以函數(shù)典型題觀中考

☉江蘇省南通市通州區(qū)川港中學(xué)　張建群

以函數(shù)典型題觀中考

☉江蘇省南通市通州區(qū)川港中學(xué)張建群

本文將以綜合題為例，旨在拋磚引玉，談?wù)勁c函數(shù)相關(guān)的綜合題的解題方法以及相關(guān)題目的分析方法.

一、一次函數(shù)常見綜合題

圖1

例1有甲、乙兩個(gè)容器，均裝有進(jìn)水管和出水管.初始時(shí)，兩個(gè)容器同時(shí)只開進(jìn)水管，8分鐘時(shí)，甲容器關(guān)閉進(jìn)水管，打開出水管；到16分鐘時(shí)，再打開進(jìn)水管，此時(shí)進(jìn)水管與出水管同時(shí)打開，既進(jìn)水又出水；到28分鐘時(shí)，同時(shí)關(guān)閉兩個(gè)容器中的所有水管.兩容器中的各種水管每分鐘的進(jìn)水量和出水量均為常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（升）與時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖1所示，解答下列問題.

（1）甲容器的進(jìn)水管每分鐘進(jìn)水______升，出水管每分鐘出水______升.

（2）求乙容器內(nèi)的水量y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求從初始時(shí)刻到兩容器最后一次水量相等時(shí)所需要的時(shí)間.

分析：這是一道典型的考查一次函數(shù)的題型.通過圖像可以看出，在一定范圍內(nèi)，y與x剛好能構(gòu)成一次函數(shù)的關(guān)系.由已知可得到在甲容器中進(jìn)行了多次變換操作，因此對甲的分析可以先分段，在特定的時(shí)間段進(jìn)行分析.

在第一問中，求甲容器的進(jìn)水速度和出水速度，只需要得到一定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量或出水量，就可以利用水量與時(shí)間的比來得出進(jìn)出水的速度.從原題中“兩個(gè)容器同時(shí)只開進(jìn)水管”，此時(shí)，甲容器只開進(jìn)水管直至第8分鐘，對應(yīng)的圖像中，我們可以看到，x軸上的時(shí)間為8分鐘時(shí)對應(yīng)的y值水量為40升，那么進(jìn)水速度就是每分鐘5升.同樣的道理，求甲容器中出水管出水的速度，則根據(jù)圖中8分鐘至16分鐘時(shí)，關(guān)閉了進(jìn)水管，只開出水管，這段時(shí)間內(nèi)的水量變化及時(shí)間，得出出水量為（40-20）升，所耗時(shí)間為（16-8）分，出水速度為每分鐘2.5升.

在第二問中，要求的是乙容器中水量y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，可以直接使用待定系數(shù)法，從圖中找到相應(yīng)的點(diǎn)，容器中原有10升水，5分鐘時(shí)有15升水，代入求解.

設(shè)乙容器內(nèi)水量y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+ b（k≠0）.

所以y＝x+10.

在第三問中，由圖像可知：兩個(gè)容器最后一次水量相等是在16至28分鐘之間，此時(shí)甲容器的狀態(tài)是進(jìn)水管與出水管都打開了，每分鐘的進(jìn)水量為2.5升.在16至28分鐘之間，甲容器中水量y與時(shí)間x的關(guān)系式為y＝2.5x＋b，把點(diǎn)（16，20）代入，得b＝-20.所以y＝2.5x-20.要求兩容器水量相等時(shí)的時(shí)間，可以令這兩個(gè)函數(shù)的y相等，直接求出x.即x＋10＝2.5x-20，解得x＝20.也就是在20分鐘時(shí)，兩容器內(nèi)的水量相等.

總結(jié)：這是一種結(jié)合函數(shù)圖像綜合考查的一次函數(shù)題型，是一種非常典型的問題.在解決這類問題的時(shí)候，最重要的就是結(jié)合題目中的已知，充分挖掘出圖像中的信息，把函數(shù)圖像中隱含的所有信息找出來，明確圖像中不同線段所表示的意義.能把圖像看懂，就可以說大致上沒有問題了.而在看圖的時(shí)候，也一定要養(yǎng)成良好的習(xí)慣，先確定x軸和y軸分別表示什么，再結(jié)合已知條件細(xì)心研究圖像.

二、反比例函數(shù)常見綜合題

例2如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B.四邊形ABCD是正方形，雙曲線y=在第一象限經(jīng)過點(diǎn)D.

圖2

（1）求雙曲線表示的函數(shù)解析式.

