淺談數(shù)學(xué)思想在課堂教學(xué)中的運(yùn)用

高慶東

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)思想眾多，函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中比較重要的思想，運(yùn)用的得當(dāng)與否可以體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握程度與認(rèn)知程度。等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中另一個(gè)重要思想，決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)是否具有創(chuàng)新性、延展性。也是一個(gè)學(xué)生是否具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識與思維的重要的考量標(biāo)準(zhǔn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)與方程 等價(jià)轉(zhuǎn)化 教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C 文章編號：1672-1578（2015）10-0101-01

數(shù)學(xué)教學(xué)思想眾多，函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中比較重要的思想，運(yùn)用的得當(dāng)與否可以體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握程度與認(rèn)知程度。等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中另一個(gè)重要思想，決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)是否具有創(chuàng)新性、延展性。也是一個(gè)學(xué)生是否具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識與思維的重要的考量標(biāo)準(zhǔn)。下面筆者闡述這兩種思想的運(yùn)用與體會。

1 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題；方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解，有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f（x），就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f（x）-y=0，可以說，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

函數(shù)知識涉及的知識點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

2 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。如：從大的方面看，集合與映射再到函數(shù)等知識的提出與推理，就是用前面已經(jīng)學(xué)會的知識來解決后面的結(jié)構(gòu)與體系?；蛘哒f是在用已經(jīng)熟悉或被證明正確的知識來解決映射中最特殊的情況，如映射是對應(yīng)的關(guān)系，可以一多也可以多對一，當(dāng)函數(shù)就只是在討論多對一的情況了，也就是說在解決新出現(xiàn)的問題的時(shí)候，想到解決方式，定義了新的知識概念與內(nèi)涵，這樣新的知識就出現(xiàn)了，也就實(shí)現(xiàn)了知識的發(fā)展與創(chuàng)新，所以，理論來源與實(shí)踐，來源于人們的生活總結(jié)。在歷年高考中，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想出現(xiàn)較多，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識，從而提高他們解決數(shù)學(xué)問題中的能力、思維能力和角題技能、技巧。

轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。

數(shù)學(xué)教育要求培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)創(chuàng)造能力的人，所以數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該停留在“概念、定理、例題、練習(xí)、作業(yè)”的知識傳授型模式上，而應(yīng)通過積極鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂教學(xué)反思，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等思維能力，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)工具描述和處理自然界和社會中的某些現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)角度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、進(jìn)行探索和研究，最終解決問題。在此過程中數(shù)學(xué)思想的滲透和潛移默化的影響不容忽視，只有通過長期的訓(xùn)練才能達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，才能使學(xué)生信心十足地走上考場，順利完成答卷，圓上十幾年的大學(xué)夢，為終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也為今后向更廣闊的空間發(fā)展提供必備的條件。