得解;

    ②根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得∠PDM=∠CDN,再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°,從而得到∠CPD=∠BCD,再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得[PMCN=PDCD]為定值。

    本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)。解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與以靜制動(dòng)的思維方法的應(yīng)用。

    (三)幾何圖形的翻折變換

    例7.矩形紙片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是邊BC上的點(diǎn),以AE為折痕折疊紙片,使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________。

    分析:①如圖1,當(dāng)∠EFC=90°時(shí),且點(diǎn)F在對(duì)角線AC上,利用勾股定理列式求出AC,設(shè)BE=x,表示出CE=8-x,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AF=AB=6,EF=BE=x,然后在Rt△CEF中,利用勾股定理列出方程求解可得BE=3;②如圖2,當(dāng)∠CEF=90°時(shí),且點(diǎn)F在AD上,判斷出四邊形ABEF是正方形,根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BE=AB=6。

    本題考查了翻折變化的性質(zhì),勾股定理,正方形的判定與性質(zhì),此類(lèi)題目,利用勾股定理列出方程求解是常用的方法,本題難點(diǎn)在于分情況討論,作出圖形更形象直觀。

    在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中,常常遇到關(guān)于圖形變換問(wèn)題的求解,就其變化方式而言,主要由點(diǎn)、線、面的變換而得出的問(wèn)題求解。在解決問(wèn)題的思維方式,即找出變與不變的關(guān)系,由動(dòng)到靜,由靜想到動(dòng)。此類(lèi)問(wèn)題的應(yīng)用廣泛,舉不勝舉。在學(xué)習(xí)和教學(xué)中要善于歸納小結(jié),解決問(wèn)題的思路,萬(wàn)變不離其宗,當(dāng)然因其解題過(guò)程滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法,因此,教師的教學(xué)應(yīng)注重歸納,達(dá)到事半功倍的效果,培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1]周冬琴.“圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題”教學(xué)中難點(diǎn)的分析與突破[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2013(12).

    [2]陳龍彬.談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的分析策略[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2014(3).

    [3]盧海明.探析初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2014(1、2).

    (責(zé)任編輯:張華偉)

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