（2）將正方形ABCD沿x軸向左平移______個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在（1）中的雙曲線上.

分析：反比例函數(shù)相對來說還是比較簡單的，因此常與其他的相關(guān)知識點(diǎn)結(jié)合在一起考查，在考試中常常會考查k值的求解方法.

第一問直接是求反比例函數(shù)的解析式，也就是要求出k的值，我們知道，k＝xy，也就是求出雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出函數(shù)的解析式.如圖2，D點(diǎn)在雙曲線上，可以先求出D點(diǎn)的坐標(biāo).

先過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.

由四邊形ABCD是正方形，得∠BAD=90°，AB＝AD.

由∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，得∠ABO＝∠DAE.

又∠AOB＝∠AED＝90°，AB=AD，則△AOB≌△DEA.則DE＝OA，AE＝BO.

根據(jù)直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，容易得到A（1，0）、B（0，2），即OA＝1，OB＝2.則DE＝1，OE＝3，即點(diǎn)D（3，1）.

在第二問中，同理可知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為2，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在（1）中的雙曲線上時(shí)，此時(shí)x對應(yīng)的值為1，也就是由原來的位置向左移動(dòng)一個(gè)單位即可.其實(shí)這個(gè)問題重點(diǎn)在于求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，其他方面倒是更簡單一些.

總結(jié)：在反比例函數(shù)問題中，k的值可以說是一個(gè)必考點(diǎn)，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要能夠理解k值并靈活地運(yùn)用.在很多題目中k值還表示對應(yīng)圖形的面積，這點(diǎn)也是要多加留心的.

三、二次函數(shù)常見綜合題

圖3

例3如圖3，將拋物線l1：y=-x2平移得到拋物線l2，且l2經(jīng)過O（0，0）和點(diǎn)A（4，0）.l2的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，它的對稱軸與l1相交于點(diǎn)C，設(shè)l1、l2與BC圍成的陰影部分面積為S.解答下列問題.

（1）求l2表示的函數(shù)解析式及它的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出S的值.

分析：第一問中考查的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，首先是求二次函數(shù)的解析式.平移后的二次函數(shù)圖像的開口方向和開口大小是不變的；同時(shí)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，也就是c＝0，所以我們可以設(shè)拋物線l2的解析式為y= -x2+bx，這里直接把另一個(gè)點(diǎn)（4，0）代入函數(shù)解析式中，得：-16+4b=0?b＝4.函數(shù)的解析式為：y=-x2+4x.

要求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，可以用公式直接代入計(jì)算，也可以利用配方法來求出h和k，這兩種方式實(shí)質(zhì)上也是一樣的.在這里，我們對函數(shù)進(jìn)行配方，得y=-（x-2）2+4，可以看到，拋物線l2的對稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）.

第二問中，C點(diǎn)剛好在拋物線的對稱軸上，也就是x＝2，代入計(jì)算得到C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-4），那么S＝8.

對于第三問，存在滿足題意的點(diǎn)P.

設(shè)直線AC表示的函數(shù)解析式為y=k1x+b1（k1≠0），把（4，0）、（2，-4）代入到函數(shù)解析式中，得解得所以y=2x-8.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-8），則S△POA=

△POAm＝5，則2m-8＝2.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2）或（3，-2）.

總結(jié)：在二次函數(shù)的綜合題中，一般會考查基礎(chǔ)知識和其他綜合性的知識，像這道題中，既考查了求解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，又考查點(diǎn)是否存在的問題.這是一類非常典型的二次函數(shù)綜合題.考生們一定要對相關(guān)的知識熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用到解題當(dāng)中.

從上面三道例題不難看出，中考對函數(shù)的考查是重中之重，無論是什么類型的函數(shù)，都可以命制綜合題，題型的結(jié)構(gòu)和模式不管怎么變，考查的知識點(diǎn)是不變的.學(xué)生們在備考的時(shí)候必須要從基礎(chǔ)抓起，把基礎(chǔ)知識掌握牢固了，解題時(shí)才會有更加靈活的思維.

1.張仲義.淺談二次函數(shù)在中考題中的綜合運(yùn)用［J］.新課程學(xué)習(xí)（中），2013（8）.

2.劉勇華.例談中考動(dòng)態(tài)題中圖形面積與運(yùn)動(dòng)變量的函數(shù)關(guān)系［J］.中學(xué)時(shí)代（理論版），2013（8）.

3.唐星.點(diǎn)擊中考反比例函數(shù)問題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（7）.